Hamiltonsk begränsning av LQG

I ADM-formuleringen av allmän relativitet delar man upp rumtid i rumsliga delar och tid, de grundläggande variablerna anses vara den inducerade metriken $q_{ab}(x)$ , på den rumsliga delen ( avståndsfunktionen inducerad på den rumsliga skivan av rumtidsmåttet), och dess konjugerade momentumvariabel relaterad till den yttre krökningen, K $\displaystyle K^{ab}(x)}$ , (detta berättar hur spatiala skivkurvor med avseende på rumtid och är ett mått på hur den inducerade metriken utvecklas i tiden). Dessa är de metriska kanoniska koordinaterna .

Dynamik såsom tidsutveckling av fält styrs av Hamiltons begränsning .

Identiteten för den Hamiltonska begränsningen är en stor öppen fråga i kvantgravitationen , liksom att extrahera fysiska observerbara objekt från någon sådan specifik begränsning.

1986 introducerade Abhay Ashtekar en ny uppsättning kanoniska variabler, Ashtekar-variabler för att representera ett ovanligt sätt att skriva om de metriska kanoniska variablerna på de tredimensionella rumsliga skivorna i termer av ett SU(2) -måttfält och dess komplementära variabel. Hamiltonian var mycket förenklad i denna omformulering. Detta ledde till looprepresentationen av kvantallmän relativitet och i sin tur loopkvantgravitation .

Inom loopens kvantgravitationsrepresentation kunde Thiemann formulera en matematiskt rigorös operator som ett förslag som en sådan begränsning. Även om denna operator definierar en komplett och konsekvent kvantteori, har tvivel väckts om den fysiska verkligheten av denna teori på grund av inkonsekvenser med klassisk allmän relativitet (kvantbegränsningsalgebra stänger, men den är inte isomorf till den klassiska begränsningsalgebra i GR, som ses som indicier för inkonsekvenser definitivt inte ett bevis på inkonsekvenser), och därför har varianter föreslagits.

Klassiska uttryck för Hamiltonian

Metrisk formulering

Tanken var att kvantisera de kanoniska variablerna $q_{ab}$ och ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})} , vilket$ gör dem till operatorer som verkar på vågfunktioner på rymden av 3-metriker, och sedan för att kvantisera Hamiltonian (och andra begränsningar). Emellertid blev detta program snart betraktat som skrämmande svårt av olika skäl, en var den icke-polynomiska karaktären hos den Hamiltonska begränsningen:

$H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab} -(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)$

där $\;^{3}R$ är den skalära krökningen av de tre måtten $q_{ab}(x)$ . Eftersom det är ett icke-polynomiskt uttryck i de kanoniska variablerna och deras derivator är det mycket svårt att marknadsföra till en kvantoperator.

Uttryck med Ashtekar-variabler

Konfigurationsvariablerna för Ashtekars variabler beter sig som ett $SU(2)$ mätfält eller anslutning $A_{a}^{i$ . Dess kanoniskt konjugerade rörelsemängd är ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ är det förtätade "elektriska" fältet eller triaden (densitiserat som ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}})$ . Vad har dessa variabler med gravitation att göra? De förtätade triaderna kan användas för att rekonstruera den rumsliga metriken via

$\det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\ tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}$ .

De förtätade triaderna är inte unika, och i själva verket kan man utföra en lokal rotation i rymden med avseende på de interna indexen $i$ . Detta är faktiskt ursprunget till ${\displaystyle SU(2)}-$ . Anslutningen kan användas för att rekonstruera den yttre krökningen. Relationen ges av

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}$

där $\Gamma _{a}^{i}$ är relaterat till spinnanslutningen , $\Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j }$ , av ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki$$K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}$ och .

När det gäller Ashtekar-variabler ges det klassiska uttrycket för begränsningen av

$H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_ {i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}$ .

där $F_{ab}^{k}$ fältstyrketensor för mätfältet $A_{a}^{i}$ . På grund av faktorn $1/{\sqrt {\det(q)}}$ detta i icke-polynom i Ashtekars variabler. Eftersom vi ställer villkoret

$H=0$ ,

vi skulle kunna överväga den förtätade Hamiltonian istället,

${\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H= \epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0$ .

Denna Hamiltonian är nu polynom i Ashtekars variabler. Denna utveckling väckte nya förhoppningar för det kanoniska kvantgravitationsprogrammet. Även om Ashtekar-variabler hade fördelen att förenkla Hamiltonian, har det problemet att variablerna blir komplexa. När man kvantiserar teorin är det en svår uppgift att säkerställa att man återställer verklig generell relativitetsteori i motsats till komplex allmän relativitet. Det fanns också allvarliga svårigheter att marknadsföra den förtätade Hamiltonian till en kvantoperatör.

Ett sätt att ta itu med problemet med verklighetsförhållanden var att notera att om vi tog signaturen för att vara $(+,+,+,+)$ , det vill säga euklidisk istället för lorentzisk, då man kan behålla den enkla formen av Hamiltonian för men för verkliga variabler. Man kan sedan definiera vad som kallas en generaliserad Wick-rotation för att återställa den Lorentzianska teorin. Generaliserat eftersom det är en Wick-transformation i fasrymden och inte har något att göra med analytisk fortsättning av tidsparametern $t$ .

Uttryck för verklig formulering av Ashtekar-variabler

Thomas Thiemann kunde ta itu med båda ovanstående problem. Han använde den verkliga kopplingen

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}$

I verkliga Ashtekar-variabler är den fullständiga Hamiltonian

$H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+ 2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{ j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}} }(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H '$ .

där konstanten $\beta$ är Barbero-Immirzi-parametern . Konstanten $\zeta$ är -1 för Lorentzisk signatur och +1 för euklidisk signatur. Γ $\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ har ett komplicerat förhållande till de desitiserade triaderna och orsakar allvarliga problem vid kvantisering. Ashtekar-variabler kan ses som att de valde $\beta =i$ för att få den andra mer komplicerade termen att försvinna (den första termen betecknas $H_{E}$ för den euklidiska teorin denna term kvarstår för det verkliga valet av ${\displaystyle \beta =\pm 1} )$ . Vi har också fortfarande problemet med $1/{\sqrt {\det(q)}}$ faktorn.

Thiemann kunde få det att fungera på riktigt $\beta$ . Först kunde han förenkla det besvärliga $1/{\sqrt {\det(q)}}$ genom att använda identiteten

$\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _ {abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q) }}}$

där $V$ är volymen,

$V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \över 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E} }_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc }|}}$ .

Den första termen av den Hamiltonska begränsningen blir

$H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{ \tilde {\epsilon }}^{abc}$

vid användning av Thiemanns identitet. Denna Poisson-konsol ersätts av en kommutator vid kvantisering. Det visar sig att ett liknande knep kan användas för att spena den andra termen. Varför $\Gamma _{a}^{i}$ av de förtätade triaderna ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ ? Det kommer från kompatibilitetsvillkoret

$D_{a}E_{b}^{i}=0$ .

Vi kan lösa detta på ungefär samma sätt som Levi-Civita- kopplingen kan beräknas från ekvationen $\nabla _{c}g_{ab}=0$ ; genom att rotera de olika indexen och sedan lägga till och subtrahera dem (se artikelspinkoppling för mer detaljer om härledningen, även om vi där använder lite olika notation). Vi skriver sedan om detta i termer av den förtätade triaden med att $\det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}$ . Resultatet är komplicerat och icke-linjärt, men en homogen funktion av ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ av ordningen noll,

$\Gamma _{a}^{i}={1 \över 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b} ^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^ {l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \över 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{ \Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E} })}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}} )}{\Big ]}$ .

För att kringgå problemen som introduceras av detta komplicerade förhållande definierar Thiemann först Gauss gauge invariant kvantitet

$K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}$

där $K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\ det(q)}}$ och noterar att

$K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}$ .

(detta beror på att $\{\Gamma _{a}^{i},K\}=0$ som kommer av det faktum att $\beta K$ är generatorn för den kanoniska transformationen av konstant omskalning, ${\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_ {i}^{a}/\beta$ , och $\Gamma _{a}^{i}$ är en homogen funktion av ordningen noll). Då kan vi skriva

$A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a} ^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}$

och som sådant hitta ett uttryck i termer av konfigurationsvariabeln $A_{a}^{i}$ och $K$ för den andra termen i Hamiltonian

$H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk} \{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}$ .

Varför är det lättare att kvantisera $K$ ? Detta eftersom det kan skrivas om i termer av kvantiteter som vi redan vet hur man kvantifierar. Specifikt $K$ skrivas om som

$K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}$

där vi har använt att det integrerade förtätade spåret av den yttre krökningen är "tidsderivatan av volymen".

Koppling till materia

Koppling till skalärt fält

Lagrangian för ett skalärt fält i krökt rumtid

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det (g)}}(-g^{\mu \nu}\partial _{\mu}\varphi \partial _{\nu}\varphi -V(\varphi ))$ .

där $\mu ,\nu$ är rymdtidsindex. Vi definierar det konjugerade momentumet för det skalära fältet med det vanliga ${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}} ,$ den Hamiltonian kan skrivas om som,

$H= \int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}} (q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{ a}\varphi$ ,

där $N$ och $N^{a}$ är lapse och shift. I Ashtekar-variabler lyder detta,

${\ displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}} _{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+ N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

Som vanligt är den (utsmetade) rumsliga diffeomorphisn-begränsningen associerad med skiftfunktionen $N^{a}$ och den (utsmetade) Hamiltonian är associerad med lapse-funktionen $\displaystyle N}$ . Så vi läser helt enkelt av den rumsliga diffeomorfismen och Hamiltonska begränsningen,

$C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{ \tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi$

$H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left( {\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _ {b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)$ .

Dessa bör adderas (multiplicerat med $8\pi G\beta$ ) till den rumsliga diffeomorfismen respektive Hamiltonska begränsningen för gravitationsfältet. Detta representerar kopplingen av skalär materia till gravitationen.

Koppling till Fermionfält

Det finns problem med att koppla gravitation till spinorfält : det finns inga änddimensionella spinorrepresentationer av den allmänna kovariansgruppen. Men det finns naturligtvis spinoriala representationer av Lorentz-gruppen . Detta faktum utnyttjas genom att använda tetradfält som beskriver en platt tangentrymd vid varje tidpunkt i rumstiden. Dirac-matriserna γ $\displaystyle \gamma ^{I}}$ är sammandragna på vierbiens,

$\gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)$ .

Vi vill konstruera en generellt samvariant Dirac-ekvation. Under ett platt tangentrum Lorentz transformation spinorn som

$\psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi$

Vi har introducerat lokala Lorentz-transformationer på platt tangentrymd, så $\epsilon _{IJ}$ är en funktion av rum-tid. Detta betyder att den partiella derivatan av en spinor inte längre är en äkta tensor. Som vanligt introducerar man ett anslutningsfält $\omega _{\mu }^{IJ}$ som låter oss mäta Lorentz-gruppen. Den kovariantderivata som definieras med spinnkopplingen är,

$\nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a }^{IJ}\sigma _{IJ})\psi$ ,

och är en äkta tensor och Diracs ekvation skrivs om som

$(i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0$ .

Dirac-åtgärden i kovariant form är

$S_{Dirac }={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I} E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]$

där $\Psi =(\psi ,\eta )$ är en Dirac bispinor och ${\overline {\Psi }}= (\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}$ är dess konjugat. Kovariantderivatan $\nabla _{a}$ är definierad för att förinta tetraden $E_{a}^{I}$ .

Koppling till elektromagnetiskt fält

Verkan för ett elektromagnetiskt fält i krökt rumtid är

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g) }}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })$

var

${\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu } -\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }$

är fältstyrketensorn, i komponenter

${\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}$

och ${\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}$

där det elektriska fältet ges av

${\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\ mathcal {A}}}_{a}$

och magnetfältet är.

$B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}$ .

Den klassiska analysen med Maxwell-åtgärden följt av kanonisk formulering med tidsmätarparametriseringen resulterar i:

$H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over { \sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{ b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}$

$B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E} }}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}$

där ${\mathcal {A}}_{a}$ och ${\tilde {\mathcal {E}}}^{a}$ är de kanoniska koordinaterna.

Koppling till Yang–Mills-fältet

Åtgärden för ett Yang–Mills-fält för någon kompakt mätgrupp $G$ i krökt rumstid är

$L=-\int d^{4}x{\sqrt {- \det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_ {\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})$

där $F$ är krökningen för någon ${\displaystyle G-}-$ anslutning. För standardmodellen $U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ .

$H={1 \over 2}\int _{ \Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]$

Total Hamiltonian av materia kopplad till gravitation

Dynamiken i det kopplade gravitations-materiasystemet definieras enkelt genom att lägga till termer som definierar materiens dynamik till gravitationshamiltonian. Den fullständiga hamiltonian beskrivs av

$H =H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}$ .

Quantum Hamiltonian begränsning

I det här avsnittet diskuterar vi kvantiseringen av hamiltonian av ren gravitation, det vill säga i frånvaro av materia. Fallet med inkludering av materia diskuteras i nästa avsnitt.

Restriktionerna i sin primitiva form är ganska singulara, och bör därför "smetas ut" av lämpliga testfunktioner. Hamiltonian skrivs som

$H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k },V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}$ .

För enkelhetens skull överväger vi bara den "euklidiska" delen av den Hamiltonska begränsningen, förlängning till den fullständiga begränsningen kan hittas i litteraturen. Det finns faktiskt många olika val för funktioner, och så vad man sedan slutar med en (utsmetad) Hamiltonians begränsningar. Att kräva att alla ska försvinna motsvarar den ursprungliga beskrivningen.

Slingrepresentationen

Wilson-slingan definieras som

$h_{\gamma }[A]={\mathcal {P} }\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s ))T_{i}\right\}$

där ${\mathcal {P}}$ indikerar en sökvägsordning så att faktorer för mindre värden på $s$ visas till vänster, och där $T_{i}$ uppfyller $su(2)$ algebra,

$[T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}$ .

Det är lätt att se av detta att

$Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T ^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})$ .

innebär att $Tr(T^{i})=0$ .

Wilson-slingor är inte oberoende av varandra, och i själva verket utgör vissa linjära kombinationer av dem som kallas spinnnätverkstillstånd en ortonormal bas. Eftersom spinnnätverksfunktioner utgör en grund kan vi formellt utöka vilken Gauss gauge-invariant funktion som helst som,

$\Psi [A]=\summa _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]$ .

Detta kallas invers looptransform. Slingtransformen ges av

$\Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]$

och är analogt med vad man gör när man går över till momentumrepresentationen i kvantmekaniken,

$\psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)$ .

Slingtransformen definierar slingrepresentationen. Givet en operator ${\hat {O}}$ i anslutningsrepresentationen,

$\Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]$ ,

vi definierar $\Phi [\gamma ]$ med looptransformen,

$\Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]$ .

Detta innebär att man bör definiera motsvarande operator ${\hat {O}}'$ på $\Psi [\gamma ]$ i slingrepresentationen som

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\ gamma [A]{\hat {O}}\Psi [A]$ ,

eller

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA] ({\hat {O}}^{\dolk }s_{\gamma [A])\Psi [A]$ ,

där vi med ${\hat {O}}^{\dolk }$ menar operatorn ${\hat {O}}$ men med omvänd faktorordning. Vi utvärderar denna operatörs agerande på spinnnätverket som en beräkning i anslutningsrepresentationen och omarrangerar resultatet som en manipulation enbart i termer av slingor (man bör komma ihåg att när man överväger åtgärden på spinnätet bör man välja den operatör man önskar att transformera med motsatt faktorordning till den som valts för dess verkan på vågfunktioner ${\displaystyle \Psi [A]} )$ . Detta ger den fysiska betydelsen av operatorn ${\hat {O}}'$ . Till exempel, om ${\hat {O}}^{\dolk }$ var en rumslig diffeomorfism, så kan detta ses som att man behåller anslutningsfältet $A$ för $s_{\gamma }[A]$ där den är när den utför en rumslig diffeomorfism på $\gamma$ istället. Därför är betydelsen av ${\hat {O}}'$ en rumslig diffeomorfism på $\gamma$ , argumentet för $\Psi [\gamma ]$ .

Holonomioperatorn i looprepresentationen är multiplikationsoperatorn,

${\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]$

Marknadsföring av Hamiltons begränsning till en kvantoperator

Vi främjar den Hamiltonska begränsningen till en kvantoperator i slingrepresentationen. Man inför ett gallerregulariseringsförfarande. vi antar att rymden har delats in i tetraedrar $\Delta$ . Man bygger ett uttryck så att gränsen där tetraedrarna krymper i storlek närmar sig uttrycket för den Hamiltonska begränsningen.

Välj ett hörn för varje tetraeder och anrop $v(\Delta )$ . Låt $s_{i}(\Delta )$ med $i=1,2,3$ vara tre kanter som slutar på $v (\Delta )$ . Vi konstruerar nu en slinga

$\alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\ Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}$

genom att flytta längs $s_{i}(\Delta )$ och sedan längs linjen som förenar punkterna $s_{i}$ och $s_{j}$ som är inte $v(\Delta )$ (som vi har betecknat $s_{ij}$ ) och sedan återgå till $v(\Delta )$ längs $s_{j}$ . Holonomi

$h_{ \gamma [A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a} A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}$

längs en linje i gränsen som tetraedern krymper närmar sig anslutningen via

$\lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_ {k}^{c}$

där $s_{k}^{c}$ är en vektor i riktning mot kanten $s_{k}$ . Det kan man visa

$\lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij} }=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}$ .

(detta uttrycker det faktum att fältstyrketensor, eller krökning, mäter holonomi kring `oändliga slingor'). Vi leds till att försöka

$H_{\Delta }(N) =\summa _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{ k}}^{-1},V\}{\big )}$

där summan är över alla tetraedrar $\Delta$ . Ersätter holonomierna,

$H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}( I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_ {d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}$ .

Identiteten kommer att ha försvinnande Poisson-fäste med volymen, så det enda bidraget kommer från anslutningen. Eftersom Poisson-parentesen redan är proportionell mot ${\displaystyle s_{k}^{c}} bidrar$ bara identitetsdelen av holonomin $h_{s_{k}}$ utanför parentesen. Slutligen har vi att holonomi kring $\alpha _{ij}$ ; identitetstermen bidrar inte eftersom Poisson-parentesen är proportionell mot en Pauli-matris (eftersom $A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}$ och konstant matris $T_{i}$ kan tas utanför Poisson-parentesen) och en tar spåret. Den återstående termen av $h_{\alpha _{ij}}$ ger $F_{ab}$ . De tre längderna $s$ som visas kombineras med summeringen i limiten för att producera en integral.

Detta uttryck kan omedelbart främjas till en operator i slingrepresentationen, både holonomier och volym främjas till väldefinierade operatorer där.

Trianguleringen väljs så att den anpassas till det spinnnätverkstillstånd man verkar på genom att på lämpligt sätt välja hörn och linjer. Det kommer att finnas många linjer och hörn i trianguleringen som inte motsvarar linjer och hörn i spinnnätverket när man tar gränsen. På grund av närvaron av volymen kommer den Hamiltonska begränsningen endast att bidra när det finns minst tre icke-samplanära linjer i en vertex.

Här har vi bara övervägt verkan av den Hamiltonska begränsningen på trevärda hörn. Att beräkna verkan på hörn med högre valens är mer komplicerat. Vi hänvisar läsaren till artikeln av Borissov, De Pietri och Rovelli.

En ändlig teori

Hamiltonian är inte invariant under rumsliga diffeomorfismer och därför kan dess verkan endast definieras på det kinematiska rummet. Man kan överföra dess verkan till diffeomorphsm invarianta tillstånd. Som vi kommer att se har detta konsekvenser för var exakt den nya linjen läggs till. Betrakta ett tillstånd $\langle \Psi |$ så att $\langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle$ om spinnnätverken $s$ och $s'$ är diffeomorfa till varandra. Ett sådant tillstånd är inte i det kinematiska rummet utan tillhör det större dubbla utrymmet i ett tätt underrum i det kinematiska rummet. Vi definierar sedan åtgärden för ${\hat {H}}(N)$ på följande sätt,

$\langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle = \lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle$ .

Placeringen av den tillagda raden är då irrelevant. När man projicerar på $\Psi$ spelar linjens position ingen roll eftersom man arbetar på rymden av diffeomorfism invarianta tillstånd och så kan linjen flyttas "närmare" eller "längre" från vertexet utan att ändra resultat.

Rumslig diffeomorfism spelar en avgörande roll i konstruktionen. Om funktionerna inte var diffeomorfism-invarianta, skulle den adderade linjen behöva krympas till vertexet och möjliga divergenser skulle kunna uppstå.

Samma konstruktion kan appliceras på Hamiltonian av allmän relativitet kopplad till materia: skalära fält, Yang-Mills-fält, fermioner. I alla fall är teorin finit, anomalifri och väldefinierad. Tyngdkraften verkar fungera som en "grundläggande regulator" av teorier om materia.

Anomali fri

Kvantanomalier uppstår när kvantbegränsningsalgebra har ytterligare termer som inte har klassiska motsvarigheter. För att återställa den korrekta semi-klassiska teorin måste dessa extra termer försvinna, men detta innebär ytterligare begränsningar och minskar antalet frihetsgrader för teorin, vilket gör den opysisk. Theimanns Hamiltonian-begränsning kan visas vara fri från anomalier.

Kärnan i den Hamiltonska begränsningen

Kärnan är det utrymme av stater som Hamiltons begränsning förintar. Man kan skissera en explicit konstruktion av den kompletta och rigorösa kärnan för den föreslagna operatören. De är de första med icke-noll volym och som inte behöver icke-noll kosmologisk konstant.

Det fullständiga utrymmet av lösningar till den rumsliga diffeomorfismen $C^{a}(x)=0$ för alla $x\in \Sigma$ -restriktioner har redan hittats för länge sedan . Och även var utrustad med en naturlig inre produkt inducerad från det kinematiska Hilbert-rummet ${\mathcal {H}}_{Kin}$ av lösningar till Gauss-begränsningen. Det finns dock ingen chans att definiera Hamiltonian begränsningsoperatorer som motsvarar $H(x)$ (tät) på ${\mathcal {H}}_{Diff}$ eftersom de Hamiltonska begränsningsoperatorerna inte bevarar rumsliga diffeomorfism invarianta tillstånd. Därför kan man inte helt enkelt lösa den rumsliga diffeomorfismrestriktionen och sedan den Hamiltonska restriktionen och så kan den inre produktstrukturen av ${\mathcal {H}}_{Diff}$ inte användas i konstruktionen av den fysiska inre produkt. Detta problem kan kringgås genom att använda Master-begränsningen (se nedan) som gör att de nyss nämnda resultaten kan tillämpas för att erhålla det fysiska Hilbert-utrymmet ${\mathcal {H}}_{Phys}$ från ${\mathcal {H}}_{Diff}$ .

Mer kommer här...

Kritik av den Hamiltonska begränsningen

Återställer begränsningsalgebra. Klassiskt har vi

$\{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})$

var

$K^{a}={\tilde {E}}_{i}^ {a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}MM\partial _{b}N)/(\det(q))$

Som vi vet i slingrepresentationen en självadjoint operator som genererar rumsliga diffeomorfismer. Därför är det inte möjligt att implementera relationen $\{H(N),H(M)\}$ för i kvantteorin med infinitesimal ${\vec {C}}$ , det är högst möjligt med ändliga rumsliga dffeomoephisms.

Hamiltonianens ultralokalitet: Hamiltonianen verkar bara vid hörn och agerar genom att "klä" vertexet med linjer. Den kopplar inte samman hörn och ändrar inte heller linjernas valens (utanför "förbandet"). Modifieringarna som den Hamiltonska begränsningsoperatorn utför vid en given vertex sprider sig inte över hela grafen utan är begränsade till ett område av vertexet. Faktum är att upprepad aktion av Hamiltonian genererar fler och fler nya kanter allt närmare spetsen som aldrig skär varandra. I synnerhet finns det ingen åtgärd vid de nya hörn som skapats. Detta innebär till exempel att för ytor som omsluter en vertex (diffeomorft oföränderligt definierad) skulle arean av sådana ytor pendla med Hamiltonian, vilket innebär ingen "evolution" av dessa områden eftersom det är Hamiltonianen som genererar "evolution". Detta antyder att teorin "misslyckas med att spridas". Thiemann påpekar dock att Hamiltonian agerar överallt.

Det finns den något subtila saken att ${\hat {H}}(x)$ , medan de definieras på Hilbert-rymden ${\mathcal {H}}_{ Kin}$ är inte explicit kända (de är kända upp till en rumslig diffeomorfism; de existerar enligt valets axiom ).

Dessa svårigheter skulle kunna lösas genom ett nytt tillvägagångssätt - Master Constraint-programmet.

Utvidgning av kvantisering till inkludering av materiefält

Maxwells teori

Observera att ${\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}$ båda har densitetsvikt 1. Som vanligt, innan kvantisering, måste vi uttrycka begränsningarna (och andra observerbara) i termer av holonomier och flöden.

Vi har en gemensam faktor för $q_{ab}/{\sqrt {q}}$ . Som tidigare introducerar vi en cellnedbrytning och noterar,

${q_{ab} \over {\sqrt {q}}}( x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}$ .

Yang–Mills

Bortsett från den icke-abeliska karaktären hos mätfältet, i form, fortskrider uttrycken på samma sätt som för Maxwell-fallet.

Skalärt fält - Higgsfält

De elementära konfigurationsoperatorerna är analoga med holonomioperatorn för anslutningsvariabler och de fungerar genom multiplikation som

${\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi$ .

Dessa kallas punktholonomier. Den konjugerade variabeln till punktholonomi som befordras till en operator i kvantteorin tas för att vara det utsmetade fältmomentet

$P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)$

där $\pi _{\varphi }$ är det konjugerade momentumfältet och $f(x)$ är en testfunktion. Deras Poisson-fäste ges av

$\{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f (x)h(x,\lambda )$ .

I kvantteorin letar man efter en representation av Poisson-parentesen som en kommutator av de elementära operatorerna,

$[{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )$ .

Teorins ändlighet med inkludering av materia

Thiemann har illustrerat hur den ultravioletta divergeringen av vanlig kvantteori direkt kan tolkas som en konsekvens av den approximation som bortser från kvantgeometrins kvantiserade, diskreta natur. Thiemann visar till exempel hur operatorn för Yang–Mills Hamiltonian som involverar $E_{a}^{i}$ är väldefinierad så länge vi behandlar $E$ som en operator, men blir oändlig så snart vi ersätter $E$ med ett jämnt bakgrundsfält.

Master Constraint-programmet

Huvudartikel: Master constraint of LQG

Mästarens begränsning

Master Constraint Program for Loop Quantum Gravity (LQG) föreslogs som ett klassiskt likvärdigt sätt att införa det oändliga antalet Hamiltonska begränsningsekvationer

$H(x)=0$

i termer av en enda Master-begränsning,

$M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}$ .

som involverar kvadraten på begränsningarna i fråga. Observera att $H(x)$ var oändligt många medan Master-begränsningen bara är en. Det är tydligt att om $M$ försvinner så försvinner de oändligt många $H(x)$ också. Omvänt, om alla $H(x)$ försvinner så försvinner även $M$ , därför är de ekvivalenta.

Masterbegränsningen $M$ involverar ett lämpligt medelvärde över hela rymden och är sålunda invariant under rumsliga diffeomorfismer (den är invariant under rumsliga "förskjutningar" eftersom det är en summering över alla sådana rumsliga "förskjutningar" av en storhet som transformeras som en skalär). Därför är dess Poisson-parentes med den (utsmetade) rumsliga diffeomorfismbegränsningen, ${\displaystyle C({\vec {N}})},$ enkel:

$\{M,C({\vec {N}})\}=0$ .

(det är $su(2)$ invariant också). Också, uppenbarligen, eftersom vilken kvantitet som helst Poisson pendlar med sig själv, och Master-begränsningen är en enda begränsning, uppfyller den

$\{M,M\}=0$ .

Vi har också den vanliga algebra mellan rumsliga diffeomorfismer. Detta representerar en dramatisk förenkling av Poisson-fästestrukturen.

Befordran till kvantoperatör

Huvudartikel: Friedrichs extension

Låt oss skriva det klassiska uttrycket i formen

$M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x )}=\int d^{3}x({H \över [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)( {H \över [\det(q)]^{1/4}})(y)$ .

Detta uttryck regleras av en enparametersfunktion $\chi _{\epsilon }(x,y)$ så att $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)$ och $\chi _{\epsilon }(x,x)=1$ . Definiera

$V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }( x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)$ .

Båda termerna kommer att likna uttrycket för den Hamiltonska begränsningen, förutom att det nu kommer att involvera $\{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}$ snarare än $\{A,V\}$ som kommer från tilläggsfaktorn $[\det(q)]^{1/4}$ . Det är,

$M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}} _{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\ {A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)$ .

Så vi fortsätter precis som för Hamilton-begränsningen och introducerar en partition i tetraedrarna, och delar upp båda integralerna i summor,

$M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')$ .

där betydelsen av $C_{\epsilon }(\Delta )$ liknar den för $H_{\Delta }$ . Detta är en enorm förenkling eftersom $C_{\epsilon }(\Delta )$ kan kvantiseras exakt som $H_{\Delta }$ med en enkel ändring av kraften i volymoperatör. Det kan dock visas att grafförändrande, spatialt diffeomorfism-invarianta operatorer, såsom Master-begränsningen, inte kan definieras på det kinematiska Hilbert-utrymmet ${\mathcal {H}}_{Kin}$ . Utvägen är att definiera ${\hat {M}}$ inte på ${\mathcal {H}}_{Kin}$ utan på ${\mathcal {H}}_{Diff}$ .

Det som görs först är att vi kan beräkna matriselementen för den blivande operatorn ${\displaystyle {\hat {M}}} ,$ det vill säga att vi beräknar den kvadratiska formen $Q_{M }$ . Vi vill att det ska finnas en unik, positiv, självadjoint operator ${\hat {M}}$ vars matriselement återger $Q_{M}$ . Det har visat sig att en sådan operatör finns och ges av Friedrichs förlängning .

Att lösa Master-begränsningen och inducera det fysiska Hilbert-utrymmet

Som nämnts ovan kan man inte helt enkelt lösa den spatiala diffeomorfismen och sedan den Hamiltonska begränsningen, inducera en fysisk inre produkt från den spatiala diffeomorfismens inre produkt, eftersom den Hamiltonska begränsningen mappar rumslig diffeomorfism invarianta tillstånd till icke-spatial diffeomorfism invarianta tillstånd. Men eftersom huvudbegränsningen $M$ är rumsligt diffeomorfisminvariant kan den definieras på ${\mathcal {H}}_{Diff}$ . Därför kan vi äntligen utnyttja den fulla kraften i resultaten som nämns ovan för att erhålla ${\mathcal {H}}_{Diff}$ från ${\mathcal { H}}_{Kin}$ .

externa länkar

• Översikt av Carlo Rovelli
• Thiemanns uppsats i Physics Letters
• Bra information om LQG