j -linje

Ej att förväxla med Line J (disambiguation) .

I studien av aritmetiken för elliptiska kurvor är j R -linjen över en ring R det grova modulschemat kopplat till modulproblemet som skickar en ring $R$ till uppsättningen av isomorfismklasser av elliptiska kurvor över $\ displaystil R}$ . Eftersom elliptiska kurvor över de komplexa talen är isomorfa (över en algebraisk stängning) om och endast om deras $j$ -invarianter överensstämmer, är det affina rummet $\mathbb {A} _{j}^{ 1}$ parametrisering av j-invarianter för elliptiska kurvor ger ett grovt modulutrymme . Detta misslyckas dock med att vara ett fint modulutrymme på grund av närvaron av elliptiska kurvor med automorfismer, vilket nödvändiggör konstruktionen av Moduli-stapeln av elliptiska kurvor .

Detta är relaterat till kongruensundergruppen $\Gamma (1)$ på följande sätt:

$M([\Gamma (1)])=\mathrm {Spec} (R[j])$

Här normaliseras j -invarianten så att $j=0$ har komplex multiplikation med ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{3}]} ,$ och ${ \displaystyle j=1728}$ har komplex multiplikation med $\mathbb {Z} [i]$ .

J -linjen kan ses som en koordinatisering av den klassiska modulära kurvan för nivå 1, ${\displaystyle X_{0}(1)} ,$ som är isomorf till den komplexa projektiva linjen ${\ displaystyle \mathbb {P} _{/\mathbb {C} }^{1}}$ .