Hardy–Littlewood ojämlikhet

I matematisk analys säger Hardy –Littlewood-ojämlikheten , uppkallad efter GH Hardy och John Edensor Littlewood , att om $f$ och $g$ är icke-negativa mätbara reella funktioner som försvinner i oändligheten och som definieras på ${\ displaystyle n}$ - dimensionellt euklidiskt rymd $\mathbb {R} ^{n}$ , sedan

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x) g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$

där $f^{*}$ och $g^{*}$ är de symmetriska minskande omarrangemang av $f$ respektive $g$ .

Den minskande omordningen $f^{*}$ av $f$ definieras via egenskapen att för alla $r>0$ de två supernivåuppsättningarna

$E_{f}(r)=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}\quad$ och $\quad E_{f^{*}}(r)=\left\{x\in X:f^ {*}(x)>r\right\}$

har samma volym ( $n$ -dimensionellt Lebesgue-mått) och $E_{f^{*}}(r)$ är en boll i $\mathbb { R} ^{n}$ centrerad vid $x=0$ , dvs den har maximal symmetri.

Bevis

Lagerkaka -representationen låter oss skriva de allmänna funktionerna $f$ och $g$ i formuläret

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\ quad$ och $\quad g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s }\,ds$

där $r\mapsto \chi _{f(x)>r}$ är lika med $1$ för $r<f(x )$ och $0$ annars. Analogt är $s\mapsto \chi _{g(x)>s}$ lika med $1$ för $s<g( x)$ och $0$ annars.

Nu kan beviset erhållas genom att först använda Fubinis teorem för att växla integrationsordningen. Vid integration med avseende på $x\in \mathbb {R} ^{n}$ villkoren $f(x)>r$ och $g(x)>s$ indikatorn fungerar $x\mapsto \chi _{E_{f}(r)}(x)$ och $_{E_{g}(s)}(x)}$$E_{f}(r)$ visas med supernivåmängderna och $E_{g}(s)$ som introducerats ovan:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\;\int _{0}^{\ infty }\chi _{g(x)>s}\,ds\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0 }^{\infty }\chi _{f(x)>r}\;\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r )}(x)\;\chi _{E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\,ds=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^ {\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r)\cap E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\, ds.$

Genom att beteckna med $\mu$ det $n$ -dimensionella Lebesgue-måttet fortsätter vi med att uppskatta skärningsvolymen med minimum av volymerna för de två uppsättningarna. Sedan kan vi använda jämlikheten mellan volymerna för supernivåuppsättningarna för omarrangeringarna:

$r)\cap E_{g}(s)\right)\,dr\,ds}$

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\ mu \left(E_{f$

$\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f}( r)),\,\mu (E_{g}(s))\right\}\,dr\,ds$

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f^{*}}(r)),\, \mu (E_{g^{*}}(s))\right\}\,dr\,ds.$

Nu använder vi att supernivån sätter $E_{f^{*}}(r)$ och $E_{g^{*}}(s)$ är bollar i $\mathbb {R} ^{n}$ centrerade på $x=0$ , vilket innebär att $E_{f^{*}}(r)\,\cap \,E_{g^{*}}(s)$ är exakt den minsta av de två bollarna:

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(E_{f^{*}}(r)\cap E_{g^{*}}(s)\right)\,dr\,ds$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$

Den sista identiteten följer genom att vända de första fem stegen som till och med fungerar för allmänna funktioner. Detta avslutar beviset.

En ansökan

Låt slumpvariabel $X$ är normalfördelad med medelvärde $\mu$ och ändlig varians som inte är noll $\sigma ^{2}$ , då med Hardy–Littlewood-olikheten kan den bevisas att för $0<\delta <1$ är det δ $\delta ^{\text{th}}$ ömsesidiga momentet för det absoluta värdet av $X$

${\begin{aligned}\operatörsnamn {E} \left[{\frac {1}{\vert X\vert ^{\delta }}}\right]&\leq 2^{\frac {(1 -\delta )}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1-\delta }{2}}\right)}{\sigma ^{\delta }{\sqrt {2\pi }}}}{\text{ oavsett värdet på }}\mu \in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Tekniken som används för att erhålla ovanstående egenskap hos normalfördelningen kan användas för andra unimodalfördelningar.

Se även

• Omarrangemang ojämlikhet
• Chebyshevs summa ojämlikhet
• Lorentz utrymme