Hörnöverföringsmatris

Inom statistisk mekanik beskriver hörnöverföringsmatrisen effekten av att lägga till en kvadrant till ett gitter . Introducerad av Rodney Baxter 1968 som en förlängning av Kramers-Wannier rad-till-rad-överföringsmatrisen, ger den en kraftfull metod för att studera gittermodeller . Beräkningar med hörnöverföringsmatriser ledde Baxter till den exakta lösningen av den hårda hexagonmodellen 1980.

Definition

Betrakta en IRF-modell (interaction-round-a-face), dvs en kvadratisk gittermodell med ett spin σ _i tilldelat varje plats i och interaktioner begränsade till spins runt en gemensam yta. Låt den totala energin ges av

$​​{\displaystyle E=\sum _{all \atop faces}\epsilon \left(\sigma _{i },\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right),}$

där för varje yta de omgivande platserna i , j , k och l är ordnade enligt följande:

För ett gitter med N platser är partitionsfunktionen

$Z_{N}=\summa _{all \ atop spins}\prod _{alla \atop faces}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right),$

där summan är över alla möjliga spinnkonfigurationer och w är Boltzmannvikten

$w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)=\exp \left(-\epsilon \left(\ sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)/k_{B}T\right).$

För att förenkla notationen använder vi ett ferromagnetiskt gitter av Ising-typ där varje spinn har värdet +1 eller −1, och grundtillståndet ges av alla snurr upp (dvs den totala energin minimeras när alla spinn på gittret har värde +1). Vi antar också att gittret har 4-faldig rotationssymmetri (upp till randvillkor) och är reflektionsinvariant. Dessa förenklade antaganden är inte avgörande, och att utvidga definitionen till det allmänna fallet är relativt okomplicerat.

Betrakta nu gitterkvadranten som visas nedan:

De yttre gränsplatserna, markerade med trianglar, tilldelas sina grundtillståndsspinn (+1 i detta fall). Platserna markerade av öppna cirklar bildar kvadrantens inre gränser; deras associerade spinnuppsättningar är märkta {σ ₁ ,...,σ _m } och {σ' ₁ ,...,σ' _m }, där σ ₁ = σ' ₁ . Det finns 2 ^m möjliga konfigurationer för varje inre gräns, så vi definierar en 2 ^m × 2 ^m matris genom att

$A_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\sum _{interiör \atop spins}\prod _{all \ ovanpå ansikten}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right).$

Matrisen A är alltså hörnöverföringsmatrisen för den givna gitterkvadranten. Eftersom de yttre gränssnurren är fixerade och summan är över alla inre snurr, är varje inmatning av A en funktion av de inre gränssnurren. Kroneckerdeltat i uttrycket säkerställer att σ ₁ = σ' ₁ , så genom att ordna konfigurationerna på lämpligt sätt kan vi gjuta A som en blockdiagonal matris:

${\begin{array}{cccc}&&{\begin{array}{ccccc}\sigma _{1}'=+1&&&&\sigma _{1}' =-1\end{array}}\\A&=&\left[{\begin{array}{ccccccc}&&&|\\&A_{+}&&|&&0\\&&&|\\-&-&-&| &-&-&-\\&&&|\\&0&&|&&A_{-}\\&&&|\end{array}}\right]&{\begin{array}{c}\sigma _{1}=+1 \\\\\\\\\sigma _{1}=-1\end{array}}\end{array}}$

Hörnöverföringsmatriser är relaterade till partitionsfunktionen på ett enkelt sätt. I vårt förenklade exempel konstruerar vi hela gittret från fyra roterade kopior av gitterkvadranten, där de inre gränsspinmängderna σ, σ', σ" och σ'" tillåts skilja sig åt:

Partitionsfunktionen skrivs sedan i termer av hörnöverföringsmatrisen A som

$Z_{N}=\summa _{\sigma ,\sigma ',\sigma '',\sigma '''}A_{\sigma |\sigma '}A_{\sigma '|\sigma ''} A_{\sigma ''|\sigma '''}A_{\sigma '''|\sigma }={\textrm {tr}}A^{4}.$

Diskussion

Rekursionsförhållande

En hörnöverföringsmatris A _{2 ^m} (definierad för en m × m kvadrant) kan uttryckas i termer av mindre hörnöverföringsmatriser A _{2 ^{m -1}} och A _{2 ^{m -2}} (definierad för reducerad ( m -1) ×( m - 1) respektive ( m -2)×( m -2) kvadranter). Denna rekursionsrelation tillåter i princip den iterativa beräkningen av hörnöverföringsmatrisen för vilken gitterkvadrant som helst av ändlig storlek.

Liksom deras rad-till-rad-motsvarigheter kan hörnöverföringsmatriser inkluderas i ytaöverföringsmatriser, vilket motsvarar att lägga till en enda yta till gittret. För den tidigare angivna gitterkvadranten är matriserna för ansiktsöverföring av storleken 2 ^m × 2 ^m och definieras ingångsvis av

$\left(U_{i}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _ {1},\sigma _{1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{i-1},\sigma _{i-1}'\right)w\left(\sigma _{ i},\sigma _{i+1},\sigma _{i}',\sigma _{i-1}\right)\delta \left(\sigma _{i+1},\sigma _{i +1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{m},\sigma _{m}'\right),$

där 2 ≤ i ≤ m +1. Nära den yttre gränsen, specifikt, har vi

$\ ft U_{m}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\cdots \delta \left(\sigma _{ m-1},\sigma _{m-1}'\right)w\left(\sigma _{m},+1,\sigma _{m}',\sigma _{m-1}\right) ,}$

$\left(U_{m+1}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{1}'\right)\cdots \ delta \left(\sigma _{m},\sigma _{m}'\right)w\left(+1,+1,+1,\sigma _{m}\right).$

Så hörnöverföringsmatrisen A faktoriseras som

$A=F_{2}\cdots F_{m+1},$

var

$F_{j}=U_{m+1}\cdots U_{j}.$

Grafiskt motsvarar detta:

Vi kräver också 2 ^m × 2 ^m matriserna A * och A **, definierade ingångsvis av

$\left(A^{*}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _{ 1}'\right)A_{\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m}|\sigma _{2}',\ldots ,\sigma _{m}'},$

$\left(A^{**}\right)_{\sigma |\sigma '}=\delta \left(\sigma _{1},\sigma _ {1}'\right)\delta \left(\sigma _{2},\sigma _{2}'\right)A_{\sigma _{3},\ldots ,\sigma _{m}|\sigma _{3}',\ldots ,\sigma _{m}'},$

där A- matriserna vars poster visas på RHS är av storleken 2 ^{m -1} × 2 ^{m -1} respektive 2 ^{m -2} × 2 ^{m -2 .} Detta är tydligare skrivet som

$A^{*}=I_{2}\otimes A_{2^{m-1}}=\left[{\begin{ array}{cc}A&0\\0&A\end{array}}\right],$

$A^{**}=I_{2}\otimes I_{2}\otimes A_{2^{m-2}}=\left[{\begin{array}{cccc}A&0&0&0\\0&A&0&0\ \0&0&A&0\\0&0&0&A\end{array}}\right].$

Nu från definitionerna av A , A *, A **, U _i och F _j , har vi

$A^{*}=F_{3}\cdots F_{m+1},A^{**} =F_{4}\cdots F_{m+1}$

$\Rightarrow A=F_{2}A^{*},A^{ *}=F_{3}A^{**}$

$\Rightarrow A=A^{*}\left(A^{* *}\right)^{-1}U_{2}A^{*},$

vilket ger rekursionsrelationen för A _{2 ^m} i termer av A _{2 ^{m -1}} och A _{2 ^{m -2}} .

Diagonal form

När man använder hörnöverföringsmatriser för att utföra beräkningar är det både analytiskt och numeriskt bekvämt att istället arbeta med sina diagonala former. För att underlätta detta kan rekursionsrelationen skrivas om direkt i termer av diagonalformerna och egenvektormatriserna för A , A * och A **.

Påminner om att gittret i vårt exempel är reflektionsinvariant, i den meningen att

$w\ vänster(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right)=w\left(\sigma _{k},\sigma _{j} ,\sigma _{i},\sigma _{l}\right)=w\left(\sigma _{i},\sigma _{l},\sigma _{k},\sigma _{j}\ höger),$

vi ser att A är en symmetrisk matris (dvs den är diagonaliserbar med en ortogonal matris ). Så vi skriver

$A=\alpha _{m}PA_{d}P^{T},$

där Ad är en diagonal matris (normaliserad så att dess numeriskt största post är 1), _α m _är det största egenvärdet för A , och P ^T P = I . Likaså för A * och A ** har vi

$A^{*}=\alpha _{m-1}P^{*}A_{d}^{*}\vänster (P^{*}\höger)^{T},$

$A^{**}=\alpha _ {m-2}P^{**}A_{d}^{**}\left(P^{**}\right)^{T},$

där A _d *, A _d **, P * och P ** definieras på ett analogt sätt med A * och A **, dvs i termer av de mindre (normaliserade) diagonalformerna och (ortogonala) egenvektormatriserna för A _{2 ^{m 1}} - och A2m _{^{- 2} .}

Genom att ersätta dessa diagonaliseringar i rekursionsrelationen får vi

$A_{t}=\kappa RA_{d}R^{T},$

var

$\kappa ={\frac {\alpha _{m}\alpha _{m-2}}{\alpha _{m-1}^{ 2}}},$

$R=\left(P^{*}\right)^{T}P,$

$A_{t}=A_{d}^{*}\left(R^{*}\right)^{T}\left(A_{d}^{**}\right)^{-1 }U_{2}R^{*}A_{d}^{*}.$

Nu är A _t också symmetrisk, och kan beräknas om A _d *, A _d ** och R * är kända; diagonalisering av A _t ger sedan dess normaliserade diagonalform A _d , dess största egenvärde κ och dess ortogonala egenvektormatris R .

Ansökningar

Spin förväntat värde

Hörnöverföringsmatriser (eller deras diagonala former) kan användas för att beräkna kvantiteter såsom förväntat spinnvärde vid en viss plats djupt inne i gittret. För det fullständiga gittret som angetts tidigare, ges spinnförväntningsvärdet på den centrala platsen av

$\left\langle \sigma _{1}\right\rangle ={\frac {1}{Z_{N}}}\summa _{alla \atop spins}\sigma _{1}\prod _{ alla \atop faces}w\left(\sigma _{i},\sigma _{j},\sigma _{k},\sigma _{l}\right).$

Med konfigurationerna ordnade så att A är blockdiagonal som tidigare, kan vi definiera en 2 ^m × 2 ^m diagonal matris

$S=\left[{\begin{array}{cc}I&0\\0&-I\end{array}}\right],$

Så att

$\left\langle \sigma _{1}\right\rangle ={\frac {{\textrm {tr}}SA^{4}}{{\textrm {tr}}A^{4}}} ={\frac {{\textrm {tr}}\alpha _{m}^{4}PSA^{4}P^{T}}{{\textrm {tr}}\alpha _{m}^{4 }PA^{4}P^{T}}}={\frac {{\textrm {tr}}SA_{d}^{4}}{{\textrm {tr}}A_{d}^{4} }}.$

Partitionsfunktion per plats

En annan viktig kvantitet för gittermodeller är partitionsfunktionen per plats, utvärderad i den termodynamiska gränsen och skriven som

$\kappa =\lim _{N\rightarrow \infty }\left(Z_{N}\right)^{1/N}.$

I vårt exempel minskar detta till

$\kappa =\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\alpha _{m} ^{4}{\textrm {tr}}A_{d}^{4}\right)^{1/N}\sim \alpha _{m}^{4/N},$

eftersom tr A _d ⁴ är en konvergent summa som m → ∞ och A _d blir oändligt dimensionell. Dessutom närmar sig antalet ytor 2 m ( m +1) antalet platser N i den termodynamiska gränsen, så vi har

$\alpha _{m}\sim \kappa ^{m\left(m+1\right)/2},$

vilket överensstämmer med den tidigare ekvationen som ger κ som det största egenvärdet för A _t . Med andra ord, partitionsfunktionen per plats ges exakt av den diagonaliserade rekursionsrelationen för hörnöverföringsmatriser i den termodynamiska gränsen; detta gör att κ kan approximeras via den iterativa processen att beräkna A _d för ett stort gitter.

De involverade matriserna växer dock exponentiellt i storlek och i faktiska numeriska beräkningar måste de trunkeras vid varje steg. Ett sätt att göra detta är att behålla de n största egenvärdena vid varje steg, för några fasta n . I de flesta fall konvergerar sekvensen av approximationer som erhålls genom att ta n = 1,2,3,... snabbt och till det exakta värdet (för en exakt lösbar modell).

Se även

• Transfer-matris-metod

• Baxter, RJ (1981), "Corner Transfer Matrices", Physica A , 106 (1–2): 18–27, Bibcode : 1981PhyA..106...18B , doi : 10.1016/0378-4371(81)90203- X
•   Baxter, RJ (1982), Exactly Solved Models in Statistical Mechanics , London, Storbritannien: Academic Press, ISBN 0-12-083180-5 , arkiverad från originalet 2012-03-20 , hämtad 2008-11-07