Hyperdeterminant

I algebra är hyperdeterminanten en generalisering av determinanten . Medan en determinant är en skalärvärderad funktion definierad på en n × n kvadratisk matris , definieras en hyperdeterminant på en flerdimensionell matris av tal eller tensor . Liksom en determinant är hyperdeterminanten ett homogent polynom med heltalskoefficienter i tensorns komponenter . Många andra egenskaper hos determinanter generaliserar på något sätt till hyperdeterminanter, men till skillnad från en determinant har hyperdeterminanten inte en enkel geometrisk tolkning i termer av volymer .

₀ Det finns minst tre definitioner av hyperdeterminant. Den första upptäcktes av Arthur Cayley 1843 presenterad för Cambridge Philosophical Society . Den är i två delar och Cayleys första hyperdeterminant täcks i den andra delen. Det betecknas vanligtvis med det . Den andra Cayley-hyperdeterminanten uppstod 1845 och betecknas ofta "Det". Denna definition är en diskriminant för en singulär punkt på en skalärt värderad multilinjär karta .

Cayleys första hyperdeterminant definieras endast för hyperkuber som har ett jämnt antal dimensioner (även om variationer finns i udda dimensioner). Cayleys andra hyperdeterminant definieras för ett begränsat intervall av hypermatrisformat (inklusive hyperkuber av alla dimensioner). , senast definierad av Glynn, förekommer endast för fält med primekarakteristika p . Det betecknas med det _p och verkar på alla hyperkuber över ett sådant fält.

Endast de första och tredje hyperdeterminanterna är "multiplikativa", förutom den andra hyperdeterminanten i fallet med "gräns"-format. Den första och tredje hyperdeterminanten har också slutna formler som polynom och därför är deras grader kända, medan den andra inte verkar ha en sluten formel eller grad i alla fall som är kända.

Notationen för determinanter kan utvidgas till hyperdeterminanter utan förändring eller tvetydighet. Därför kan hyperdeterminanten för en hypermatris A skrivas med den vertikala strecknotationen som | A | eller som det ( A ).

En vanlig modern lärobok om Cayleys andra hyperdeterminant Det (liksom många andra resultat) är "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" av Gel'fand , Kapranov och Zelevinsky . Deras notation och terminologi följs i nästa avsnitt.

Cayleys andra hyperdeterminant Det

I det speciella fallet med en 2 × 2 × 2 hypermatris är hyperdeterminanten känd som Cayleys hyperdeterminant efter den brittiske matematikern Arthur Cayley som upptäckte den. Det kvartiska uttrycket för Cayleys hyperdeterminant av hypermatris A med komponenterna a _ijk , i , j , k ∊ {0, 1 } ges av

Det( A ) = a ₀₀₀ ² a ₁₁₁ ² + a ₀₀₁ ² a ₁₁₀ ² + a ₀₁₀ ² a ₁₀₁ ² + a ₁₀₀ ² a ₀₁₁ ²

− 2 a ₀₀₀ a ₀₀₁ a ₁₁₀ a ₁₁₁ − 2 a ₁₀ a ₀₁₀a₁₀₁a₁₁₁ − 2a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₀a₁₁₁ − 2a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₁a₁₁₀ − 2a₀₀₁a₀₁₁a₁₁₀a₁₀₀ − 2a₀₁₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₀₀ + 4a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₁₀ + 4a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₀a₁₁₁.

Detta uttryck fungerar som en diskriminant i den meningen att det är noll om och endast om det finns en lösning som inte är noll i sex okända xi , y ⁱ , z ⁱ , (med upphöjd i ⁼ 0 eller 1) i följande system av ekvationer

⁰⁰⁰⁰ a ₀₀₀ x y + a ₀₁₀ x y ¹ + a ₁₀₀ x ¹ y + a ₁₁₀ x ¹ y ¹ = 0

⁰⁰⁰⁰ a ₀₀₁ x y + a ₀₁₁ x y ¹ + a ₁₀₁ x ¹ y + a ₁₁₁ x ¹ y ¹ = 0

⁰⁰⁰⁰ a ₀₀₀ x z + a ₀₀₁ x z ¹ + a ₁₀₀ x ¹ z + a ₁₀₁ x ¹ z ¹ = 0

⁰⁰⁰⁰ a ₀₁₀ x z + a ₀₁₁ x z ¹ + a ₁₁₀ x ¹ z + a ₁₁₁ x ¹ z ¹ = 0

⁰⁰⁰⁰ a ₀₀₀ y z + a ₀₀₁ y z ¹ + a ₀₁₀ y ¹ z + a ₀₁₁ y ¹ z ¹ = 0

⁰⁰⁰⁰ a ₁₀₀ y z + a ₁₀₁ y z ¹ + a ₁₁₀ y ¹ z + a ₁₁₁ y ¹ z ¹ = 0 .

Hyperdeterminanten kan skrivas i en mer kompakt form med Einstein-konventionen för summering över index och Levi-Civita-symbolen som är en alternerande tensordensitet med komponenter ε ^ij specificerade av ε ⁰⁰ = ε ¹¹ = 0, ε ⁰¹ = −ε ¹⁰ = 1:

b _kn = (1/2)ε ^il ε ^jm a _ijk a _lmn

Det( ​​A ) = (1/2)ε ^il ε ^jm b _ij b _lm .

Med samma konventioner kan vi definiera en multilinjär form

f ( x , y , z ) = a _ijk x ⁱ y ^j z ^k

Då är hyperdeterminanten noll om och endast om det finns en icke-trivial punkt där alla partiella derivator av f försvinner.

Som ett tensoruttryck

Ovanstående determinant kan skrivas i termer av en generalisering av Levi-Civita-symbolen :

$\mathrm {Det} (A)= f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}$

där f är en generalisering av Levi-Civita-symbolen som tillåter två index att vara lika:

$=f^{0110}=f^{1001}=-1/2$

$f^{0101}=f^{1010}=1$

där f :et uppfyller:

$f^{...abc...}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba. ..}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0.$

Som en diskriminant

För symmetriska 2 × 2 × 2 × ⋯ hypermatriser är hyperdeterminanten diskriminanten för ett polynom. Till exempel,

$a_{000}=a$

$a_{001}=a_{010}=a_{100}=b$

$a_{110}=a_{101}=a_{011}=c$

$a_{111}=d$

Då är Det( ​​A ) diskriminanten av $ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d.$

Andra allmänna hyperdeterminanter relaterade till Cayley's Det

Definitioner

I det allmänna fallet definieras en hyperdeterminant som en diskriminant för en multilinjär karta f från ändligt dimensionella vektorrum Vi _till deras underliggande fält K som kan vara $\mathbb {R}$ eller $\mathbb { C}$ .

$f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K$

f kan identifieras med en tensor i tensorprodukten för varje dubbelrum V ^* _i

$f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^ {*}$

Per definition är en hyperdeterminant Det ( f ) ett polynom i komponenter av tensor f som är noll om och endast om kartan f har en icke-trivial punkt där alla partiella derivator med avseende på komponenterna i dess vektorargument försvinner (en icke-trivial punkt -trivial point betyder att inget av vektorargumenten är noll.)

Vektorutrymmena V _i behöver inte ha samma dimensioner och hyperdeterminanten sägs ha formatet ( k ₁ , ..., k _r ) k _i > 0, _om dimensionen för varje utrymme Vi är k _i + 1. Det kan visas att hyperdeterminanten finns för ett givet format och är unik upp till en skalär faktor, om och endast om det största talet i formatet är mindre än eller lika med summan av de andra talen i formatet.

Denna definition tillhandahåller inte ett sätt att konstruera hyperdeterminanten och i allmänhet är detta en svår uppgift. För hyperdeterminanter med format där r ≥ 4 är antalet termer vanligtvis för stort för att skriva ut hyperdeterminanten i sin helhet. För större r ökar även graden av polynomet snabbt och har ingen lämplig generell formel.

Exempel

Fallet med format med r = 1 handlar om vektorer med längden k ₁ + 1. I detta fall är summan av de andra formattalen noll och k ₁ är alltid större än noll, så det finns inga hyperdeterminanter.

Fallet r = 2 handlar om ( k ₁ + 1) × ( k ₂ + 1) matriser . Varje formatnummer måste vara större än eller lika med det andra, därför har endast kvadratmatriser S hyperdeterminanter och de kan identifieras med determinanten det( S ). Att tillämpa definitionen av hyperdeterminanten som en diskriminant i detta fall kräver att det( S ) är noll när det finns vektorer X och Y så att matrisekvationerna SX = 0 och YS = 0 har lösningar för icke-noll X och Y.

För r > 2 finns hyperdeterminanter med olika format som uppfyller formatolikheten. Till exempel har Cayleys 2 × 2 × 2 hyperdeterminant format (1, 1, 1) och en 2 × 2 × 3 hyperdeterminant av format (1, 1, 2) existerar också. En 2 × 2 × 4 hyperdeterminant skulle dock ha format (1, 1, 3) men 3 > 1 + 1 så den existerar inte.

Grad

Eftersom hyperdeterminanten är homogen i sina variabler har den en väldefinierad grad som är en funktion av formatet och skrivs N ( k ₁ , ..., k _r ). I speciella fall kan vi skriva ner ett uttryck för examen. Till exempel sägs en hyperdeterminant vara av gränsformat när det största formattalet är summan av de andra och i det här fallet har vi

$N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+ 1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.$

För hyperdeterminanter med dimensionerna 2r ^är en _bekväm genererande formel för graderna Nr

$\sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1 -z)^{2}}}.$

Speciellt för r = 2,3,4,5,6 är graden 2, 4, 24, 128, 880 och växer sedan mycket snabbt.

Tre andra speciella formler för att beräkna graden av hyperdeterminanter ges i

för 2 × m × m använd N (1, m − 1, m − 1) = 2 m ( m − 1)

för 3 × m × m använd N (2, m − 1, m − 1) = 3 m ( m − 1) ²

för 4 × m × m använd N (3, m − 1, m − 1) = (2/3) m ( m − 1)( m − 2)(5 m − 3)

Ett allmänt resultat som följer av produktregeln för hyperdeterminanter och invariansegenskaper som listas nedan är att den minsta gemensamma multipeln av dimensionerna av vektorutrymmena som den linjära kartan verkar på delar graden av hyperdeterminanten, dvs.

lcm( k ₁ + 1, ..., k _r + 1) | N ( ki _, ..., kr ) _.

Egenskaper hos hyperdeterminanter

Hyperdeterminanter generaliserar många av egenskaperna hos determinanter. Egenskapen att vara en diskriminant är en av dem och den används i definitionen ovan.

Multiplikativa egenskaper

En av de mest bekanta egenskaperna hos determinanter är multiplikationsregeln som ibland kallas Binet-Cauchy-formeln . För kvadraten n × n matriserna A och B säger regeln att

det( AB ) = det( A )det( B )

Detta är en av de svårare reglerna att generalisera från determinanter till hyperdeterminanter eftersom generaliseringar av produkter av hypermatriser kan ge hypermatriser av olika storlekar. Hela domänen av fall där produktregeln kan generaliseras är fortfarande föremål för forskning. Det finns dock några grundläggande instanser som kan anges.

Givet en multilinjär form f ( x ₁ , ..., x _r ) kan vi tillämpa en linjär transformation på det sista argumentet med hjälp av en n × n matris B , y _r = B x _r . Detta genererar en ny multilinjär form av samma format,

g ( x ₁ , ..., x _r ) = f ( x ₁ , ..., y _r )

I termer av hypermatriser definierar detta en produkt som kan skrivas g = f . B

Det är då möjligt att använda definitionen av hyperdeterminanten för att visa det

det( f . B ) = det( f )det( B ) ^{N / n}

där n är graden av hyperdeterminanten. Detta generaliserar produktregeln för matriser.

Ytterligare generaliseringar av produktregeln har visats för lämpliga produkter av hypermatriser av gränsformat.

₀ Cayleys första hyperdeterminant det är multiplikativ i följande betydelse. Låt A vara en r -dimensionell n × ... × n hypermatris med elementen a _{i , ..., k} , B vara en s -dimensionell n × ... × n hypermatris med elementen b _... och C be en ( r + s − 2)-dimensionell n × ... × n hypermatris med element c _... så att (med Einstein-notation )

c _{i , ..., j , l , ..., m} = a _{i , ..., j} ^k b _{k , l , ..., m} ,

sedan

₀₀₀ det (C) = det (A) det (B).

Invariansegenskaper

En determinant anses vanligtvis inte i termer av dess egenskaper som en algebraisk invariant, men när determinanter generaliseras till hyperdeterminanter är invariansen mer anmärkningsvärd. Att använda multiplikationsregeln ovan på hyperdeterminanten av en hypermatris H gånger en matris S med determinant lika med ett ger

det( H . S ) = det( H )

Med andra ord är hyperdeterminanten en algebraisk invariant under verkan av den speciella linjära gruppen SL( n ) på hypermatrisen. Transformationen kan lika väl appliceras på alla vektorutrymmen på vilka den multilinjära kartan verkar för att ge en annan distinkt invarians. Detta leder till det allmänna resultatet,

Hyperdeterminanten av format $(k_{1},\ldots ,k_{r})$ är en invariant under en åtgärd av gruppen $\mathrm {SL} (k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes \mathrm {SL} (k_{r}+1)$

Till exempel är determinanten för en n × n matris en SL( n ) ² invariant och Cayleys hyperdeterminant för en 2 × 2 × 2 hypermatris är en SL(2) ³ invariant.

En mer bekant egenskap hos en determinant är att om du lägger till en multipel av en rad (eller kolumn) till en annan rad (eller kolumn) i en kvadratisk matris så är dess determinant oförändrad. Detta är ett specialfall av dess invarians i fallet där den speciella linjära transformationsmatrisen är en identitetsmatris plus en matris med endast ett icke-noll off-diagonalt element . Den här egenskapen generaliserar omedelbart till hyperdeterminanter, vilket innebär invarians när du lägger till en multipel av en del av en hypermatris till en annan parallell del.

En hyperdeterminant är inte den enda polynomalgebraiska invarianten för gruppen som verkar på hypermatrisen. Till exempel kan andra algebraiska invarianter bildas genom att addera och multiplicera hyperdeterminanter. I allmänhet bildar invarianterna en ringalgebra och det följer av Hilberts grundsats att ringen är ändligt genererad. Med andra ord, för ett givet hypermatrisformat kan alla polynomalgebraiska invarianter med heltalskoefficienter bildas med hjälp av addition, subtraktion och multiplikation med början från ett ändligt antal av dem. I fallet med en 2 × 2 × 2 hypermatris kan alla sådana invarianter genereras på detta sätt från enbart Cayleys andra hyperdeterminant, men detta är inte ett typiskt resultat för andra format. Till exempel är den andra hyperdeterminanten för en hypermatris med formatet 2 × 2 × 2 × 2 en algebraisk invariant av grad 24 men alla invarianter kan genereras från en uppsättning av fyra enklare invarianter av grad 6 och mindre.

Historik och applikationer

Den andra hyperdeterminanten uppfanns och namngavs av Arthur Cayley 1845, som kunde skriva ner uttrycket för formatet 2 × 2 × 2, men Cayley fortsatte med att använda termen för valfri algebraisk invariant och övergav senare konceptet till förmån för en allmän teori om polynomformer som han kallade "kvantik". Under de följande 140 åren skedde få utvecklingar inom ämnet och hyperdeterminanter glömdes till stor del bort tills de återupptäcktes av Gel'fand, Kapranov och Zelevinsky på 1980-talet som en utlöpare av deras arbete med generaliserade hypergeometriska funktioner . Detta ledde till att de skrev sin lärobok där hyperdeterminanten återinförs som en diskriminant. I själva verket är Cayleys första hyperdeterminant mer fundamental än hans andra, eftersom det är en enkel generalisering av den vanliga determinanten, och har nyligen funnits i Alon-Tarsi-förmodan.

Sedan dess har hyperdeterminanten funnit tillämpningar inom ett brett spektrum av discipliner inklusive algebraisk geometri , talteori , kvantberäkning och strängteori .

I algebraisk geometri studeras den andra hyperdeterminanten som ett specialfall av en X-diskriminant. Ett huvudsakligt resultat är att det finns en överensstämmelse mellan hörnen på Newton-polytopen för hyperdeterminanter och "trianguleringen" av en kub till simpliceringar .

Inom kvantberäkning används invarianterna på hypermatriser av format 2N ^{för att studera intrasslingen av} N qubits .

I strängteorin dök hyperdeterminanten först upp i samband med strängdualiteter och svarta hålsentropi.

Källor

• Cayley, A. (1849). "Om teorin om determinanter" . Trans. Camb. Philos. Soc . VIII : 1–16.
• Cayley, A. (1845). "Om teorin om linjära transformationer" . Cambridge Math. J . 4 : 193-209.
• Glynn, David G. (1998). "De modulära motsvarigheterna till Cayleys hyperdeterminanter" . Bulletin från Australian Mathematical Society . 57 (3): 479. doi : 10.1017/s0004972700031890 .
•   Gelfand, IM; Kapranov, MM; Zelevinsky, AV (1994). Diskriminanter, resultanter och flerdimensionella determinanter . Boston: Birkhäuser. ISBN 9780817636609 .
• Dionisi, Carla; Ottaviani, Giorgio (2001). "Binet-Cauchy-satsen för hyperdeterminanten av gränsformat flerdimensionella matriser". arXiv : math/0104281 .
• Luque, JG.; Thibon, JY. "De polynominvarianter av fyra qubits". Fysisk granskning A . 67 . arXiv : quant-ph/0212069 . Bibcode : 2003PhRvA..67d2303L . doi : 10.1103/PhysRevA.67.042303 .
•   Crilly, Tony; Crilly, AJ (2006). Arthur Cayley: matematikerpristagare i viktoriansk tid . Baltimore, Maryland: Johns Hopkins University. ISBN 9780801880117 .
• Miyake, A. (2003). "Klassificering av intrasslade tillstånd med flera partier av flerdimensionella bestämningsfaktorer". Fysisk granskning A . 67 . arXiv : quant-ph/0206111 . Bibcode : 2003PhRvA..67a2108M . doi : 10.1103/PhysRevA.67.012108 .
• Duff, M. (2007). "Strängtrialitet, svarta hålsentropi och Cayleys hyperdeterminant". Fysisk granskning D . 76 . arXiv : hep-th/0601134 . Bibcode : 2007PhRvD..76b5017D . doi : 10.1103/PhysRevD.76.025017 .
• Zappa, Paolo (juli 1997). "Cayley-determinanten för determinanttensorn och Alon-Tarsi-förmodan" . Framsteg inom tillämpad matematik . 19 (1): 31–44. doi : 10.1006/aama.1996.0522 .
• Glynn, David G. (januari 2010). "Förmodningarna om Alon-Tarsi och Rota i Dimension Prime Minus One". SIAM Journal on Discrete Mathematics . 24 (2): 394–399. doi : 10.1137/090773751 .

Vidare läsning

För annan historisk utveckling som inte finns i boken från Gel'fand, Kapranov och Zelevinsky, se:

• Lecat, Maurice (1910). Leçons sur la Theorie des Determinants and Dimensions . Gand: Ad. Hoste.
• Lecat, Maurice (1911). Histoire de la Theorie des Determinants and plusieurs Dimensions . Gand: Ad. Hoste.
• Pascal, E. (1897). I Determinanti . Milan: Hoepli. (även översatt till tyska: "Die Determinanten", H. Leitzmann, Halle, 1900.) Det finns ett kort avsnitt om hyperdeterminanter och deras historia fram till 1900.