Optiska skalärer

I allmän relativitet hänvisar optiska skalärer till en uppsättning av tre skalärfunktioner $\{{\hat {\theta }}$ ( expansion), $\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ { ( skjuvning) och ${\hat {\omega }}$ (vridning/rotation/virvel) $\}$ som beskriver utbredningen av en geodetisk nollkongruens .

Faktum är att dessa tre skalärer $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega } }\}$ kan definieras för både tidsliknande och noll geodetiska kongruenser i en identisk anda, men de kallas "optiska skalärer" endast för nollfallet. Det är också deras tensoriella föregångare $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\ ,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ som används i tensorialekvationer, medan skalärerna ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}} visas huvudsakligen i ekvationer skrivna på språket$ för Newman-Penrose formalism .

Definitioner: expansion, skjuvning och vridning

För geodetiska tidsliknande kongruenser

Beteckna tangentvektorfältet för en observatörs världslinje (i en tidsliknande kongruens) som $Z^{a}$ , och sedan skulle man kunna konstruera inducerad "spatial metrik" som

$(1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,$

där $h_{\;\;b}^{a}$ fungerar som en rumsligt projicerande operator. Använd $h_{\;\;b}^{a}$ för att projicera koordinatkovariantderivatan $\nabla _{b}Z_{a}$ och man får "spatial" " hjälptensor $B_{ab}$ ,

$(2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^ {c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\ ;,$

där $A_{a}$ representerar fyraccelerationen, och $B_{ab}$ är rent rumslig i den meningen att ${\ displaystil B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$ . Specifikt för en observatör med en geodetisk tidsliknande världslinje har vi

$(3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.$

Bryt nu ner $B_{ab}$ i dess symmetriska och antisymmetriska delar $\theta _{ab}$ och $\omega _{ab}$ ,

$(4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.$

$\omega _{ab}=B_{[ab]}$ är spårfri ( $g^{ab}\omega _{ ab}=0$ ) medan $\theta _{ab}$ har spår som inte är noll, $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ . Således kan den symmetriska delen $\theta _{ab}$ skrivas om ytterligare till sin spår- och spårfria del,

$(5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.$

Allt som allt har vi alltså

$(6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{ 3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.$

För geodetiska nollkongruenser

Betrakta nu en geodetisk nollkongruens med tangentvektorfältet $k^{a}$ . I likhet med den tidsliknande situationen definierar vi också

$(7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,$

som kan sönderdelas till

$(8)\quad {\hat {B }}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta } }{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,$

var

$(9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\ hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab) }-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={ \hat {B}}_{[ab]}\;.$

Här används "hattade" kvantiteter för att betona att dessa kvantiteter för nollkongruenser är tvådimensionella i motsats till det tredimensionella tidsliknande fallet. Men om vi bara diskuterar nollkongruenser i ett papper, kan hattarna utelämnas för enkelhets skull.

Definitioner: optiska skalärer för nollkongruenser

De optiska skalärerna $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ kommer direkt från "skalarisering" av tensorerna $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ i ekv(9).

Expansionen av en geodesisk nollkongruens definieras av (där vi för clearing kommer att använda en annan standardsymbol " $;$ " för att beteckna den kovarianta derivatan $\displaystyle \nabla _{a}}$ { )

$(10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.$

Jämförelse med "expansionshastigheterna för en nollkongruens": Som visas i artikeln "Expansionshastigheten för en nollkongruens", de utgående och ingående expansionshastigheterna, betecknade med θ ( ℓ ) {\displaystyle \theta _ $) }}$ och $\theta _{(n)}$ respektive definieras av

$(A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a }l_{b}\;,$

$(A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a} n_{b}\;,$

där $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l ^{b}$ representerar det inducerade måttet. Dessutom $\theta _{(\ell )}$ och $\theta _{(n)}$ beräknas via

$(A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,$

$(A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _ {a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,$

där $\kappa _{(\ell )}$ och $\kappa _{(n)}$ är de utgående respektive ingående icke-affinitetskoefficienterna definierade av

$(A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{( \ell )}l_{b}\;,$

$(A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.$

Newman–Penrose-formalismens $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a }{\bar {m}}_{a}=1\}$ med konventionen , vi har

$(A.7)\ quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n) }=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

Som vi kan se, för en geodetisk nollkongruens, spelar den optiska skalären $\theta$ samma roll med expansionshastigheterna $\theta _{(\ell )}$ och $\theta _{(n)}$ . Därför, för en geodetisk nollkongruens, kommer ${\displaystyle \theta } att vara lika med antingen$$\theta _{(\ell )}$ eller $\theta _{( n)}$ .

Skjuvningen av en geodetisk nollkongruens definieras av

$(11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}= {\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d} -{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\ ,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta } }^{2}\;.$

Vridningen av en geodetisk nollkongruens definieras av

$(12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{ a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.$

I praktiken definieras en geodetisk nollkongruens vanligtvis antingen av dess utgående ( $k^{a}=l^{a}$ ) eller ingående ( $k^{ a}=n^{a}$ ) tangentvektorfält (som också är dess nollnormaler). Således får vi två uppsättningar optiska skalärer $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\, ,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ och $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat { \omega }}_{(n)}\}$ , som definieras med avseende på $l^{a}$ respektive $n^{a}$ .

Tillämpningar vid nedbrytning av fortplantningsekvationerna

För en geodetisk tidsliknande kongruens

Utbredningen (eller evolutionen) av $B_{ab}$ för en geodetisk tidsliknande kongruens längs $Z^{c}$ respekterar följande ekvation,

$(13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c }Z^{d}\;.$

Ta spåret av Eq(13) genom att dra ihop det med $g^{ab}$ , och Eq(13) blir

$(14)\quad Z^ {c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^ {ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}$

när det gäller kvantiteterna i ekv(6). Dessutom är den spårfria, symmetriska delen av ekv(13).

$(15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\, (\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{ 2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.$

Slutligen ger den antisymmetriska komponenten av ekv(13) efter

$(16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _ {\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.$

För en geodetisk nollkongruens

En (generisk) geodetisk nollkongruens lyder följande fortplantningsekvation,

$(16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c }{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.$

Med definitionerna sammanfattade i Eq(9) skulle Eq(14) kunna skrivas om till följande komponentekvationer,

${ \displaystyle (17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta}}_{,\,\lambda }=-{\frac {1 }{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega } }_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,}$

$(18)\quad k^{c}\nabla _{c} {\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^ {d}}}\;,$

$(19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega}}_ {ab}\;.$

För en begränsad geodetisk nollkongruens

För en geodetisk nollkongruens begränsad på en nollhyperyta har vi

$( 20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta}}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat { \theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{ d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,$

$(21)\quad k^ {c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{ cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,$

$(22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.$

Spinkoefficienter, Raychaudhuris ekvation och optiska skalärer

För en bättre förståelse av det föregående avsnittet kommer vi kortfattat att granska betydelsen av relevanta NP-spinkoefficienter för att visa nollkongruenser . Tensorformen av Raychaudhuris ekvation som styr nollflöden lyder

$(23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde { \omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,$

där ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ definieras så att ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ . Storheterna i Raychaudhuris ekvation är relaterade till spinkoefficienterna via

$(24)\quad \theta _ {(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\ mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

$(25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{ a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,$

${ \displaystyle (26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\ Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text {Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big ) }\,,}$

där Ekv(24) följer direkt av ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h} }^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ och

$(27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m ^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{ b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,$

$(28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b} m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}} ^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.$

Se även

• Raychaudharis ekvation
• kongruens (allmän relativitetsteori)