Cantors skärningssats

Cantors skärningssats hänvisar till två närbesläktade teorem i allmän topologi och verklig analys , uppkallad efter Georg Cantor , om skärningspunkter mellan minskande kapslade sekvenser av icke-tomma kompakta mängder.

Topologiskt uttalande

Sats. Låt $S$ vara ett topologiskt utrymme . En minskande kapslad sekvens av icke-tomma kompakta, slutna delmängder av $S$ har en icke-tom skärningspunkt. Med andra ord, anta att $(C_{k})_{k\geq 0}$ är en sekvens av icke-tomma kompakta, slutna delmängder av S som uppfyller

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,$

det följer att

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .$

Stängningsvillkoret kan utelämnas i situationer där varje kompakt delmängd av $S$ är stängd, till exempel när $S$ är Hausdorff .

Bevis. Antag, som motsägelse, att ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset$ . För varje $k$ , låt $U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}$ . Eftersom ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}\setminus {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}$ och ${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k }}=\emptyset$ , vi har ${\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}$ . Eftersom $C_{k}$ är stängda i förhållande till $S$ och därför också stängda i förhållande till $C_{0}$ , är $U_{k}$ , deras uppsättningskomplement i $C_{0}$ , är öppna i förhållande till $C_{0}$ .

Eftersom $C_{0}\subset S$ är kompakt och $\{U_{k}\vert k\geq 0\}$ är ett öppet lock (på $C_{0}$ ) till $C_{0}$ , en ändlig cover $\{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}$ kan extraheras. Låt $M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}$ . Då ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$ eftersom ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots } ,$ enligt kapslingshypotesen för samlingen $(C_{k})_{k\geq 0}$ . Följaktligen är $C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M }$ . Men då ${\displaystyle C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset } ,$ en motsägelse. ∎

Uttalande för reella tal

Satsen i realanalys drar samma slutsats för slutna och avgränsade delmängder av mängden reella tal $\mathbb {R}$ . Den anger att en minskande kapslad sekvens $(C_{k})_{k\geq 0}$ av icke-tomma, slutna och avgränsade delmängder av $\mathbb {R}$ har en icke-tom korsning.

Denna version följer av det allmänna topologiska uttalandet i ljuset av Heine–Borel-satsen , som säger att uppsättningar av reella tal är kompakta om och endast om de är slutna och avgränsade. Det används dock vanligtvis som ett lemma för att bevisa nämnda teorem, och kräver därför ett separat bevis.

Som ett exempel, om $C_{k}=[0,1/k]$ , skärningspunkten över $(C_{k})_ {k\geq 0}$ är $\{0\}$ . Å andra sidan, både sekvensen av öppna avgränsade mängder $C_{k}=(0,1/k)$ och sekvensen av ogränsade slutna mängder $C_{k}=[k,\infty )$ har tom skärningspunkt. Alla dessa sekvenser är korrekt kapslade.

Denna version av satsen generaliserar till $\mathbf {R} ^{n}$ , uppsättningen av $n$ -elementvektorer av reella tal, men generaliserar inte till godtyckliga metriska utrymmen . Till exempel, i utrymmet för rationella tal , mängderna

$C_{k}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k ]=({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k)$

är stängda och avgränsade, men deras korsning är tom.

Observera att detta inte motsäger varken det topologiska påståendet, eftersom mängderna $C_{k}$ inte är kompakta, eller varianten nedan, eftersom de rationella talen inte är kompletta med avseende på den vanliga metriken.

En enkel följd av satsen är att Cantor-mängden är icke-tom, eftersom den definieras som skärningspunkten mellan en minskande kapslad sekvens av mängder, som var och en definieras som föreningen av ett ändligt antal slutna intervall; därför är var och en av dessa uppsättningar icke-tomma, stängda och avgränsade. Faktum är att Cantor-setet innehåller oräkneligt många poäng.

Sats. Låt $(C_{k})_{k\geq 0}$ vara en sekvens av icke-tomma, slutna och avgränsade delmängder av $\mathbb {R}$ som uppfyller

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots C_{n}\supset C_{n+1}\cdots .$

Sedan,

$\bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .$

Bevis. Varje icke-tom, sluten och avgränsad delmängd $C_{k}\subset \mathbb {R}$ tillåter ett minimalt element $x_{k}$ . Eftersom för varje $k$ har vi

$x_{k+1}\in C_{k+1}\subset C_{k}$ ,

det följer att

$x_{k}\leq x_{k+1}$ ,

så $(x_{k})_{k\geq 0}$ är en ökande sekvens som ingår i den avgränsade mängden $C_{0}$ . Den monotona konvergenssatsen för avgränsade sekvenser av reella tal garanterar nu att det finns en gränspunkt

$x=\lim _{k\to \infty }x_{k}.$

För fast $k$ , $x_{j}\in C_{k}$ för alla $j\geq k$ , och eftersom $C_ {k}$ är stängd och $x$ är en gränspunkt, det följer att $x\in C_{k}$ . Vårt val av $k$ är godtyckligt, därför tillhör $x$${\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k} }$ och beviset är komplett. ∎

Variant i kompletta metriska utrymmen

I ett komplett metriskt utrymme gäller följande variant av Cantors skärningssats.

Sats. Antag att $X$ är ett komplett metriskt utrymme, och $(C_{k})_{k\geq 1}$ är en sekvens av icke-tomma slutna kapslade delmängder av $X$ vars diametrar tenderar mot noll:

$\lim _{k\to \infty }\operatörsnamn {diam} (C_{k})=0,$

där $\operatorname {diam} (C_{k})$ definieras av

$\operatörsnamn {diam} (C_{k})=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in C_{k}\}.$

innehåller skärningspunkten för ${\displaystyle C_{k}} exakt en punkt:$

$\bigcap _{k=1}^{\infty }C_{k}=\{x\}$

för vissa $x\in X$ .

Bevis (skiss). Eftersom diametrarna tenderar till noll är diametern på skärningspunkten mellan $C_{k}$ noll, så den är antingen tom eller består av en enda punkt. Så det räcker att visa att det inte är tomt. Välj ett element $x_{k}\in C_{k}$ för varje $k$ . Eftersom diametern på $C_{k}$ tenderar till noll och $C_{k}$ är kapslade, bildar $x_{k}$ en Cauchy-sekvens. Eftersom det metriska utrymmet är komplett konvergerar denna Cauchy-sekvens till någon punkt $x$ . Eftersom varje $C_{k}$ är stängd och $x$ är en gräns för en sekvens i $C_{k}} måste$ displaystyle $x$ ligga i $C_{k}$ . Detta gäller för varje $k$ , och därför måste skärningspunkten för $C_{k}$ innehålla $x$ . ∎

En motsats till denna sats är också sant: om $X$ är ett metriskt utrymme med egenskapen att skärningspunkten för en kapslad familj av icke-tomma slutna delmängder vars diametrar tenderar mot noll är icke-tom, då är X $\ displaystyle X}$ är ett komplett metriskt utrymme. (För att bevisa detta, låt $(x_{k})_{k\geq 1}$ vara en Cauchy-sekvens i $X$ , och låt $C_ {k}$ är stängningen av svansen $(x_{j})_{j\geq k}$ av denna sekvens.)

Se även

• Kuratowskis skärningssats

• Weisstein, Eric W. "Cantors skärningssats" . MathWorld .
•   Jonathan Lewin. En interaktiv introduktion till matematisk analys. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01718-1 . Avsnitt 7.8.