Icke-elementär integral

Inom matematiken är en icke-elementär antiderivata av en given elementär funktion en antiderivata (eller obestämd integral) som i sig inte är en elementär funktion (dvs. en funktion konstruerad från ett ändligt antal kvotienter av konstant , algebraisk , exponentiell , trigonometrisk och logaritmisk funktioner som använder fältoperationer ). En teorem av Liouville 1835 gav det första beviset på att icke-elementära antiderivat existerar. Detta teorem ger också en grund för Risch-algoritmen för att (med svårighet) bestämma vilka elementära funktioner som har elementära antiderivator.

Exempel

Exempel på funktioner med icke-elementära antiderivat inkluderar:

${\sqrt {1-x^{4}}}$ ( elliptisk integral )
${\frac {1}{\ln x}}$ ( logaritmisk integral )
$e^{-x^{2}}$ ( felfunktion , Gaussisk integral )
$\sin(x^{2})$ och $\cos(x^{2})$ ( Fresnel-integral )
${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatörsnamn {sinc} (x)$ ( sinusintegral , Dirichletintegral )
${\frac {e^{-x}}{x}}$ ( exponentiell integral )
$e^{e^{x}}\,$ (i termer av exponentialintegralen)
$\ln(\ln x)\,$ (i termer av den logaritmiska integralen)
${x^{c-1}}e^{-x}$ ( ofullständig gammafunktion ); för $c=0,$ kan antiderivatan skrivas i termer av exponentialintegralen; för $c={\tfrac {1}{2}},$ vad gäller felfunktionen; för ${\displaystyle c=} vilket positivt heltal som helst$ är antiderivatan elementär.

Vissa vanliga icke-elementära antiderivata funktioner får namn, som definierar så kallade specialfunktioner , och formler som involverar dessa nya funktioner kan uttrycka en större klass av icke-elementära antiderivat. Exemplen ovan namnger motsvarande specialfunktioner inom parentes.

Egenskaper

Icke-elementära antiderivat kan ofta utvärderas med Taylor-serien . Även om en funktion inte har någon elementär antiderivata, kan dess Taylor-serie alltid integreras term för term som ett polynom , vilket ger antiderivatafunktionen som en Taylor-serie med samma konvergensradie . Men även om integranden har en konvergent Taylor-serie, har dess koefficientsekvens ofta ingen elementär formel och måste utvärderas term för term, med samma begränsning för den integrala Taylor-serien.

Även om det inte är möjligt att utvärdera en obestämd integral (antiderivata) i elementära termer, kan man alltid approximera en motsvarande bestämd integral genom numerisk integration . Det finns också fall där det inte finns någon elementär antiderivata, men specifika bestämda integraler (ofta felaktiga integraler över obegränsade intervall ) kan utvärderas i elementära termer: mest berömd den Gaussiska integralen ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Stängningen under integration av uppsättningen av de elementära funktionerna är uppsättningen av Liouvillian funktioner .

Se även

Algebraisk funktion – funktion som kan definieras som roten till en polynomekvation
Uttryck i sluten form – Matematisk formel som involverar en given uppsättning operationer
Derivat – Omedelbar förändringshastighet (matematik)
Differentialalgebra – Algebra med en formell härledning och relativ area av matematik
Listor över integraler
Liouvilles teorem (differentialalgebra) – Säger när antiderivator av elementära funktioner kan uttryckas som elementära funktioner
Richardsons teorem – Oavgörbarhet för likheter mellan reella tal
Symbolisk integration – I matematik, beräkning av en antiderivata i sluten form
Tarskis gymnasiealgebraproblem – Matematiskt problem
Transcendental funktion – Analytisk funktion som inte uppfyller en polynomekvation

Integration av icke-elementära funktioner , SOS MATHematics.com; tillgänglig 7 december 2012.

Vidare läsning

Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES , 1 dec 1993. Öppnad 24 januari 2014.