Hadwigers sats

Inom integralgeometri (även kallat geometrisk sannolikhetsteori) karakteriserar Hadwigers sats värderingarna på konvexa kroppar i $\mathbb {R} ^{n}.$ Det bevisades av Hugo Hadwiger .

Introduktion

Värderingar

Låt $\mathbb {K} ^{n}$ vara samlingen av alla kompakta konvexa mängder i $\mathbb {R} ^{n}.$ En värdering är en funktion $v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R}$ så att $v(\varnothing )=0$ och för varje $S,T\in \mathbb {K} ^{n}$ som uppfyller $S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.

En värdering kallas kontinuerlig om den är kontinuerlig med avseende på Hausdorff-måttet . En värdering kallas invariant under stela rörelser om $v(\varphi (S))=v(S)$ närhelst $S\in \ mathbb {K} ^{n}$ och $\varphi$ är antingen en translation eller en rotation av $\mathbb {R} ^{n}.$

Quermassintegraler

Quermassintegralerna $W_{j}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R}$ definieras via Steiners formel

\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\summa _{j =0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,

där

B

är den euklidiska bollen. Till exempel

W_{o}

volymen,

W_{1}

är proportionell mot ytmåttet ,

W_{n-1}

är proportionell till medelbredden och

W_{n}

är konstanten

\operatorname {Vol} _{n}(B).

$W_{j}$ är en värdering som är homogen av grad $nj,$ dvs.

W_{j}(tK)=t^{nj}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.

Påstående

Varje kontinuerlig värdering $v$ på $\mathbb {K} ^{n}$ som är invariant under stela rörelser kan representeras som

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.

Naturlig följd

Varje kontinuerlig värdering $v$ på $\mathbb {K} ^{n}$ som är invariant under stela rörelser och homogen av grad $j$ är en multipel av $W_{nj}.$

Se även

Minkowski funktionell
Ställ in funktion – Funktion från set till siffror

En redogörelse och ett bevis för Hadwigers sats kan hittas i

Klain, DA; Rota, G.-C. (1997). Introduktion till geometrisk sannolikhet . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X . MR 1608265 .

Ett elementärt och självständigt bevis gavs av Beifang Chen i

Chen, B. (2004). "Ett förenklat elementärt bevis på Hadwigers volymsats". Geom. Dedicata . 105 : 107–120. doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 . MR 2057247 .