Hadamards trecirkelsats

I komplex analys , en gren av matematiken , är Hadamards trecirkelsats ett resultat om beteendet hos holomorfa funktioner .

Låt $f(z)$ vara en holomorf funktion på annulus

$r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}.$

Låt $M(r)$ vara maximum av $|f(z)|$ på cirkeln $|z|=r.$ Sedan är $displaystyle \log M(r)}$$\log(r).$ en konvex funktion av logaritmen Dessutom, om $f(z)$ inte har formen $cz^{\lambda }$ för vissa konstanter $\lambda$ och $c$ , sedan $\log M(r)$ är strikt konvex som en funktion av $\log(r).$

Slutsatsen av satsen kan omformuleras som

$\log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{ r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3 })$

för tre koncentriska cirklar med radier $r_{1}<r_{2}<r_{3}.$

Historia

Ett uttalande och bevis för satsen gavs av JE Littlewood 1912, men han tillskriver det ingen speciell, och uppger det som ett känt sats. Harald Bohr och Edmund Landau tillskriver satsen till Jacques Hadamard , som skrev 1896; Hadamard publicerade inga bevis.

Bevis

Trecirkelsatsen följer av det faktum att för varje reellt a är funktionen Re log( z ^a f ( z )) harmonisk mellan två cirklar och därför tar sitt maximala värde på en av cirklarna. Teoremet följer genom att välja konstanten a så att denna övertonsfunktion har samma maxvärde på båda cirklarna.

Satsen kan också härledas direkt från Hadamards treradssats .

Se även

• Maximal princip
• Logaritmiskt konvex funktion
• Hardys teorem
• Hadamards treradssats
• Borel–Caratheodorys sats
• Phragmén–Lindelöf princip

Anteckningar

•   Edwards, HM (1974), Riemanns Zeta Function , Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
• Littlewood, JE (1912), "Quelques impacts de l'hypothese que la function ζ(s) de Riemann n'a pas de nolls dans le demi-plan Re(s) > 1/2.", Les Comptes rendus de l 'Académie des sciences , 154 : 263–266
• EC Titchmarsh , Theory of the Riemann Zeta-Function , (1951) Oxford vid Clarendon Press, Oxford. (Se kapitel 14)
•   Ullrich, David C. (2008), Complex made simple , Graduate Studies in Mathematics , vol. 97, American Mathematical Society , s. 386–387, ISBN 0821844792

Den här artikeln innehåller material från Hadamards trecirkelsats om PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .

externa länkar

• "bevis på Hadamards trecirkelsats"