Inversiv distans

I inversiv geometri är det inversiva avståndet ett sätt att mäta " avståndet " mellan två cirklar , oavsett om cirklarna korsar varandra, tangerar varandra eller är disjunkta från varandra.

Egenskaper

Det inversiva avståndet förblir oförändrat om cirklarna inverteras , eller transformeras av en Möbius-transformation . Ett par cirklar kan omvandlas till ett annat par genom en Möbius-transformation om och endast om båda paren har samma inversiva avstånd.

En analog till Beckman–Quarles-satsen gäller för det inversiva avståndet: om en bijektion av mängden cirklar i det inversiva planet bevarar det inversiva avståndet mellan par av cirklar vid något valt fast avstånd ${\displaystyle \delta } ,$ då måste vara en Möbiusförvandling som bevarar alla inversiva avstånd.

Avståndsformel

För två cirklar i det euklidiska planet med radier $r$ och $R$ och avstånd $d$ mellan deras mittpunkter, kan det inversiva avståndet definieras med formeln

$I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2rR}}.$

Denna formel ger:

• ett värde större än 1 för två osammanhängande cirklar,
• ett värde på 1 för två cirklar som tangerar varandra och båda utanför varandra,
• ett värde mellan −1 och 1 för två cirklar som skär varandra,
  • ett värde på 0 för två cirklar som skär varandra i räta vinklar ,
• värdet −1 för två cirklar som tangerar varandra, den ena inuti den andra,
• och ett värde mindre än −1 när en cirkel innehåller den andra.

(Vissa författare definierar det absoluta inversiva avståndet som det absoluta värdet av det inversiva avståndet.)

Vissa författare modifierar denna formel genom att ta den inversa hyperboliska cosinus av värdet ovan, snarare än värdet i sig. Det vill säga, istället för att använda talet $I$ som det inversiva avståndet, definieras avståndet istället som talet $\delta$ som följer ekvationen

$\delta =\operatörsnamn {arcosh} (I).$

Även om omvandling av det inversiva avståndet på detta sätt gör avståndsformeln mer komplicerad och förhindrar dess tillämpning på att korsa par av cirklar, har det fördelen att (liksom det vanliga avståndet för punkter på en linje) avståndet blir additivt för cirklar i en penna av cirklar . Det vill säga, om tre cirklar tillhör en gemensam penna, då (med $\delta$ istället för $I$ som det inversiva avståndet) kommer ett av deras tre parvisa avstånd att vara summan av de andra två .

I andra geometrier

Det är också möjligt att definiera det inversiva avståndet för cirklar på en sfär , eller för cirklar i det hyperboliska planet .

Ansökningar

Steiner-kedjor

En Steinerkedja för två osammanhängande cirklar är en ändlig cyklisk sekvens av ytterligare cirklar, som var och en tangerar de två givna cirklarna och till dess två grannar i kedjan. Steiners porism säger att om två cirklar har en Steinerkedja så har de oändligt många sådana kedjor. Kedjan tillåts linda mer än en gång runt de två cirklarna, och kan karakteriseras av ett rationellt tal $p$ vars täljare är antalet cirklar i kedjan och vars nämnare är antalet gånger den lindas runt. Alla kedjor för samma två cirklar har samma värde på $p$ . Om det inversiva avståndet mellan de två cirklarna (efter att ha tagit den inversa hyperboliska cosinus) är $\delta$ , så kan $p$ hittas med formeln

$p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\delta /2)}}.$

Omvänt, varannan osammanhängande cirklar för vilken denna formel ger ett rationellt tal kommer att stödja en Steiner-kedja. Mer generellt kan ett godtyckligt par av osammanhängande cirklar approximeras godtyckligt nära av par av cirklar som stöder Steiner-kedjor vars $p$ -värden är rationella approximationer till värdet av denna formel för de givna två cirklarna.

Cirkelpackningar

Det inversiva avståndet har använts för att definiera konceptet med en cirkelpackning med inversiv avstånd : en samling cirklar så att en specificerad delmängd av par av cirklar (motsvarande kanterna på en plan graf ) har ett givet inversivt avstånd med avseende på varje Övrig. Detta koncept generaliserar cirkelpackningarna som beskrivs av cirkelpackningssatsen , där specificerade par av cirklar tangerar varandra. Även om mindre är känt om förekomsten av inversiva avståndscirkelpackningar än för tangentcirkelpackningar, är det känt att, när de finns, kan de specificeras unikt (upp till Möbius-transformationer) genom en given maximal plan graf och uppsättning av euklidiska eller hyperboliska inversiva avstånd. Denna styvhetsegenskap kan generaliseras brett, till euklidiska eller hyperboliska mått på triangulerade grenrör med vinkeldefekter vid sina hörn. Men för grenrör med sfärisk geometri är dessa packningar inte längre unika. I sin tur har inversiva avståndscirkelpackningar använts för att konstruera approximationer till konforma avbildningar .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Inversivt avstånd" . MathWorld .