Minkowski innehåll

Minkowski - innehållet (uppkallat efter Hermann Minkowski ), eller gränsmåttet , för en mängd är ett grundläggande koncept som använder begrepp från geometri och måttteori för att generalisera föreställningarna om längden av en slät kurva i planet och arean av en slät yta i rymden , till godtyckliga mätbara uppsättningar .

Det appliceras vanligtvis på fraktala gränser för domäner i det euklidiska utrymmet , men det kan också användas i samband med allmänna metriska måttutrymmen.

Det är relaterat till, även om det skiljer sig från, Hausdorff-måttet .

Definition

För $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ , och varje heltal m med $0\leq m\leq n$ , det m -dimensionella övre Minkowski-innehållet är

$M^{*m}(A)= \limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}}}$

och det m -dimensionella lägre Minkowski-innehållet definieras som

$M_{*}^{m}(A )=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}} }$

där $\alpha (nm)r^{nm}$ är volymen av ( n − m )-kulan med radien r och $\mu$ är en $n$ -dimensionellt Lebesgue-mått .

Om det övre och nedre m -dimensionella Minkowski-innehållet i A är lika, så kallas deras gemensamma värde Minkowski-innehållet M ^m ( A ).

Egenskaper

• Minkowski-innehållet är (i allmänhet) inte ett mått. I synnerhet m -dimensionella Minkowski-innehållet i Rn inte ett mått om inte m = 0, i vilket fall det är det ^räknande måttet . Det är klart att Minkowski-innehållet tilldelar uppsättningen A samma värde såväl som dess stängning .
• Om A är en sluten m - likriktbar mängd i R ⁿ , given som bilden av en begränsad mängd från R ^m under en Lipschitz-funktion , så existerar det m -dimensionella Minkowski-innehållet i A och är lika med det m -dimensionella Hausdorff-måttet av A .

Se även

• Gaussisk isoperimetrisk ojämlikhet
• Geometrisk måttteori
• Isoperimetrisk ojämlikhet i högre dimensioner
• Minkowski–Bouligand dimension

Fotnoter

•   Federer, Herbert (1969), Geometric Measure Theory , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
•    Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (1999), The geometry of domains in space , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5 , MR 1730695 .