Khabibullins gissningar om integrerade ojämlikheter

Inom matematik är Khabibullins gissning , uppkallad efter BN Khabibullin, relaterad till Paleys problem för plurisubharmoniska funktioner och till olika extrema problem i teorin om hela funktioner av flera variabler.

Det första påståendet i termer av logaritmiskt konvexa funktioner

Khabibullins gissning (version 1, 1992). Låt $\displaystyle S$ vara en icke-negativ ökande funktion på halvlinjen $[0,+\infty )$ så att $\displaystyle S( 0)=0$ . Antag att $\displaystyle S(e^{x})$ är en konvex funktion av $x\in [-\infty ,+\infty )$ . Låt $\lambda \geq 1/2$ , $geq 2}$ och $n\in \mathbb {N$ . Om

$\int _{0}^{1}S(tx)\ ,(1-x^{2})^{n-2}\,x\,dx\leq t^{\lambda }{\text{ för alla }}t\i [0,+\infty ),$

 

 

 

 

()

sedan

$\int _{0}^{+\infty }S(t)\,{\frac {t^{2\lambda -1}}{(1+t^{2\lambda})^{2 }}}\,dt\leq {\frac {\pi \,(n-1)}{2\lambda }}\prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}1+{ \frac {\lambda }{2k}}{\Bigr )}.$

 

 

 

 

()

Detta uttalande av Khabibullins gissningar kompletterar hans undersökning.

Relation till Eulers Beta-funktion

Produkten till höger om olikheten ( 2 ) är relaterad till Eulers Beta-funktion $\mathrm {B}$ :

${\frac {\pi \,(n-1)}{2\lambda }}\prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}1+{\frac {\lambda }{2k}}{\Bigr) }={\frac {\pi \,(n-1)}{\lambda ^{2}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {B} (\lambda /2,n)}}$

Diskussion

För varje fast $\lambda \geq 1/2$ funktionen

$S(t)=2(n-1)\prod _{k=1} ^{n-1}{\Bigl (}1+{\frac {\lambda }{2k}}{\Bigr )}\,t^{\lambda },$

vänder ojämlikheterna ( 1 ) och ( 2 ) till jämlikheter.

Khabibullins gissning är giltig för $\lambda \leq 1$ utan antagandet om konvexitet för $S(e^{x})$ . Samtidigt kan man visa att denna gissning inte är giltig utan några konvexitetsvillkor för $S$ . 2010 visade RA Sharipov att gissningen misslyckades i fallet $n=2$ och för $\lambda =2$ .

Det andra uttalandet i termer av ökande funktioner

Khabibullins gissning (version 2). Låt $\displaystyle h$ vara en icke-negativ ökande funktion på halvlinjen $[0,+\infty )$ och $\alpha >1 /2$ . Om

$\int _{0}^{1}{\frac {h( tx)}{x}}\,(1-x)^{n-1}\,dx\leq t^{\alpha }{\text{ för alla }}t\i [0,+\infty ),$

sedan

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {h(t)}{t}}\,{\frac {dt}{1+t^{2\alpha }}}\leq {\frac {\pi }{2}}\prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}1+{\frac {\alpha }{k}}{\Bigr )}={ \frac {\pi }{2\alpha }}\cdot {\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,n)}}.$

Det tredje uttalandet i termer av icke-negativa funktioner

Khabibullins gissning (version 3). Låt $\displaystyle q$ vara en icke-negativ kontinuerlig funktion på halvlinjen $[0,+\infty )$ och $\alpha >1 /2$ . Om

$\int _{0}^ {1}{\Bigl (}\,\int _{x}^{1}(1-y)^{n-1}{\frac {dy}{y}}{\Bigr )}q(tx) \,dx\leq t^{\alpha -1}{\text{ för alla }}t\i [0,+\infty ),$

sedan

$\int _{0}^{+\infty }q(t)\log {\Bigl (}1+{\frac {1}{t^{2\alpha }}}{\Bigr )}\ ,dt\leq \pi \alpha \prod _{k=1}^{n-1}{\Bigl (}1+{\frac {\alpha }{k}}{\Bigr )}={\frac { \pi }{\mathrm {B} (\alpha ,n)}}.$

Se även

• Logaritmiskt konvex funktion