Jordsektionsvägar

Plan sektion av en ellipsoid

Jordsektionsbanor är plana kurvor som definieras av skärningspunkten mellan en jordellipsoid och ett plan ( ellipsoidplanssektioner) . Vanliga exempel inkluderar den stora ellipsen (som innehåller mitten av ellipsoiden) och normala sektioner (som innehåller en ellipsoid normal riktning). Jordsektionsbanor är användbara som ungefärliga lösningar för geodetiska problem , direkt och omvänd beräkning av geografiska avstånd . Den rigorösa lösningen av geodetiska problem involverar sneda kurvor som kallas geodetik .

Omvänt problem

Det omvända problemet för jordsektioner är: givet två punkter, $P_{1}$ och $P_{2}$ på ytan av referensellipsoiden, hitta längden, $s_{12}$ , av den korta bågen av en sfäroid sektion från $P_{1}$ till $P_{2}$ och hitta även avgångs- och ankomstazimut (vinkel från sann norr) av den kurvan, $\alpha _{1}$ och $\alpha _{2}$ . Figuren till höger illustrerar notationen som används här. Låt $P_{k}$ ha geodetisk latitud $\phi _{k}$ och longitud $\lambda _{k}$ ( k =1,2). Detta problem löses bäst med hjälp av analytisk geometri i jordcentrerade, jordfixerade (ECEF) kartesiska koordinater. Låt $R_{1}=\mathrm {ECEF} (P_{1})$ och $R_{2 }=\mathrm {ECEF} (P_{2})$ vara ECEF-koordinaterna för de två punkterna, beräknade med hjälp av den geodetiska till ECEF-transformationen som diskuteras här .

Detta illustrerar notationen som används för de geodetiska problemen som diskuteras här.

Sektionsplan

För att definiera sektionsplanet välj en tredje punkt $R_{0}$ som inte ligger på linjen från $R_{1}$ till $R_{2}$ . Att välja $R_{0}$ för att vara på ytan normal vid $P_{1}$ kommer att definiera normalsektionen vid $P_{1}$ . Om $R_{0}$ är ursprunget är jordsektionen den stora ellipsen. (Ursprunget skulle vara kolinjärt med 2 antipodalpunkter så en annan punkt måste användas i så fall). Eftersom det finns oändligt många val för $R_{0}$ är ovanstående problem verkligen en klass av problem (ett för varje plan). Låt $R_{0}$ ges. För att sätta ekvationen för planet i standardformen, $lx+my+nz=d$ , där $l^ {2}+m^{2}+n^{2}=1$ , kräver komponenterna i en enhetsvektor , $\mathbf {\hat {N}} = (l,m,n)$ , normal mot snittplanet. Dessa komponenter kan beräknas enligt följande: Vektorn från $R_{0}$ till $R_{1}$ är $\mathbf {V_{0}} = \mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}}$ , och vektorn från $R_{1}$ till $R_{2}$ är $\mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}}$ . Därför är $\mathbf {\hat {N}} =\mathrm {enhet} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1 }} )$ ), där $\mathrm {unit} (\mathbf {V} )$ är enhetsvektorn i riktning mot $\mathbf {V}$ . Orienteringskonventionen som används här är att $\mathbf {\hat {N}}$ pekar till vänster om banan. Om så inte är fallet, omdefiniera $\mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}}$ . Slutligen kan parametern d för planet beräknas med hjälp av punktprodukten av $\mathbf {\hat {N}}$ med en vektor från origo till valfri punkt på planet, såsom ${\ displaystyle R_{1}}$ , dvs $d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}}$ . Planets ekvation (i vektorform) är alltså ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d} ,$ där $\mathbf {R }$ är positionsvektorn för $(x,y,z)$ .

Azimut

Undersökning av ENU till ECEF-transformationen avslöjar att ECEF-koordinaterna för en enhetsvektor som pekar österut vid vilken punkt som helst på ellipsoiden är: $\mathbf {\hat {e }} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)$ , en enhetsvektor som pekar norrut är ${ \displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )} , och en enhetsvektor som pekar uppåt$ är $\mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )$ . En vektor som tangerar banan är: $\mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}}$ så den östra komponenten av $\mathbf {t}$ är $\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}}$ , och den norra komponenten är $\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}}$ . Därför kan azimuten erhållas från en tvåargument arctangent funktion , $\alpha =\operatornamn {atan2} (\mathbf {t} \cdot \ mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )$ . Använd denna metod vid både $P_{1}$ och $P_{2}$ för att få $\alpha _{1}$ och $\alpha _{ 2}$ .

Sektion ellips

Den (icke-triviala) skärningspunkten mellan ett plan och en ellipsoid är en ellips. Därför är båglängden, $s_{12}$ , på sektionsvägen från $P_{1}$ till $P_{2}$ en elliptisk integral som kan vara beräknas till valfri önskad noggrannhet med hjälp av en trunkerad serie eller numerisk integration. Innan detta kan göras måste ellipsen definieras och gränserna för integration beräknas. Låt ellipsoiden ges av ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{ 2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1$ och låt $p={\ sqrt {l^{2}+m^{2}}}$ . Om $p=0$ är sektionen en horisontell cirkel med radien ${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{ 2}}}}}}$ , som inte har någon lösning om $|d|>b$ .

Om $p>0$${\textstyle {R_{c} }={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})} , där C$ visade Gilbertson att ECEF-koordinaterna för ellipsens centrum är = $displaystyle C= a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$ ,

halvstoraxeln är ${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}} ,$ i riktningen ${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\ frac {-l}{p}},0\right)}$ , och halvmollaxeln är ${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C }}}a^{*}}$ , i riktningen ${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\vänster ({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)} ,$ som inte har någon lösning om $|d|>{\sqrt {C}}$ .

Båglängd

Ovan refererade papper ger en härledning för en båglängdsformel som involverar den centrala vinkeln och potenserna för $e^{2}$ för att beräkna båglängden till millimeters noggrannhet, där ${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$ . Den båglängdsformeln kan omarrangeras och sättas i formen: $s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _ {1})$ , där $s( \theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta)+{C_{4}}\sin(4\theta)+{C_{ 6}}\sin(6\theta ))$ och koefficienterna är

$C_{0}=1,0+e^{2}(1/4+13e ^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)$

$C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4} /16384)$

$C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)$

För att beräkna mittvinkeln, låt $P$ vara vilken punkt som helst på sektionellipsen och $R=\mathrm {ECEF} (P)$ . Då $\mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}}$ en vektor från mitten av ellipsen till punkten. Mittvinkeln $\theta$ är vinkeln från halvstoraxeln till $\mathbf {V}$ . Om vi ​​låter ${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {enhet} (\mathbf {V} )} ,$ har vi $\theta =\operatörsnamn {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )$ . På så sätt får vi $\theta _{1}$ och $\theta _{2}$ .

Å andra sidan är det möjligt att använda meridianbågeformler i det mer allmänna fallet förutsatt att parametrarna för sektionellipsen används snarare än sfäroidparametrarna. En sådan snabbt konvergent serie ges i serier i termer av den parametriska latituden . Om vi ​​använder $\varepsilon$ för att beteckna sfäroidexcentriciteten, dvs ${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a) }}\right)^{2}}$ , sedan $e^{8}$ ≤ $\varepsilon ^{8}$ ≅ 1,8 × 10 ⁻⁹ . På liknande sätt begränsas den tredje tillplattningen av sektionellipsen av motsvarande värde för sfäroiden, och för sfäroiden har vi $n^{3}$ ≅ 4,4 × 10 ⁻⁹ , och $n^ {4}$ ≅ 7,3 × 10 ⁻¹² . Därför kan det räcka med att ignorera termer bortom $B_{6}$ i den parametriska latitudserien. För att tillämpa ${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\ sin 6\beta )}$ i det aktuella sammanhanget kräver att centralvinkeln konverteras till den parametriska vinkeln med $\beta =\tan ^{-1 }\left(\tan \theta /((1-f)\right)$ , och genom att använda sektionen ellips tredje förplattning. Oavsett vilken metod som används måste man vara försiktig när man använder $\theta _{1}$ & $\theta _{2}$ eller $\beta _{1}$ & $\beta _{2}$ för att säkerställa att den kortare bågen som förbinder de 2 punkterna är använd.

Direkt problem

Det direkta problemet ges ${P_{1}}$ , avståndet $s_{12}$ , och avgångsazimut $\alpha _{1}$ , hitta ${P_{2}}$ och ankomstazimuten $\alpha _{2}$ .

Sektionsplan

Svaret på detta problem beror på valet av $\mathbf {V_{0}}$ . dvs på typen av avsnitt. Observera att $\mathbf {V_{0}}$ inte får vara i span{ $\mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\ hat {e}}_{1}}$ } (annars skulle planet vara tangent till jorden vid ${P_{1}}$ , så ingen bana skulle resultera). Efter att ha gjort ett sådant val och överväger orientering, fortsätt enligt följande. Konstruera tangentvektorn vid ${P_{1}}$ , $\mathbf {\hat {t}} _ {1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{ 1}}$ , där $\mathbf {\hat {n}} _{1}$ och $\mathbf {{\hat {e}}_{1}}$ är enhetsvektorer som pekar mot norr och öster (respektive) på ${P_{1}}$ . Normalvektorn $\mathbf {\hat {N}} =\mathrm {enhet} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}$ ), tillsammans med $\mathbf {P_{1}}$ definierar planet. Med andra ord tar tangenten ackordets plats eftersom destinationen är okänd.

Hitta ankomstpunkt

Detta är ett 2-d problem i span{ $\mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$ , vilket kommer att lösas med hjälp av båglängdsformeln ovan. Om båglängden $s_{12}$ ges så är problemet att hitta motsvarande förändring i mittvinkeln $\theta _{12}$ , så att $\theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}$ och positionen kan beräknas. Om vi ​​antar att vi har en serie som ger $s=s(\theta )$ så är det vi söker nu $\theta _ {2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})$ . Inversen av den centrala vinkelbåglängdserien ovan kan hittas på sidan 8a i Rapp, Vol. 1, som krediterar Ganshin. Ett alternativ till att använda den inversa serien är att använda Newtons metod för successiva approximationer till $\theta _{12}$ . Det omvända meridianproblemet för ellipsoiden ger inversen till Bessels båglängdserie i termer av den parametriska vinkeln. Innan den inversa serien kan användas måste den parametriska vinkelserien användas för att beräkna båglängden från halvstoraxeln till $P_{1}$ , ${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})= {\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4} \sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$ . När $s_{1}$ är känd, använd den omvända formeln för att erhålla ${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2 \mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}} ,$ där $\mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^ {*}))$ . Rektangulära koordinater i snittplanet är $x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{ 2}=b^{*}\sin \beta _{2}$ . Så en ECEF-vektor kan beräknas med hjälp av $\mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_ {2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )$ . Beräkna slutligen geografiska koordinater via $P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})$ med hjälp av Bowrings algoritm från 1985, eller algoritmen här .

Azimut

Azimuth kan erhållas med samma metod som det indirekta problemet: $\mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\ hat {u}}_{2}}$ och ${\alpha _{2}}=\operatörsnamn {atan2} ( \mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2} } )$ .

Exempel

Visar den geodetiska avvikelsen för olika sektioner som förbinder New York med Paris

Den stora ellipsen

Huvudartikel: Stor ellips

Den stora ellipsen är kurvan som bildas genom att skära ellipsoiden med ett plan genom dess centrum. Därför, för att använda metoden ovan, låt bara $R_{0}$ vara ursprunget, så att $\mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}}$ (positionsvektorn för $R_{1}$ ). Denna metod undviker de esoteriska och ibland tvetydiga formlerna för sfärisk trigonometri, och ger ett alternativ till formlerna för Bowring. Den kortaste vägen mellan två punkter på en sfäroid är känd som en geodetisk. Sådana vägar utvecklas med hjälp av differentialgeometri. Ekvatorn och meridianerna är stora ellipser som också är geodetiska. Den maximala längdskillnaden mellan en stor ellips och motsvarande geodetiska längd 5 000 nautiska mil är cirka 10,5 meter. Sidoavvikelsen mellan dem kan vara så stor som 3,7 nautiska mil. En normal sektion som förbinder de två punkterna kommer att vara närmare geodetiken än den stora ellipsen, om inte banan berör ekvatorn.

På WGS84- ellipsoiden, resultaten för den stora elliptiska bågen från New York, $\phi _{1}$ = 40.64130°, $\lambda _{1}$ = -73.77810° till Paris , $\phi _{2}$ = 49,00970°, $\lambda _{2}$ = 2,54800° är:

$\alpha _{1}$ = 53.596810°, $\alpha _{2}$ = 111.537138° och $s_{12}$ = 5849159.753 (m) = 29316 (08,3) nm). Motsvarande siffror för geodetiken är:

$\alpha _{1}$ = 53,511007°, $\alpha _{2}$ = 111,626714° och $s_{12}$ = 5849157,543 (m) = 29214 (m) (29214). nm).

För att illustrera beroendet av sektionstyp för det direkta problemet, låt avgångsazimut och trippavstånd vara de för geodetiken ovan, och använd den stora ellipsen för att definiera det direkta problemet. I detta fall är ankomstpunkten $\phi _{2}$ = 49,073057°, $\lambda _{2}$ = 2,586154°, vilket är cirka 4,1 nm från ankomstpunkten i Paris definieras ovan. Naturligtvis kommer att använda avgångsazimut och avstånd från det stora ellipsen indirekta problemet att korrekt lokalisera destinationen, $\phi _{2}$ = 49.00970°, $\lambda _{2}$ = 2.54800 °, och ankomstazimuten $\alpha _{2}$ = 111,537138°.

Visar den geodetiska avvikelsen för olika sektioner som förbinder Sydney med Bangkok

Normala avsnitt

En normal sektion vid $P_{1}$ bestäms genom att låta $\mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}$ ( ytan normal vid $P_{1}$ ). En annan normal sektion, känd som den reciproka normalsektionen, är resultatet av att använda ytnormalen vid $P_{2}$ . Om inte de två punkterna båda är på samma parallella eller samma meridian, kommer den reciproka normalsektionen att vara en annan väg än normalsektionen. Ovanstående tillvägagångssätt ger ett alternativ till andras, såsom Bowring. Vikten av normala avsnitt i lantmäteri samt en diskussion om innebörden av termen linje i ett sådant sammanhang ges i artikeln av Deakin, Sheppard och Ross.

På WGS84-ellipsoiden, resultaten för normalsektionen från New York, $\phi _{1}$ = 40.64130°, $\lambda _{1}$ = -73.77810° till Paris, $\phi _{2}$ = 49,00970°, $\lambda _{2}$ = 2,54800° är:

$\alpha _{1}$ = 53,521396°, $\alpha _{2}$ = 111,612516° och $s_{12}$ = 5849157,595 (m) = 29214 (29214) (29216) nm). Resultaten för den ömsesidiga normalsektionen från New York till Paris är:

$\alpha _{1}$ = 53,509422°, $\alpha _{2}$ = 111,624483° och $s_{12}$ = 5849157,545 (m) = 29214 (m) = 2921. nm).

Den maximala längdskillnaden mellan en normal sektion och motsvarande geodetik med längden 5 000 nautiska mil är cirka 6,0 meter. Sidoavvikelsen mellan dem kan vara så stor som 2,8 nautiska mil.

För att illustrera beroendet av sektionstyp för det direkta problemet, låt avgångsazimut och trippavstånd vara de för geodetiken ovan, och använd ytnormalen vid NY för att definiera det direkta problemet. I detta fall är ankomstpunkten $\phi _{2}$ = 49,017378°, $\lambda _{2}$ = 2,552626°, vilket är cirka 1/2 nm från ankomstpunkten definieras ovan. Naturligtvis kommer att använda avgångsazimut och avstånd från det normala avsnittet indirekta problem att lokalisera destinationen i Paris. Förmodligen används det direkta problemet när ankomstpunkten är okänd, men det är möjligt att använda vilken vektor $\mathbf {V_{0}}$ man vill. Om man till exempel använder ytnormalen i Paris, ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}} ,$ resulterar i en ankomstpunkt på $\phi _{2}$ = 49,007778°, $\lambda _{2}$ = 2,546842°, vilket är ungefär 1/8 nm från ankomstpunkten definierad ovan. Om du använder ytnormalen i Reykjavik (medan du fortfarande använder avgångsazimut och trippavstånd för geodetiken till Paris) kommer du att anlända cirka 347 nm från Paris, medan normalen i Zürich tar dig till inom 5,5 nm.

Sökandet efter ett avsnitt som är närmare geodetiken ledde till de följande två exemplen.

Visar hur den geodetiska avvikelsen varierar med azimut för sektioner med ursprung på 20° latitud.

Den genomsnittliga normalsektionen

Medelnormalsnittet från $P_{1}$ till $P_{2}$ bestäms genom att låta $\mathbf {V_{ 0}} =0,5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})$ . Detta är en bra uppskattning av geodetiken från $P_{1}$ till $P_{2}$ för flyg eller segling. Den maximala skillnaden i längd mellan medelnormalsektionen och motsvarande geodesik för längd 5 000 sjömil är cirka 0,5 meter. Sidoavvikelsen mellan dem är inte mer än cirka 0,8 nautiska mil. För banor med en längd på 1000 nautiska mil är längdfelet mindre än en millimeter, och den värsta laterala avvikelsen är cirka 4,4 meter. Att fortsätta exemplet från New York till Paris på WGS84 ger följande resultat för medelnormalsektionen:

$\alpha _{1}$ = 53.515409°, $\alpha _{2}$ = 111.618500° och $s_{12}$ = 5849157.560 (m) = 29214 (29214,9). nm).

Visar den geodetiska avvikelsen för olika 5000nm normalsektioner från ekvatorn.

Normalsektionen i mitten

Mittpunktsnormalsektionen från $P_{1}$ till $P_{2}$ bestäms genom att låta $\mathbf {V_{0}}$ = ytnormalen vid mittpunkten av geodetiken från $P_{1}$ till $P_{2}$ . Denna väg är bara något närmare geodetiken än den genomsnittliga normalsektionen. Den maximala längdskillnaden mellan en mittpunktsnormalsektion och motsvarande geodetiska längd 5 000 nautiska mil är cirka 0,3 meter. Den värsta laterala avvikelsen mellan dem är cirka 0,3 nautiska mil.

Att avsluta exemplet från New York till Paris på WGS84 ger följande resultat för den geodetiska mittpunktsnormalsektionen: $\alpha _{1}$ = 53.506207°, $\alpha _{2}$ = 111,627697° och $s_{12}$ = 5849157,545 (m) = 3158,292411 (nm).

Diskussion

Alla sektionsvägar som används i diagrammen till höger definierades med den indirekta metoden ovan. I det tredje och fjärde diagrammet definierades slutpunkten med den direkta algoritmen för geodetiken med det givna avståndet och initiala azimut. På var och en av geodetikerna valdes några punkter, den närmaste punkten på sektionsplanet lokaliserades genom vektorprojektion och avståndet mellan de två punkterna beräknades. Detta avstånd beskrivs som den laterala avvikelsen från den geodetiska, eller kortfattat geodetisk avvikelse, och visas i diagrammen till höger. Alternativet att hitta motsvarande punkt på sektionsvägen och beräkna geodetiska avstånd skulle ge något annorlunda resultat.

Det första diagrammet är typiskt för fall på mitten av latitud där den stora ellipsen är avvikelsen. Den normala sektionen förknippad med punkten längst bort från ekvatorn är ett bra val för dessa fall.

Det andra exemplet är längre och är typiskt för ekvatorkorsningsfall, där den stora ellipsen slår de normala sektionerna. De två normalsektionerna avviker dock på motsatta sidor av geodetiken, vilket gör medelnormalsektionen till ett bra val här.

Det tredje diagrammet visar hur de geodetiska avvikelserna varierar med initial geodetisk azimut som härrör från 20 grader nordlig latitud. Den värsta avvikelsen för normala sektioner av 5000 nautiska mils längd är cirka 2,8 nm och inträffar vid initial geodetisk azimut på 132° från 18° nordlig latitud (48° azimut för sydlig latitud).

Det fjärde diagrammet är hur det tredje diagrammet ser ut när man avgår från ekvatorn. På ekvatorn finns fler symmetrier eftersom sektioner vid 90° och 270° azimut också är geodetiska. Följaktligen visar det fjärde diagrammet endast 7 distinkta linjer av de 24 med 15 graders mellanrum. Specifikt sammanfaller linjerna vid azimuterna 15, 75, 195 och 255, liksom linjerna vid 105, 165, 285 och 345 på andra sidan som de innersta (annat än geodetikerna). De näst längsta sammanfallande linjerna från de fyra geodetiska linjerna är vid azimut 30, 60, 210 och 240 på ena sidan och 120, 150, 300 och 330 på andra sidan. De yttre linjerna är vid azimuterna 45 och 225 på ena sidan och 135 och 315 på den andra. När utgångspunkten rör sig norrut är linjerna vid azimut 90 och 270 inte längre geodetiska, och andra sammanfallande linjer separeras och fläktar ut till 18° latitud där den maximala avvikelsen uppnås. Bortom denna punkt drar avvikelserna ihop som ett japanskt fan när den första punkten fortsätter norrut. Så att vid latitud 84° är den maximala avvikelsen för normala sektioner cirka 0,25 nm.

Normalsektionen i mitten är (nästan) alltid ett bra val.

Korsningar

Låt två snittplan ges: ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}} ,$ och $\mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}$ . Om man antar att de två planen inte är parallella, är skärningslinjen på båda planen. Alltså ortogonalt mot båda normalerna, dvs i riktning mot $\mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}$ (det finns ingen anledning att normalisera ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} } )$ .

Eftersom $\mathbf {\hat {N}} _{1}$ och $\mathbf {\hat {N}} _{2}$ inte är kolinjära ${\ displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ , $\mathbf {\hat {N}} _{2}$ , $\mathbf {N_{3}}$ är en grund för $\mathbb {R} ^{3}$ . Därför finns det konstanter $C_{1}$ och $C_{2}$ så att skärningslinjen för de två planen ges av $R=C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}+t\mathbf {N_{3}}$ , där t är en oberoende parameter.

Eftersom denna linje finns på båda sektionsplanen, uppfyller den båda: $C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N }} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}$ och $C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})+C_{2}=d_{2}$ .

Att lösa dessa ekvationer för ${C_{1}}$ och ${C_{2}}$ ger $C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2} )^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})$ och $C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\ cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})$ .

Definiera "dihedrisk vinkel", $\nu$ , med $\cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}} \cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}$ . Då $C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^ {2}\nu }}$ och $C_{2}={\frac {(d_{2}-d_{1}\ cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}$ .

På skärningslinjen har vi ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} } ,$ där $\mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _ {2}$ . Därför: $x=x_{0}+tl_{3}$ , $y=y_{0}+tm_{3}$ och $z=z_{0}+tn_{3}$ , där $x_{0}=C_{1}l_{1} +C_{2}l_{2}$ , $y_{0}=C_{1}m_{1}+C_{2}m_{2}$ och $z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2$${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i},m_{i},n_{i})} , för i=1,2$ , och $\mathbf {N_{3}} =(l_{3},m_{3},n_{3})$ .

För att hitta skärningspunkten för denna linje med jorden, koppla in linjeekvationerna till ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2 }}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1} , för att$ få $At^{2}+2Bt+C=0$ , där $A=l_{3} ^{2}+m_{3}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}$ , $B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}} z_{0}n_{3}$ , $C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+ {\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}$ .

Därför skär linjen jorden vid $t={\frac {-B\pm {\sqrt {{B}^{2}-AC}}}{A }}$ . Om $B^{2}<AC$ , så finns det ingen skärningspunkt. Om $B^{2}=AC$ så är linjen tangent till jorden vid $t=-B/A$ (dvs sektionerna skär varandra vid det enda poäng).

Observera att $A\neq 0$ eftersom $\mathbf {\hat {N}} _{1}$ och $\mathbf {\hat {N}} _ {2}$ är inte kolinjära. Att koppla t till ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} } ,$ ger skärningspunkterna för jordsektionerna.

Exempel

Hitta var ett avsnitt från New York till Paris skär Greenwich-meridianen. Primmeridianens plan kan beskrivas med $\mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)$ och $d=0$ . Resultaten är följande:

Korsningar

Sektion	Latitud
Stor Ellips	49,634970°
Vanligt	49,637377°
Medelnormal	49,637568°
Ömsesidig	49,637759°
Mittpunkt	49,637862°

Extrema breddgrader och longituder

Den maximala (eller lägsta) latituden är där sektionellipsen skär en parallell vid en enda punkt. För att ställa in problemet, låt $\mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)$ , $d_{1}=d$ vara det givna sektionsplanet. Parallellen är ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)} ,$ d $\displaystyle d_{2 }=z_{0}}$ , där $z_{0}$ ska bestämmas så att det bara finns en skärningspunkt. Att tillämpa skärningsmetoden ovan resulterar i $\mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1} \times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)$ , ${\mathbf {\hat {N}} _{ 1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n$ , ${\textstyle C_{1}={\frac {1} {p^{2}}}(d-nz_{0})}$ och ${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2 }}}(z_{0}-nd)}$ , eftersom $1-n^{2}=l^{2}+m^{2}= p^{2}$ . De resulterande linjära ekvationerna blir $x=x_{0}+tm$ ​​, $y=y_{0}-tl$ och $z=z_{0}$ , där $x_{0}=C_{1}l$ , $y_{0}=C_{1}m$ , och $z_{0}$ ska bestämmas. De resulterande kvadratiska koefficienterna är $A=m^{2}+l^{2}=p^{2}$ , $B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0$ , $C=x_{0}^{ 2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2} C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p ^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2 }$ . Därför kommer skärningen endast att resultera i en lösning om $B^{2}=AC$ , men eftersom $B=0$ och ${\displaystyle A>0$ } kritisk ekvation blir $C=0$ . Denna ekvation kan arrangeras om och sättas till formen ${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0} ,$ där ${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}} ,$ F $\displaystyle F=nd }$ , och $G=d^{2}-a^{2}p^{2}$ . Därför ger ${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$ avstånd från origo för de önskade parallella planen. Att koppla in $z_{0}$ i $C_{1}$ ger värdena för $x_{0}$ och $y_{0}$ . Kom ihåg att $t=-B/A=0$ så $x=x_{0}$ , $y=y_{0}$ är de återstående koordinaterna för korsningarna. De geografiska koordinaterna kan sedan beräknas med hjälp av ECEF_to_Geo-konverteringen.

Samma metod kan tillämpas på meridianer för att hitta extrema longituder, men resultaten är inte lätta att tolka på grund av longitudens modulära karaktär. Resultaten kan dock alltid verifieras med följande tillvägagångssätt.

Det enklare tillvägagångssättet är att beräkna ändpunkterna för de mindre och stora axlarna för sektionellipsen med hjälp av $\mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b ^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}$ , och $\mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a ^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}$ , och konvertera sedan till geografiska koordinater. Det kan här vara värt att nämna att skärningslinjen för två plan består av uppsättningen fixpunkter, därav rotationsaxeln, av en koordinatrotation som mappar det ena planet på det andra.

För exemplet från New York till Paris är resultaten:

Sektion	Minor Axis Point 1	Minor Axis Point 2	Huvudaxelpunkt 1	Huvudaxelpunkt 2
Stor Ellips	$\phi _{1}$ = 52.418061°, $\lambda _{1}$ = -25.123079°	$\phi _{2}$ = -52.418061°, $\lambda _{2}$ = 154.876921°	$\phi _{1}$ = 0,000000°, $\lambda _{1}$ = 64,876921°	$\phi _{2}$ = 0,000000°, $\lambda _{2}$ = -115,123079°
Vanligt	$\phi _{1}$ = 52,433790°, $\lambda _{1}$ = -25,154863°	$\phi _{2}$ = -52,739188°, $\lambda _{2}$ = 154,845137°	$\phi _{1}$ = -0,093365°, $\lambda _{1}$ = 64,723898°	$\phi _{2}$ = -0,093365°, $\lambda _{2}$ = -115,033623°
Medelnormal	$\phi _{1}$ = 52.435039°, $\lambda _{1}$ = -25.157380°	$\phi _{2}$ = -52,764681°, $\lambda _{2}$ = 154,842620°	$\phi _{1}$ = -0,100746°, $\lambda _{1}$ = 64,711732°	$\phi _{2}$ = -0,100746°, $\lambda _{2}$ = -115,026491°
Ömsesidig	$\phi _{1}$ = 52,436288°, $\lambda _{1}$ = -25,159896°	$\phi _{2}$ = -52.790172°, $\lambda _{2}$ = 154.840104°	$\phi _{1}$ = -0,108122°, $\lambda _{1}$ = 64,699565°	$\phi _{2}$ = -0,108122°, $\lambda _{2}$ = -115,019357°
Mittpunkt	$\phi _{1}$ = 52,436959°, $\lambda _{1}$ = -25,161247°	$\phi _{2}$ = -52.803863°, $\lambda _{2}$ = 154.838753°	$\phi _{1}$ = -0,112082°, $\lambda _{1}$ = 64,693029°	$\phi _{2}$ = -0,112082°, $\lambda _{2}$ = -115,015522°

Se även

• Geografiskt avstånd#Höjdkorrigering
• Normalsektionsazimut

Vidare läsning

• Helmert, Friedrich Robert (1964-01-01). "Matematiska och fysiska teorier om högre geodesi, del 1, Förord ​​och de matematiska teorierna" . Zenodo . doi : 10.5281/zenodo.32050 . Hämtad 2022-04-17 .
• Jordan, Wilhelm; Eggert, Otto (1962-01-01). "Jordan's Handbook of Geodesy, Vol. 3, 2: a halvan" . Zenodo . doi : 10.5281/zenodo.35316 . Hämtad 2022-04-17 .