Skiktårta representation

Inom matematik är lagerkakorrepresentationen av en icke- negativ , mätbar funktion med reellt värde f definierad på ett måttutrymme $(\Omega,{\mathcal {A}},\mu)$ är formeln

$f(x)=\int _{0}^{\infty }1_{L(f,t)}(x )\,\mathrm {d} t,$

för alla $x\in \Omega$ , där $1_{E}$ anger indikatorfunktionen för en delmängd $E\subseteq \Omega$ och $L(f,t)$ anger supernivåuppsättningen

$L(f,t)=\{y\in \Omega \mid f(y)\geq t\}.$

Lagerkakans representation följer lätt av att observera det

$1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}( t)$

och sedan använda formeln

$f(x)=\int _{0}^{f(x)}\,\mathrm {d} t.$

Lagerkakarepresentationen har fått sitt namn från representationen av värdet $f(x)$$}$ summan av bidragen från "lagren" ${\displaystyle L(f,t$ ) : "lager"/värden t under $f(x)$ bidrar till integralen, medan värden t över $f(x)$ inte gör det. Det är en generalisering av Cavalieris princip och är också känd under detta namn.

En viktig konsekvens av lagerkakrepresentationen är identiteten

$\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{0}^{\infty }\mu (\{x\in \Omega \mid f(x)>t\})\,\mathrm {d} t,$

som följer av det genom att tillämpa Fubini-Tonelli-satsen .

En viktig tillämpning är att $L^{p}$ för $1\leq p<+\infty$ kan skrivas enligt följande

$\int _{\Omega }|f(x)| ^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)=p\int _{0}^{\infty }s^{p-1}\mu (\{x\in \Omega \mid \, |f(x)|>s\})\mathrm {d} s,$

som följer omedelbart av förändringen av variabler $t=s^{p}$ i lagerkakorrepresentationen av $|f(x)|^{p}$ .

Se även

• Symmetriskt minskande omarrangemang

• Gardner, Richard J. (2002). "Ojämlikheten mellan Brunn och Minkowski" . Tjur. Amer. Matematik. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (elektroniska). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
•   Lieb, Elliott ; Förlust, Michael (2001). Analys . Forskarstudier i matematik . Vol. 14 (andra upplagan). American Mathematical Society . ISBN 978-0821827833 .