Jacka matris

I matematik är en mantelmatris en kvadratsymmetrisk matris $A=(a_{ij})$ av ordningen n om dess poster är icke-noll och reella , komplexa eller från ett ändligt fält , och

Hierarki av matristyper

\ AB=BA=I_{n}

där I _n är identitetsmatrisen och

\ B={1 \over n}(a_{ij}^{-1})^{T}.

där T betecknar transponeringen av matrisen.

Med andra ord bestäms inversen av en mantelmatris dess element- eller blockvisa invers. Definitionen ovan kan också uttryckas som:

{\ displaystyle \forall u,v\in \{1,2,\dots ,n\}:~a_{iu},a_{iv}\neq 0,~~~~\sum _{i=1}^{n }a_{iu}^{-1}\,a_{iv}={\begin{cases}n,&u=v\\0,&u\neq v\end{cases}}}

Jacket-matrisen är en generalisering av Hadamard-matrisen ; det är en diagonal blockvis invers matris.

Motivering

n	.... −2, −1, 0 1, 2,.....	logaritm
2 ⁿ	.... $\ {1 \over 4},{1 \over 2},$ 1, 2, 4, ...	serier

Som visas i tabellen, dvs i serien, till exempel med n =2, framåt: $2^{2}=4$ , invers : $(2^{2})^{-1}={1 \över 4}$ , sedan, $4*{1 \over 4}=1$ . Det vill säga, det finns en elementmässig invers.

Exempel 1.

\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-2&2& -1\\1&2&-2&-1\\1&-1&-1&1\\\end{array}}\right],}

:

B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\[6pt]1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}&-1\\[ 6pt]1&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&-1&-1&1\\[6pt]\end{array}}\right].

eller mer allmänt

\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}a&b&b&a\\b&-c&c& -b\\b&c&-c&-b\\a&-b&-b&a\end{array}}\right],}

:

B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}{1 \over a}&{1 \over b}&{1 \over b}&{1 \over a}\\[6pt]{1 \over b}&-{1 \over c}&{1 \over c}& -{1 \over b}\\[6pt]{1 \over b}&{1 \over c}&-{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over a}&-{1 \over b}&-{1 \over b}&{1 \over a}\end{array}}\right],

Exempel 2.

För mxm-matriser, $\mathbf {A_{j}} ,$

$\mathbf {A_{j}} =\mathrm {diag} (A_{1},A_{2},..A_ {n})$ betecknar en mn x mn block diagonal Jacket-matris.

J_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}I_{2}&0&0&0\\ 0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&I_{2}\end{array}}\right],

\ J_{4}^{T}J_{4}=J_{4}J_{4}^{T}=I_{4}.

Exempel 3.

Eulers formel :

e^{i\pi }+1=0

,

e^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1

och

e^{-i\pi }=\cos {\pi }-i\sin {\pi }=-1

.

Därför,

e^{i\pi }e^{-i\pi }=(-1)({\frac {1}{ -1}})=1

.

Också,

y=e^{x}

{\frac {dy}{dx}}=e^{x}

,

{\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dy}}=e^{x}{\frac {1}{e^{x} }}=1

.

Till sist,

A · B = B · A = I

Exempel 4.

 Betrakta  $[\mathbf {A} ]_{N}$  vara 2x2 blockmatriser av ordningen  $N=2p$

[\mathbf {A} ]_{N}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\ mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{0}\\\end{array}}\right],

.

Om $[\mathbf {A} _{0}]_{p}$ och $[\mathbf {A} _{1}]_{p}$ är pxp Jacket-matris, då är $[A]_{N}$ en blockcirkulerande matris om och endast om ${\displaystyle \mathbf {A} _{ 0}\mathbf {A} _{1}^{rt}+\mathbf {A} _{1}^{rt}\mathbf {A} _{0}} , där rt anger den reciproka transponeringen$ .

Exempel 5.

Låt $\mathbf {A} _{0}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1\\1&1\\\end{array}}\ höger],$ och $\mathbf {A} _{1}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&-1\\- 1&1\\\end{array}}\right],$ , sedan ges matrisen $[\mathbf {A} ]_{N}$ av

[\mathbf {A} ]_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{0}&\ mathbf {A} _{1}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\-1&1&-1&- 1\\1&1&-1&1\\\end{array}}\right],

,

[\mathbf {A} ]_{4}

⇒

\left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T}\otimes \left[{ \begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T} ,

där U , C , A , G anger mängden av DNA-nukleobaserna och matrisen $[\mathbf {A} ]_{4}$ är den blockcirkulerande Jacket-matrisen som leder till principen om Antagonism med Nirenbergs genetiska kodmatris.

[1] Moon Ho Lee, "The Center Weighted Hadamard Transform", IEEE Transactions on Circuits Syst. Vol. 36, nr 9, PP. 1247–1249, september 1989.

[2] Kathy Horadam, Hadamard Matrices and Their Applications , Princeton University Press, Storbritannien, kapitel 4.5.1: The jacket matrix construction, PP. 85–91, 2007.

[3] Moon Ho Lee, Jacket Matrices: Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing , LAP LAMBERT Publishing, Tyskland, nov. 2012.

[4] Moon Ho Lee, et. al., "MIMO Communication Method and System using the Block Circulant Jacket Matrix", US-patent nr. US 009356671B1, maj 2016.

[5] SK Lee och MH Lee, "The COVID-19 DNA-RNA Genetic Code Analysis Using Information Theory of Double Stochastic Matrix," IntechOpen, Book Chapter, 17 april 2022. [Tillgänglig online: https://www . intechopen.com/chapters/81329 ].

externa länkar