Högre lokalfält

Inom matematik är ett högre (dimensionellt) lokalt fält ett viktigt exempel på ett komplett diskret värderingsfält . Sådana fält kallas också ibland för flerdimensionella lokala fält.

På de vanliga lokala fälten (vanligtvis kompletteringar av nummerfält eller kvotfälten för lokala ringar av algebraiska kurvor ) finns en unik surjektiv diskret värdering (av rang 1) kopplad till ett val av en lokal parameter för fälten, såvida de inte är arkimediska lokala fält som de reella talen och komplexa tal. På liknande sätt finns det en diskret värdering av rang n på nästan alla n -dimensionella lokala fält, associerad med ett val av n lokala parametrar för fältet. I motsats till endimensionella lokala fält har högre lokala fält en sekvens av restfält . Det finns olika integrerade strukturer på högre lokala fält, beroende på hur många restfältsinformation man vill ta hänsyn till.

Geometriskt uppträder högre lokala fält via en process av lokalisering och fullbordande av lokala ringar med högre dimensionsscheman . Högre lokala fält är en viktig del av ämnet högre dimensionell talteori, och bildar den lämpliga samlingen av objekt för lokala överväganden.

Definition

Finita fält har dimension 0 och kompletta diskreta värderingsfält med finita restfält har dimension ett (det är naturligt att även definiera arkimediska lokala fält som R eller C för att ha dimension 1), då säger vi att ett komplett diskret värderingsfält har dimension n om dess restfält har dimensionen n −1. Högre lokala fält är de med dimension större än en, medan endimensionella lokala fält är de traditionella lokala fälten. Vi kallar restfältet för ett ändligt dimensionellt högre lokalt fält för det "första" restfältet, dess restfält är sedan det andra restfältet, och mönstret fortsätter tills vi når ett ändligt fält.

Exempel

Tvådimensionella lokala fält är indelade i följande klasser:

  • Fält med positiv karaktäristik, de är formella potensserier i variabel t över ett endimensionellt lokalt fält, dvs F q (( u ))(( t )).
  • Likakarakteristiska fält med karakteristisk noll, de är formella potensserier F (( t )) över ett endimensionellt lokalt fält F med karakteristisk noll.
  • Blandkarakteristiska fält, de är ändliga förlängningar av fält av typen F {{ t }}, F är ett endimensionellt lokalt fält med karakteristisk noll. Detta fält definieras som uppsättningen av formella potensserier, oändliga i båda riktningarna, med koefficienter från F så att minimum av värderingen av koefficienterna är ett heltal, och så att värderingen av koefficienterna tenderar att bli noll när deras index går till minus oändlighet.
  • Arkimediska tvådimensionella lokala fält, som är formella potensserier över de reella talen R eller de komplexa talen C .

Konstruktioner

Högre lokala fält förekommer i en mängd olika sammanhang. Ett geometriskt exempel är följande. Givet en yta över ett ändligt fält av karakteristiskt p, en kurva på ytan och en punkt på kurvan, ta den lokala ringen vid punkten. Slutför sedan den här ringen, lokalisera den vid kurvan och slutför den resulterande ringen. Ta slutligen kvotfältet. Resultatet är ett tvådimensionellt lokalt fält över ett ändligt fält.

Det finns också en konstruktion som använder kommutativ algebra, som blir teknisk för icke-regelbundna ringar. Utgångspunkten är en noeterisk, regelbunden, n -dimensionell ring och en fullständig flagga av primära ideal så att deras motsvarande kvotring är regelbunden. En serie av kompletteringar och lokaliseringar äger rum enligt ovan tills ett n -dimensionellt lokalt fält nås.

Topologier på högre lokala fält

Endimensionella lokala fält beaktas vanligtvis i värderingstopologin, där den diskreta värderingen används för att definiera öppna uppsättningar. Detta kommer inte att räcka för högre dimensionella lokala fält, eftersom man måste ta hänsyn till topologin på restnivån också. Högre lokala fält kan förses med lämpliga topologier (inte unikt definierade) som löser detta problem. Sådana topologier är inte de topologier som är associerade med diskreta värderingar av rang n , om n > 1. I dimension två och högre blir fältets additivgrupp en topologisk grupp som inte är lokalt kompakt och basen för topologin är inte räknebar. Det mest överraskande är att multiplikationen inte är kontinuerlig, däremot är den sekventiellt kontinuerlig vilket räcker för alla rimliga aritmetiska ändamål. Det finns också itererade ind pro-metoder för att ersätta topologiska överväganden med mer formella.

Mätning, integration och harmonisk analys på högre lokala fält

Det finns inget translationsinvariant mått på tvådimensionella lokala fält. Istället finns det ett ändligt additivt översättningsinvariant mått definierat på ringen av uppsättningar som genereras av slutna bollar med avseende på tvådimensionella diskreta värderingar på fältet, och tar värden i formella potensserier R ((X) ) över reella . Detta mått är också uträkneligt additivt i en viss förfinad mening. Det kan ses som högre Haar-mått på högre lokala fält. Den additiva gruppen för varje högre lokalt fält är icke-kanoniskt självdual, och man kan definiera en högre Fouriertransform på lämpliga funktionsrum. Detta leder till högre harmonisk analys.

Högre lokalklassfältteori

Lokal klassfältteori i dimension ett har sina analoger i högre dimensioner. Den lämpliga ersättningen för den multiplikativa gruppen blir den n:te Milnor K-gruppen , där n är dimensionen av fältet, som sedan visas som domänen för en reciprocitetskarta till Galois-gruppen för den maximala abelska förlängningen över fältet. Ännu bättre är att arbeta med kvoten för den n:te Milnor K-gruppen efter dess undergrupp av element som är delbara med varje positivt heltal. På grund av Fesenko-satsen kan denna kvot också ses som den maximala separerade topologiska kvoten för K-gruppen utrustad med lämplig högre dimensionell topologi. Högre lokal reciprocitetshomomorfism från denna kvot av den n:te Milnor K-gruppen till Galois-gruppen av den maximala abelska förlängningen av det högre lokala fältet har många egenskaper som liknar de i den endimensionella lokala klassfältteorin.

Högre lokal klassfältteori är kompatibel med klassfältteori på restfältsnivå, genom att använda gränskartan för Milnor K-teori för att skapa ett kommutativt diagram som involverar reciprocitetskartan på nivån av fältet och restfältet.

Allmän högre lokal klass fältteori utvecklades av Kazuya Kato och av Ivan Fesenko . Högre lokalklassfältteori i positiv karaktär föreslogs av A. Parshin.

Anteckningar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Higher_local_field&oldid=1130362367 "