Introduktion till Cirkelpackning
Introduktion till cirkelpackning: teorin om diskreta analytiska funktioner är en matematisk monografi om system av tangentcirklar och cirkelpackningssatsen . Den skrevs av Kenneth Stephenson och publicerades 2005 av Cambridge University Press .
Ämnen
Cirkelpackningar, som studeras i den här boken, är system av cirklar som berör vid tangentpunkter men inte överlappar varandra, enligt ett kombinatoriskt mönster av angränsningar som anger vilka par av cirklar som ska beröra. Cirkelpackningssatsen säger att en cirkelpackning existerar om och endast om mönstret av angränsningar bildar en plan graf ; det bevisades ursprungligen av Paul Koebe på 1930-talet och populariserades av William Thurston , som återupptäckte det på 1970-talet och förband det med teorin om konforma kartor och konform geometri . Som ett ämne bör detta särskiljas från sfärpackning , som tar hänsyn till högre dimensioner (här är allt tvådimensionellt) och är mer fokuserat på packningsdensitet än på kombinatoriska mönster av tangens.
Boken är uppdelad i fyra delar, i progressiva svårighetsgrader. Den första delen introducerar ämnet visuellt och uppmuntrar läsaren att tänka på förpackningar inte bara som statiska objekt utan som dynamiska system av cirklar som förändras på förutsägbara sätt när de förhållanden under vilka de bildas (deras närliggande mönster) förändras. Den andra delen avser beviset för själva cirkelpackningssatsen och den tillhörande styvhetssatsen : varje maximal plan graf kan associeras med en cirkelpackning som är unik upp till Möbius-transformationer av planet. Mer generellt gäller samma resultat för alla triangulerade grenrör , med en cirkelpackning på en topologiskt ekvivalent Riemann-yta som är unik upp till konform ekvivalens.
Den tredje delen av boken handlar om de frihetsgrader som uppstår när mönstret av angränsningar inte är helt triangulerade (det är en plan graf, men inte en maximal plan graf). I detta fall kommer olika förlängningar av detta mönster till större maximala plana grafer att leda till olika packningar, som kan mappas till varandra med motsvarande cirklar. Boken utforskar sambandet mellan dessa kartläggningar, som den kallar diskreta analytiska funktioner, och de analytiska funktionerna hos klassisk matematisk analys . Den sista delen av boken handlar om en gissning av William Thurston, bevisad av Burton Rodin och Dennis Sullivan , som gör denna analogi konkret: konforma avbildningar från vilken topologisk skiva som helst till en cirkel kan approximeras genom att fylla skivan med en hexagonal packning av enhetscirklar , hitta en cirkelpackning som adderar en enda yttre cirkel till det mönstret av angränsningar och konstruerar den resulterande diskreta analytiska funktionen. Denna del inkluderar även tillämpningar av talteori och visualisering av hjärnans struktur.
Stephenson har implementerat algoritmer för cirkelpackning och använt dem för att konstruera de många illustrationerna av boken, vilket ger mycket av detta arbete smaken av experimentell matematik , även om den också är matematiskt rigorös. Olösta problem listas genom hela boken, som också innehåller nio bilagor om relaterade ämnen som ringlemma och Doylespiraler .
Publik och mottagning
Boken presenterar matematik på forskningsnivå och vänder sig till professionella matematiker som är intresserade av detta och relaterade ämnen. Recensenten Frédéric Mathéus beskriver nivån på materialet i boken som "både matematiskt rigorös och tillgänglig för nybörjare matematiker", presenterad i en lättillgänglig stil som förmedlar författarens kärlek till materialet. Men även om det i förordet till boken står att inga bakgrundskunskaper är nödvändiga och att boken kan läsas av icke-matematiker eller användas som en lärobok på grundutbildningen, håller inte recensenten Michele Intermont med och noterar att den inte har några övningar för studenter och att skriva att "icke-matematiker blir inget annat än frustrerade över den här boken". På liknande sätt finner recensenten David Mumford att de första sju kapitlen (del I och mycket av del II) är på grundnivå, men skriver att "som helhet är boken lämplig för doktorander i matematik".
Offentliggörande
- Stephenson, Kenneth (2005), Introduktion till cirkelpackning: teorin om diskreta analytiska funktioner , New York: Cambridge University Press, ISBN 9780521823562 , OCLC 55878014