Kinematik av kuboktaedern

Skelettet av en cuboctahedron , som betraktar dess kanter som styva balkar anslutna vid flexibla leder vid dess hörn men utelämnar dess ytor, har inte strukturell styvhet och följaktligen kan dess hörn flyttas om genom att vika (ändra den dihedrala vinkeln) vid kanter och vända diagonaler. Kuboktaederns kinematik är anmärkningsvärd genom att dess hörn kan flyttas om till vertexpositionerna för den reguljära ikosaedern , Jessens ikosaeder och den vanliga oktaedern , i enlighet med pyritoedrisk symmetri av icosahedron .

Kinematisk cuboctaedra

	Cuboctahedron	Vanlig icosahedron	Jessens ikosaeder	Vanlig oktaeder
Coxeter speglar
Spegel dihedraler	𝝅 / 4 𝝅 / 3 𝝅 / 2	𝝅 / 3 𝝅 / 5 𝝅 / 2	𝝅 / 2 𝝅 / 2 𝝅 / 2	𝝅 / 3 𝝅 / 4 𝝅 / 2

Stela och kinematiska kuboktaedrar

Progressioner mellan en oktaeder , pseudoikosaeder och kuboktaeder. Kuboktaedern kan böjas på detta sätt även om dess kanter (men inte dess ytor) är stela.

När den tolkas som ett ramverk av stela plana ytor, anslutna längs kanterna med gångjärn, är kuboktaedern en stel struktur, liksom alla konvexa polyedrar, enligt Cauchys sats . Men när ytorna tas bort, vilket endast lämnar stela kanter förbundna med flexibla leder vid hörnen, blir resultatet inte ett styvt system (till skillnad från polyedrar vars ytor alla är trianglar, som Cauchys sats gäller trots de saknade ytorna).

Att lägga till en central vertex, ansluten med stela kanter till alla andra hörn, delar upp cuboctahedron i fyrkantiga pyramider och tetraedrar, som möts vid den centrala vertexen. Till skillnad från själva kuboktaedern är det resulterande systemet av kanter och leder styvt och utgör en del av den oändliga oktettfackverksstrukturen .

Cykliska kuboktaedertransformationer

Kuboktaedern kan omvandlas cykliskt genom fyra polyedrar och upprepa cykeln i det oändliga. Topologiskt följer transformationen en Möbius-slinga : det är ett orienterbart dubbelt hölje av oktaedern.

I sina rumsliga relationer häckar cuboctahedron, icosahedron, Jessens icosahedron och oktaedern som ryska dockor och är besläktade med en spiralformad sammandragning. Sammandragningen börjar med att kuboktaederns fyrkantiga ytor viker sig inåt längs sina diagonaler för att bilda trianglar. De 12 hörnen av kuboktaedern går i spiral inåt (mot mitten) och rör sig närmare varandra tills de når de punkter där de bildar en vanlig ikosaeder; de rör sig något närmare varandra tills de bildar en Jessens ikosaeder ; och de fortsätter att spiralera mot varandra tills de sammanfaller i par som oktaederns 6 hörn.

Den allmänna kuboktaedertransformationen kan parametriseras längs ett kontinuum av specialfallstransformationer med två gränsfall: ett där kanterna på kuboktaedern är stela och ett där de är elastiska.

Rigid-edge transformation

Kontinuerlig transformation mellan kuboktaedern och oktaedern som pausar vid spetspositionen för den vanliga ikosaedern. Spetspositionen för Jessens ikosaeder ligger mellan den vanliga ikosaedern och oktaedern (men animationen pausar inte där). Detta är en animation av kuboktaedertransformationen med stel kant, inte av transformationen av elastisk kant: den illustrerar inte Jessens icosahedrons långa kanter alls, och kortkanterna förlängs inte (som de gör med 15 % vid elastisk- kanttransformationens gränslägen för kuboktaeder och oktaeder); istället förkortas de (osynliga) långa kanterna med 15 % vid gränslägena (i den elastiska kanttransformationen är de stela). Passagen av Jessens ikosaederpunkt (viktig i den elastiska kanttransformationen eftersom kortkanterna når sin minsta storlek och börjar förlängas igen) syns inte alls. Den spiralformade sammandragningen av kuboktaedern till polyedrar med successivt mindre radie är synlig när den inträffar i kuboktaedertransformationen med stel kant (och i transformationen av elastisk kant skulle den vara ganska lika).

Den styvkantade kuboktaedern omvandlar symmetriskt kuboktaedern till en vanlig icosahedron , en Jessens icosahedron och en regelbunden oktaeder , i den meningen att polyederns hörn tar på vertexpositionerna för dessa polyedrar successivt.

Kuboktaedern blir faktiskt inte de andra polyedrarna, och de kan inte omvandlas till varandra (om de har styva kanter), eftersom de till skillnad från kuboktaedern har strukturell styvhet som en konsekvens av att de bara har triangulära ytor.

Vad kuboktaedern med stela kanter faktiskt kan förvandlas till (och genom) är en vanlig ikosaeder från vilken 6 kanter saknas (en pseudoikosaeder ), en Jessens ikosaeder där de 6 reflexkanterna saknas eller är elastiska och ett dubbelt täcke av oktaedern som har två sammanfallande stela kanter som förbinder varje par av hörn (bildade genom att få par av cuboctahedron hörn att sammanfalla).

Kinematisk kuboktaedra med stel kant

	Cuboctahedron	Vanlig icosahedron	Jessens ikosaeder	Vanlig oktaeder
Kant	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {6}}$
Ackord	$2{\sqrt {3}}\approx 3.464$	$\left({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right){\sqrt {6}}\approx 3.963$	$4$	$2{\sqrt {3}}\approx 3.464$
Ackordsradie	${\sqrt {3}}\approx 1.732$	${\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\approx 1.225$	$1$	$0$
Lång radie	${\sqrt {6}}\approx 2.449$	$\left({\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\right){\sqrt {6}}\ cirka 2 330$	${\sqrt {5}}\approx 2.236$	${\sqrt {3}}\approx 1.732$

Elastisk kanttransformation

Det finns en spänningspolyeder som förkroppsligar och framtvingar den närbesläktade kuboktaedertransformationen med elastisk kant . Tensegrity icosahedron har en dynamisk strukturell styvhet som kallas oändlig rörlighet och kan endast deformeras till symmetriska polyedrar längs det spektrumet från kuboktaeder till oktaeder. Den kallas tensegrity icosahedron eftersom dess medianstabila form är Jessens icosahedron.

Jessens ikosaeder . Alla dihedriska vinklar är 90°. Spetsen på den inskrivna kuben är mitten av de liksidiga triangelytorna. Polyedern är en konstruktion av längderna 4 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 och vinklarna 𝝅 2 𝝅 3 .

Även om transformationen ovan beskrivs som en sammandragning av kuboktaedern, är den stabila jämviktspunkten för tensegriteten Jessens ikosaeder; tensegrity ikosaedern motstår att deformeras från den formen och kan endast tvingas att expandera eller dra ihop sig från den i den utsträckning som dess kanter är elastiska (kan förlängas under spänning). Att tvinga polyedern bort från dess stabila viloform (i båda riktningarna) innebär att dess 24 korta kanter sträcks något och lika. Kraft som appliceras på alla par parallella långkanter, för att flytta dem närmare varandra eller längre isär, överförs automatiskt för att sträcka alla kortkanterna likformigt, krymper polyedern från dess medelstora Jessens ikosaeder mot den mindre oktaedern, eller expanderar den mot den större vanliga ikosaedern respektive ännu större cuboctahedron. Att släppa kraften gör att polyedern fjädrar tillbaka till sin Jessens icosahedron vilande form.

I den elastiska kanttransformationen är kuboktaederkanterna inte stela (även om Jessens icosahedrons 6 långa kanter är det). Vad kuboktaedern faktiskt förvandlas till är en vanlig ikosaeder med kortare radie och kortare kantlängd, en Jessens ikosaeder med ännu kortare radie och (minsta) kantlängd, och slutligen en oktaeder med ännu kortare radie men samma (maximala) kantlängd som cuboctahedron (men först efter att kanterna har förkortats och förlängts igen och kommit samman i sammanfallande par).

Kinematisk cuboctaedra med elastisk kant

	Cuboctahedron	Vanlig icosahedron	Jessens ikosaeder	Vanlig oktaeder
Kant	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$	${\tfrac {8}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 2.472$	${\sqrt {6}}\approx 2.449$	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$
Ackord	$4$	$4$	$4$	$4$
Ackordsradie	$2$	${\tfrac {4}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 1.236$	$1$	$0$
Lång radie	$2{\sqrt {2}}\approx 2.828$	${\tfrac {2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5}}}}\approx 2.351$	${\sqrt {5}}\approx 2.236$	$2$

Dualitet av styv-kant- och elastisk-kant-transformationer

Kuboktaedertransformationerna med styv kant och elastisk kant skiljer sig endast genom att ha ömsesidiga parametrar: i transformationen med elastisk kant sträcker sig Jessens icosahedrons kortkanter och dess långa kanter är stela, och i styvkantstransformationen komprimeras dess långa kanter och dess korta kanterna är stela. Allt i beskrivningarna ovan utom mätvärdena gäller alla kuboktaederomvandlingar. I synnerhet rör sig hörnen alltid i spiraler mot mitten när kuboktaedern förvandlas till oktaedern, och Jessens ikosaeder (med 90° dihedriska vinklar) är alltid medianpunkten, stabil i den utsträckning som det finns motstånd mot sträckningen eller komprimeringen .

Den elastiska kantens kuboktaedertransformation ges vanligtvis som matematiken för tensegrity icosahedron eftersom den kommer närmast att modellera hur de flesta faktiska tensegrity icosahedron-strukturer beter sig. Däremot skulle man säkert kunna konstruera en spännings ikosaeder där de korta kanterna (kablarna) var perfekt oelastiska och de långa kanterna (strävorna) var komprimerbara fjädrar. En sådan spänning skulle utföra kuboktaedertransformationen med stel kant.

Slutligen är båda transformationerna rena abstraktioner, de två gränsfallen för en oändlig familj av kuboktaedertransformationer där det finns två elasticitetsparametrar och inget krav på att en av dem ska vara 0. Inget av gränsfallen är ägnat att gälla perfekt för de flesta verkliga tensegritetsstrukturer, som vanligtvis har viss elasticitet i både kablarna och stöttorna, vilket ger deras faktiska beteendemått som är icke-triviala att beräkna. I ingenjörspraktik krävs endast en liten mängd elasticitet för att tillåta en betydande grad av rörelse, så de flesta tensegrity-strukturer är konstruerade för att vara "trumtäta" med nästan oelastiska strävor och kablar. En tensegrity icosahedron-transformation är en kinematisk cuboctahedron-transformation med reciproka små elasticitetsparametrar.

Jitterbug-transformationer

De vridande, expansiva-sammandragande transformationerna mellan dessa polyedrar kallades Jitterbug-transformationer av Buckminster Fuller . Fuller gav ingen matematik; som många stora geometrar före honom ( Alicia Boole Stott till exempel) hade han ingen matematik att ge. Men han var den förste att betona vikten av kuboktaederns radiella liksidiga symmetri , som han tillämpade strukturellt (och patenterade) som oktettfackverk , intuitivt att det spelar en grundläggande roll inte bara i strukturell integritet . men i dimensionsförhållandena mellan polytoper . Han upptäckte den kinematiska omvandlingen av kuboktaedern, förstod dess förhållande till ikonen med tensegrity och gav till och med demonstrationer av den stela kuboktaederns transformation inför publik (dagarna före datorrenderade animationer). Hans demonstration med kommentarer av "vektorjämvikten", som han kallade kuboktaedern, är fortfarande mycket mer upplysande än animationerna i denna artikel.

Anteckningar

Bibliografi

Coxeter, HSM (1973) [1948]. Regular Polytopes (3:e upplagan). New York: Dover.
Fuller, R. Buckminster (1975). "Vektorjämvikt" . Allt jag vet sessioner . Philadelphia.
Kenner, Hugh (1976). Geodesisk matematik och hur man använder den . University of California Press. ISBN 978-0520029248 .
Verheyen, HF (1989). "Den kompletta uppsättningen Jitterbug-transformatorer och analysen av deras rörelse" . Datorer och matematik med applikationer . 17 (1–3): 203–250. doi : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . MR 0994201 .
Gunn, Charles; Sullivan, John M. (2008), "The Borromean Rings: A video about the New IMU logo" , i Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (red.), Bridges Leeuwarden: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture , London: Tarquin Publications, s. 63–70, ISBN 978-0-9665201-9-4 ; se själva videon på " The Borromean Rings: A new logo for the IMU ", International Mathematical Union

externa länkar

"Borromeanska ringar" . International Mathematical Union.