Jack funktion

Inom matematiken är Jack -funktionen en generalisering av Jack-polynomet , introducerad av Henry Jack . Jack-polynomet är ett homogent , symmetriskt polynom som generaliserar Schur- och zonpolynomen , och som i sin tur generaliseras av Heckman-Opdam-polynomen och Macdonald-polynomen .

Definition

Jackfunktionen $J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_ {m})$ av en heltalspartition $\kappa$ , parameter $\alpha$ och argument $x_{1},x_{2} ,\ldots ,x_{m}$ kan definieras rekursivt enligt följande:

För m =1

$J_{k}^{(\alpha )}(x_{ 1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )$

För m >1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \ mu },$

där summeringen är över alla partitioner $\mu$ så att skevpartitionen $\kappa /\mu$ är en horisontell remsa , nämligen

${\displaystyle \kappa _\{1}\geq \_mu _{1} }\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}} ( μ n {$ \ $mu _{n}}$ måste vara noll eller på annat sätt $J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0$ ) och

${\{displaystyle \beta _\ kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j )\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

där $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ är lika med $\kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)$ om $\kappa _{j}'=\mu _{j}'$ och $\kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)$ annars. Uttrycken $\kappa '$ och $\mu '$ hänvisar till de konjugerade partitionerna för $\kappa$ respektive $\mu$ . Notationen $(i,j)\in \kappa$ betyder att produkten tas över alla koordinater $(i,j)$ för rutor i Young diagram över partitionen $\kappa$ .

Kombinatorisk formel

1997 gav F. Knop och S. Sahi en rent kombinatorisk formel för Jack-polynomen $J_{\mu }^{(\alpha )}$ i n variabler:

$J_{\mu }^{(\alpha )}=\summa _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.$

Summan tas över alla tillåtna tablåer med formen $\lambda ,$ och

$d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ kritisk}}}d_{\ lambda }(\alpha )(s)$

med

$d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).$

En tillåten tablå med formen $\lambda$ är en fyllning av Young-diagrammet $\lambda$ med siffrorna 1,2,..., n så att för varje ruta ( i , j ) i tablåen,

• $T(i,j)\neq T(i',j)$ närhelst $i'>i.$
• $T(i,j)\neq T(i,j-1)$ när $j>1$ och $i'<i.$

En ruta $s=(i,j)\in \lambda$ är kritisk för tablå T om $j>1$ och $T(i,j)=T(i,j-1).$

Detta resultat kan ses som ett specialfall av den mer allmänna kombinatoriska formeln för Macdonald-polynom .

C normalisering

Jackfunktionerna bildar en ortogonal bas i ett utrymme av symmetriska polynom, med inre produkt:

$\langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1} },\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots,e^{i\theta _{ n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right |^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}$

Denna ortogonalitetsegenskap påverkas inte av normalisering. Normaliseringen som definieras ovan kallas vanligtvis J -normaliseringen. C- normaliseringen definieras som

$C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n }),$

var

$j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1 \right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).$

För $\alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n })$ betecknas ofta med $C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ och kallas zonpolynomet .

P normalisering

P- normaliseringen ges av identiteten ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }} ,$ där

$H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{ \lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)$

där $a_{\lambda }$ och $l_{\lambda }$ anger arm- respektive benlängd . Därför, för $\alpha =1,P_{\lambda }$ den vanliga Schur-funktionen.

I likhet med Schur-polynom kan $P_{\lambda }$ uttryckas som en summa över Young-tablåer. Man behöver dock lägga till en extra vikt till varje tablå som beror på parametern $\alpha$ .

ges en formel för Jack-funktionen ${\displaystyle P_{\lambda }} av$

$P_{\lambda }=\summa _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\ i \lambda }x_{T(s)}$

där summan tas över alla tablåer med formen $\lambda$ , och $T(s)$ anger inmatningen i box s av T .

Vikten $\psi _{T}(\alpha )$ kan definieras på följande sätt: Varje tablå T med formen $\lambda$ kan tolkas som en sekvens av partitioner

$\emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda$

där $\nu _{i+1}/\nu _{i}$ definierar skevningsformen med innehållet i i T . Sedan

$\psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1 }/\nu _{i}}(\alpha )$

var

$\psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu}(s)+l_{\mu}(s) )+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu}(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{ \lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}$

och produkten tas endast över alla rutor s i $\lambda$ så att s har en ruta från $\lambda /\mu$ i samma rad, men inte i samma kolumn.

Förbindelse med Schur-polynomet

När $\alpha =1$ är Jack-funktionen en skalär multipel av Schur-polynomet

$J_{\kappa }^{(1)}( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),$

var

$H_{\kappa }= \prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _ {j}'-i-j+1)$

är produkten av alla kroklängder av $\kappa$ .

Egenskaper

Om partitionen har fler delar än antalet variabler är Jack-funktionen 0:

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{ 2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.$

Matrisargument

I vissa texter, särskilt inom slumpmatristeori, har författare funnit det mer praktiskt att använda ett matrisargument i Jack-funktionen. Anslutningen är enkel. Om $X$ är en matris med egenvärden ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}},$ då

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}) .$

•    Demmel, James ; Koev, Plamen (2006), "Exakt och effektiv utvärdering av Schur- och jackfunktioner", Mathematics of Computation , 75 (253): 223–239, CiteSeerX 10.1.1.134.5248 , doi : 10.1090/S0107-8050-57087505 -1 , MR 2176397 .
•   Jack, Henry (1970–1971), "A class of symmetric polynomials with a parameter", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , Section A. Mathematics, 69 : 1–18, MR 0289462 .
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 mars 1997), "A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials", Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22, arXiv : q-alg/9610016 , Bibcode : 1997InMat.128.... 9K , doi : 10.1007/s002220050134
•    Macdonald, IG (1995), Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , MR 1354144
•   Stanley, Richard P. (1989), "Some combinatorial properties of Jack symmetric functions", Advances in Mathematics , 77 (1): 76–115, doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR 3 101407 .

externa länkar

• Programvara för att beräkna Jack-funktionen av Plamen Koev och Alan Edelman.
• MOPS: Multivariat ortogonala polynom (symboliskt) (lönnpaket) Arkiverad 2010-06-20 på Wayback Machine
• SAGE-dokumentation för Jack Symmetric Functions