Gunduz Caginalp

Gunduz Caginalp
Född	Ankara, Turkiet
dog	7 december 2021
Alma mater	Cornell University Ph.D, 1978 Cornell University MS Cornell University AB
Känd för	Utveckla fasfältsmodeller för gränssnitt, tillgångsflödesdifferentialekvationer, kvantitativ beteendeekonomi , renormaliseringsgrupp och multiskalningstekniker
Vetenskaplig karriär
Fält	Matematik , Fysik/Materialvetenskap, Finans/Ekonomi
institutioner	University of Pittsburgh Cornell University Rockefeller University Carnegie-Mellon University
Doktorand rådgivare	Michael E. Fisher

Gunduz Caginalp var en matematiker vars forskning också har bidragit med över 100 artiklar till tidskrifter inom fysik, materialvetenskap och ekonomi/finans, inklusive två med Michael Fisher och nio med Nobelpristagaren Vernon Smith . Han började sina studier vid Cornell University 1970 och fick ett AB 1973 "Cum Laude with Honours in All Subjects" och Phi Beta Kappa. 1976 tog han en magisterexamen och 1978 en doktorsexamen, båda också vid Cornell. Han hade befattningar vid Rockefeller University, Carnegie-Mellon University och University of Pittsburgh (sedan 1984), där han var professor i matematik fram till sin död den 7 december 2021. Han föddes i Turkiet och tillbringade sina första sju år och åldrarna 13–16 där, och mellanåren i New York City.

Caginalp och hans fru Eva gifte sig 1992 och hade tre söner, Carey, Reggie och Ryan.

Han tjänstgjorde som redaktör för Journal of Behavioral Finance (1999–2003) och var biträdande redaktör för ett flertal tidskrifter. Han fick utmärkelser från National Science Foundation såväl som privata stiftelser.

Sammanfattning av forskning

Caginalp var främst känd för att utveckla fasfältsmetoden för gränssnittsproblem och för banbrytande matematisk modellering för att förstå dynamiken på finansiella marknader bortom värdering. För närvarande involverar nyckelområdena i Caginalps arbete kvantitativ beteendefinansiering, fasfältsmodeller och renormaliseringsmetoder i differentialekvationer. Hans första forskning fokuserade på rigorös statistisk jämviktsmekanik, särskilt ytfri energi. Han arbetade också med icke-linjära hyperboliska differentialekvationer.

Artiklar om hans forskning har dykt upp i New York Times , Science och andra publikationer. Vetenskapsartikel Arkiverad 2012-10-14 på Wayback Machine .

Avhandling och relaterad forskning

Caginalps doktorsexamen i tillämpad matematik vid Cornell University (med avhandlingsrådgivare professor Michael Fisher) fokuserade på ytfri energi. Tidigare resultat av David Ruelle, Fisher och Elliot Lieb på 1960-talet hade fastställt att den fria energin i ett stort system kan skrivas som en produkt av volymen gånger en term $f_{\infty }$ (fri energi per volymenhet) som är oberoende av storleken på systemet, plus mindre termer. Ett kvarvarande problem var att bevisa att det fanns en liknande term förknippad med ytan. Detta var svårare eftersom $f_{\infty }$ bevisen förlitade sig på att kassera termer som var proportionella mot ytan.

Ett nyckelresultat av Caginalps avhandling [1,2,3] är beviset på att den fria energin, F, i ett gittersystem som upptar en region $\Omega$ med volym $|\Omega |$ och yta $|\partial \Omega |$ kan skrivas som

$F(\Omega )=|\Omega |f_{\infty }+|\partial \Omega |f_{x}+...$

med $f_{x}$ den fria ytenergin (oberoende av $|\Omega |$ och $|\partial \Omega |$ ).

Kort efter sin doktorsexamen gick Caginalp med i gruppen Mathematical Physics av ​​James Glimm (2002 National Medal of Science-mottagare) vid Rockefeller University. Förutom att arbeta med matematisk statistisk mekanik, bevisade han också existenssatser på olinjära hyperboliska differentialekvationer som beskriver vätskeflödet. Dessa artiklar publicerades i Annals of Physics och Journal of Differential Equations .

Utveckla fasfältsmodeller

1980 var Caginalp den första mottagaren av Zeev Nehari-positionen vid Carnegie-Mellon Universitys matematiska vetenskapsavdelning. Vid den tiden började han arbeta med problem med fria gränser, t.ex. problem där det finns ett gränssnitt mellan två faser som måste bestämmas som en del av lösningen på problemet. Hans ursprungliga papper om detta ämne är den näst mest citerade artikeln i en ledande tidskrift, Archive for Rational Mechanics and Analysis, under det efterföljande kvartsseklet.

Han hade publicerat över femtio artiklar om fasfältsekvationer i tidskrifter inom matematik, fysik och material. Fokus för forskningen inom matematik- och fysikgemenskaperna förändrades avsevärt under denna period, och detta perspektiv används i stor utsträckning för att härleda makroskopiska ekvationer från en mikroskopisk miljö, samt för att utföra beräkningar på dendritisk tillväxt och andra fenomen.

I matematiksamhället under förra seklet studerades gränssnittet mellan två faser generellt via Stefan-modellen, där temperaturen spelade en dubbel roll, eftersom temperaturens tecken bestämde fasen, så gränssnittet definieras som uppsättningen av punkter där temperaturen är noll. Fysiskt var dock temperaturen vid gränssnittet känd för att vara proportionell mot krökningen, vilket hindrade temperaturen från att uppfylla sin dubbla roll som Stefan-modellen. Detta antydde att ytterligare en variabel skulle behövas för en fullständig beskrivning av gränssnittet. I fysiklitteraturen hade idén om en "ordningsparameter" och medelfältteori använts av Landau på 1940-talet för att beskriva regionen nära den kritiska punkten (dvs. den region där de flytande och fasta fasen inte kan skiljas åt). Men beräkningen av exakta exponenter inom statistisk mekanik visade att medelfältteori inte var tillförlitlig.

Det fanns spekulationer i fysiksamhället att en sådan teori skulle kunna användas för att beskriva en vanlig fasövergång. Men det faktum att ordningsparametern inte kunde producera de korrekta exponenterna i kritiska fenomen för vilka den uppfanns ledde till skepsis att den kunde ge resultat för normala fasövergångar.

Motiveringen för en ordningsparameter eller medelfältsmetod hade varit att korrelationslängden mellan atomer närmar sig oändligheten nära den kritiska punkten. För en vanlig fasövergång är korrelationslängden vanligtvis bara några få atomlängder. Vidare, i kritiska fenomen försöker man ofta beräkna de kritiska exponenterna, som bör vara oberoende av detaljerna i systemet (ofta kallat "universalitet"). I ett typiskt gränssnittsproblem försöker man beräkna gränssnittspositionen i huvudsak exakt, så att man inte kan "gömma sig bakom universalitet".

1980 tycktes det finnas gott om skäl att vara skeptisk till idén att en ordningsparameter skulle kunna användas för att beskriva ett rörligt gränssnitt mellan två faser av ett material. Utöver de fysiska motiveringarna återstod det frågor relaterade till dynamiken i ett gränssnitt och matematiken i ekvationerna. Till exempel, om man använder en ordningsparameter, $\phi$ , tillsammans med temperaturvariabeln, T, i ett system av paraboliska ekvationer, kommer ett initialt övergångsskikt i $\phi$ , som beskriver gränssnittet förbli som sådan? Man förväntar sig att det kommer att variera från -1 till +1 när man går från fast till vätska och att övergången kommer att göras på en rumslig skala av ${\displaystyle \varepsilon } ,$ den fysiska tjockleken av gränssnittet. Gränssnittet i fasfältssystemet beskrivs sedan av nivåuppsättningen punkter på vilka $\phi$ försvinner.

Den enklaste modellen [4] kan skrivas som ett par $(\phi ,T)$ som uppfyller ekvationerna

${\ börja{array}{lcl}C_{P}T_{t}+{\frac {l}{2}}\phi =K\Delta T\\\alpha \varepsilon ^{2}\phi _{t}= \varepsilon ^{2}\Delta \phi +{\frac {1}{2}}(\phi -\phi ^{3})+{\frac {\varepsilon [s]_{E}}{3\ sigma }}(T-T_{E})\end{array}}$

där $C_{P},l,\alpha ,\sigma ,[s]_{E}$ är fysiskt mätbara konstanter och $\varepsilon$ är gränssnittets tjocklek.

Med gränssnittet beskrivet som nivåuppsättningen av punkter där fasvariabeln försvinner, tillåter modellen att gränssnittet identifieras utan spårning och är giltigt även om det finns självkorsningar.

Modellering

Att använda fasfältsidén för att modellera stelning så att de fysiska parametrarna kunde identifieras genomfördes ursprungligen i [4].

Legeringar

Ett antal artiklar i samarbete med Weiqing Xie* och James Jones [5,6] har utökat modelleringen till att legera fast-vätskegränssnitt.

Grundläggande satser och analytiska resultat

Initierade under 1980-talet omfattar dessa följande.

• Givet en uppsättning fysiska parametrar som beskriver materialet, nämligen latent värme, ytspänning, etc., finns det ett fasfältssystem av ekvationer vars lösningar formellt närmar sig de för motsvarande skarpa gränssnittssystem [4,7]. Faktum är att det har bevisats att ett brett spektrum av gränssnittsproblem är distingerade gränser för fasfältsekvationerna. Dessa inkluderar den klassiska Stefan-modellen, Cahn-Hilliard-modellen och rörelse med medelkurvatur. Fasfigur Arkiverad 2012-10-14 på Wayback Machine
• Det finns en unik lösning på detta ekvationssystem och gränssnittsbredden är stabil i tiden [4].

Beräkningsresultat

De tidigaste kvalitativa beräkningarna gjordes i samarbete med JT Lin 1987.

• Eftersom den sanna gränssnittstjockleken, $\varepsilon$ , är atomlängd, verkade realistiska beräkningar inte möjliga utan en ny ansats. Man kan skriva fasfältsekvationerna i en form där ε är gränssnittets tjocklek och $d_{0}$ kapillärlängden (relaterad till ytspänningen), så att det är möjligt att variera $\varepsilon$ som en fri parameter utan att variera $d_{0}$ om skalningen görs på rätt sätt [4].
• Man kan öka storleken på epsilon och inte ändra rörelsen i gränssnittet avsevärt förutsatt att $d_{0}$ är fixerad [8]. Detta innebär att beräkningar med verkliga parametrar är genomförbara.
• Beräkningar i samarbete med Dr. Bilgin Altundas* jämförde de numeriska resultaten med dendritisk tillväxt i mikrogravitationsförhållanden på rymdfärjan [9].

Fasfältmodeller av andra ordningen

När fasfältsmodeller blev ett användbart verktyg inom materialvetenskap blev behovet av ännu bättre konvergens (från fasfältet till de skarpa gränssnittsproblemen) uppenbart. Detta ledde till utvecklingen av fasfältsmodeller av andra ordningen, vilket innebär att när gränssnittstjockleken, ${\displaystyle \varepsilon },$ blir liten, blir skillnaden i gränssnittet för fasfältsmodellen och gränssnittet för den relaterade skarpa gränssnittsmodellen blir andra ordningen i gränssnittstjocklek, dvs $\varepsilon ^{2}$ . I samarbete med Dr. Christof Eck, Dr. Emre Esenturk* och Profs. Xinfu Chen och Caginalp utvecklade en ny fasfältsmodell och bevisade att den verkligen var andra ordningens [10, 11,12]. Numeriska beräkningar bekräftade dessa resultat.

Tillämpning av renormaliseringsgruppmetoder på differentialekvationer

Det filosofiska perspektivet för renormaliseringsgruppen (RG) som initierades av Ken Wilson på 1970-talet är att man i ett system med stora frihetsgrader ska kunna upprepade gånger medelvärde och justera, eller renormalisera, vid varje steg utan att förändra det väsentliga draget att man försöker beräkna. På 1990-talet Nigel Goldenfeld och medarbetare undersöka möjligheten att använda denna idé för Barenblatt-ekvationen. Caginalp vidareutvecklade dessa idéer så att man kan beräkna sönderfallet (i rum och tid) av lösningar till en värmeekvation med olinjäritet [13] som uppfyller ett dimensionellt villkor. Metoderna tillämpades också på gränssnittsproblem och system av paraboliska differentialekvationer med Huseyin Merdan*.

Forskning inom beteendeekonomi och experimentell ekonomi

Caginalp har varit ledande inom det nyutvecklade området Quantitative Behavioral Finance. Arbetet har tre huvudaspekter: (1) statistisk tidsseriemodellering, (2) matematisk modellering med differentialekvationer och (3) laboratorieexperiment; jämförelse med modeller och världsmarknader. Hans forskning är influerad av årtionden av erfarenhet som enskild investerare och handlare.

Statistisk tidsseriemodellering

Den effektiva marknadshypotesen (EMH) har varit den dominerande teorin för finansiella marknader under det senaste halvseklet. Den stipulerar att tillgångspriser i huvudsak är slumpmässiga fluktuationer om deras fundamentala värde. Som empiriskt bevis citerar dess förespråkare marknadsdata som verkar vara "vitt brus". Beteendefinansiering har utmanat detta perspektiv, med hänvisning till stora marknadsomvälvningar såsom högteknologiska bubblan och busten 1998-2003, etc. Svårigheten med att etablera nyckelidéerna för beteendefinansiering och ekonomi har varit närvaron av "buller" på marknaden . Caginalp och andra har gjort betydande framsteg för att övervinna denna nyckelsvårighet. En tidig studie av Caginalp och Constantine 1995 visade att genom att använda förhållandet mellan två klonade slutna fonder kan man ta bort det brus som är förknippat med värdering. De visade att dagens pris sannolikt inte är gårdagens pris (som indikeras av EMH), eller en ren fortsättning på förändringen under föregående tidsintervall, utan ligger halvvägs mellan dessa priser.

Efterföljande arbete med Ahmet Duran* [14] undersökte data som involverade stora avvikelser mellan priset och nettotillgångsvärdet för slutna fonder, och hittade starka bevis för att det finns en efterföljande rörelse i motsatt riktning (som tyder på överreaktion). Mer överraskande finns det en föregångare till avvikelsen, som vanligtvis är ett resultat av stora förändringar i priset i frånvaro av betydande värdeförändringar.

Dr Vladimira Ilieva och Mark DeSantis* fokuserade på storskaliga datastudier som effektivt subtraherade förändringarna på grund av substansvärdet för slutna fonder [15]. Således skulle man kunna fastställa betydande koefficienter för prisutvecklingen. Arbetet med DeSantis var särskilt anmärkningsvärt i två avseenden: (a) genom att standardisera data blev det möjligt att jämföra effekten av pristrender kontra förändringar i penningmängd, till exempel; (b) effekten av pristrenden visade sig vara olinjär, så att en liten upptrend har en positiv inverkan på priserna (visar underreaktion), medan en stor upptrend har en negativ inverkan. Måttet på stor eller liten baseras på förekomstens frekvens (mått i standardavvikelser). Med hjälp av börshandlade fonder (ETF) visade de också (tillsammans med Akin Sayrak) att begreppet motstånd – varigenom en aktie drar sig tillbaka när den närmar sig en årlig högsta nivå – har starkt statistiskt stöd [16].

Forskningen visar vikten av två nyckelidéer: (i) Genom att kompensera för mycket av förändringen i värderingen kan man minska det brus som skymmer många beteendemässiga och andra inflytanden på prisdynamiken; (ii) Genom att undersöka olinjäritet (t.ex. i pristrendeffekten) kan man avslöja influenser som skulle vara statistiskt insignifikanta om man endast undersöker linjära termer.

Matematisk modellering med differentialekvationer

Tillvägagångssättet för tillgångsflödesskillnader innebär att förstå dynamiken på tillgångsmarknaden.

(I) Till skillnad från EMH involverar modellen som utvecklats av Caginalp och medarbetare sedan 1990 ingredienser som marginaliserades av den klassiska effektiva marknadshypotesen: medan prisförändringar beror på tillgång och efterfrågan på tillgången (t.ex. lager) kan den senare bero på en olika motiv och strategier, såsom den senaste prisutvecklingen. Till skillnad från de klassiska teorierna finns det inget antagande om oändligt arbitrage, som säger att varje liten avvikelse från det verkliga värdet (som är allmänt accepterat eftersom alla deltagare har samma information) snabbt utnyttjas av ett (i huvudsak) oändligt kapital som förvaltas av "informerad "investerare. Bland konsekvenserna av denna teori är att jämvikt inte är ett unikt pris, utan beror på handlarnas prishistorik och strategier.

Klassiska modeller för prisdynamik är alla byggda på idén att det finns oändligt arbitragekapital. Caginalps tillgångsflödesmodell introducerade ett viktigt nytt koncept med likviditet, L, eller överskottslikviditet som definieras som den totala kontanta medel i systemet dividerat med det totala antalet aktier.

(II) Under efterföljande år generaliserades dessa tillgångsflödesekvationer till att inkludera distinkta grupper med olika värderingar av värde och distinkta strategier och resurser. Till exempel kan en grupp vara fokuserad på trend (momentum) medan en annan betonar värde och försöker köpa aktien när den är undervärderad.

(III) I samarbete med Duran studerades dessa ekvationer i termer av optimering av parametrar, vilket gjorde dem till ett användbart verktyg för praktisk implementering.

(IV) På senare tid studerade David Swigon, DeSantis och Caginalp stabiliteten i tillgångsflödesekvationerna och visade att instabiliteter, till exempel flashkrascher kan uppstå som ett resultat av att handlare använder momentumstrategier tillsammans med kortare tidsskalor [17, 18] .

På senare år har det funnits besläktade arbeten som ibland kallas "evolutionär finans".

Laboratorieförsök; jämförelse med modeller och världsmarknader

På 1980-talet tillhandahöll experiment på tillgångsmarknaden pionjärer av Vernon Smith (2002 års nobelpristagare för ekonomi) och medarbetare ett nytt verktyg för att studera mikroekonomi och finans. I synnerhet utgjorde dessa en utmaning för klassisk ekonomi genom att visa att när deltagarna handlade (med riktiga pengar) en tillgång med ett väldefinierat värde, skulle priset skjuta i höjden långt över det fundamentala värdet som definieras av experimentörerna. Upprepning av detta experiment under olika förhållanden visade på robustheten av fenomenet. Genom att designa nya experiment har Profs. Caginalp, Smith och David Porter löste till stor del denna paradox genom ramarna för tillgångsflödesekvationerna. I synnerhet var bubblans storlek (och mer allmänt tillgångspriset) starkt korrelerad av överskottet av kontanter i systemet, och momentum visade sig också vara en faktor [19]. I klassisk ekonomi skulle det bara finnas en kvantitet, nämligen aktiekursen som har enheter av dollar per aktie. Experimenten visade att detta skiljer sig från det fundamentala värdet per aktie. Likviditeten, L, introducerad av Caginalp och medarbetare, är en tredje kvantitet som också har dessa enheter [20]. Den tidsmässiga utvecklingen av priser involverar ett komplext samband mellan dessa tre variabler, tillsammans med kvantiteter som återspeglar handlarnas motivation som kan involvera pristrender och andra faktorer. Andra studier har visat kvantitativt att motivationerna hos de experimentella handlarna liknar dem på världsmarknaderna.

$\ast$ - Doktorand vid Caginalp

1.    Fisher, Michael E.; Caginalp, Gunduz (1977). "Vägg- och gränsfria energier: I. Ferromagnetiska skalära spinnsystem". Kommunikationer i matematisk fysik . Springer Science and Business Media LLC. 56 (1): 11–56. Bibcode : 1977CMaPh..56...11F . doi : 10.1007/bf01611116 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121460163 .
2.    Caginalp, Gunduz; Fisher, Michael E. (1979). "Vägg- och gränsfria energier: II. Allmänna domäner och fullständiga gränser". Kommunikationer i matematisk fysik . Springer Science and Business Media LLC. 65 (3): 247–280. Bibcode : 1979CMaPh..65..247C . doi : 10.1007/bf01197882 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122609456 .
3.    Caginalp, Gunduz (1980). "Vägg- och gränsfria energier: III. Korrelationsförfall och vektorsnurrsystem". Kommunikationer i matematisk fysik . Springer Science and Business Media LLC. 76 (2): 149–163. Bibcode : 1980CMaPh..76..149C . doi : 10.1007/bf01212823 . ISSN 0010-3616 . S2CID 125456415 .
4.    Caginalp, Gunduz (1986). "En analys av en fasfältsmodell av en fri gräns". Arkiv för rationell mekanik och analys . Springer Science and Business Media LLC. 92 (3): 205–245. Bibcode : 1986ArRMA..92..205C . doi : 10.1007/bf00254827 . ISSN 0003-9527 . S2CID 121539936 . (Tidigare version: CMU Preprint 1982)
5.    Caginalp, G.; Xie, W. (1993-09-01). "Fasfälts- och legeringsmodeller med skarpt gränssnitt". Fysisk granskning E . American Physical Society (APS). 48 (3): 1897–1909. Bibcode : 1993PhRvE..48.1897C . doi : 10.1103/physreve.48.1897 . ISSN 1063-651X . PMID 9960800 .
6.   Caginalp, G.; Jones, J. (1995). "En härledning och analys av fasfältsmodeller av termiska legeringar". Fysikens annaler . Elsevier BV. 237 (1): 66–107. Bibcode : 1995AnPhy.237...66C . doi : 10.1006/aphy.1995.1004 . ISSN 0003-4916 .
7.    Caginalp, Gunduz; Chen, Xinfu (1992). "Fasfältsekvationer i singulargränsen för problem med skarpa gränssnitt". Om utvecklingen av fasgränser . IMA-volymerna i matematik och dess tillämpningar. Vol. 43. New York, NY: Springer New York. s. 1–27. doi : 10.1007/978-1-4613-9211-8_1 . ISBN 978-1-4613-9213-2 . ISSN 0940-6573 .
8.   Caginalp, G.; Socolovsky, EA (1989). "Effektiv beräkning av ett skarpt gränssnitt genom spridning via fasfältsmetoder" . Tillämpade matematikbokstäver . Elsevier BV. 2 (2): 117–120. doi : 10.1016/0893-9659(89)90002-5 . ISSN 0893-9659 .
9.    Altundas, YB; Caginalp, G. (2003). "Beräkningar av dendriter i 3-D och jämförelse med mikrogravitationsexperiment". Journal of Statistical Physics . Springer Science and Business Media LLC. 110 (3/6): 1055–1067. doi : 10.1023/a:1022140725763 . ISSN 0022-4715 . S2CID 8645350 .
10. "Snabbt konvergerande fasfältsmodeller via andra ordningens asymptotiska". Diskreta och kontinuerliga dynamiska system, serie B : 142–152. 2005.
11.   Chen, Xinfu; Caginalp, G.; Eck, Christof (2006). "En snabbt konvergerande fasfältsmodell" . Diskreta och kontinuerliga dynamiska system - serie A . American Institute of Mathematical Sciences (AIMS). 15 (4): 1017–1034. doi : 10.3934/dcds.2006.15.1017 . ISSN 1553-5231 .
12.    Chen, Xinfu; Caginalp, Gunduz; Esenturk, Emre (2011-10-01). "Gränssnittsvillkor för en fasfältsmodell med anisotropa och icke-lokala interaktioner". Arkiv för rationell mekanik och analys . Springer Science and Business Media LLC. 202 (2): 349–372. Bibcode : 2011ArRMA.202..349C . doi : 10.1007/s00205-011-0429-8 . ISSN 0003-9527 . S2CID 29421680 .
13.    Caginalp, G. (1996-01-01). "Renormaliseringsgruppsberäkning av anomala exponenter för icke-linjär diffusion". Fysisk granskning E . American Physical Society (APS). 53 (1): 66–73. Bibcode : 1996PhRvE..53...66C . doi : 10.1103/physreve.53.66 . ISSN 1063-651X . PMID 9964235 .
14.    Duran, Ahmet; Caginalp, Gunduz (2007). "Överreaktionsdiamanter: prekursorer och efterskalv för betydande prisförändringar". Kvantitativ finansiering . Informa UK Limited. 7 (3): 321–342. doi : 10.1080/14697680601009903 . ISSN 1469-7688 . S2CID 12127798 .
15.    Caginalp, Gunduz; DeSantis, Mark (2011). "Icke-linjäritet i dynamiken på finansmarknaderna". Icke-linjär analys: Real World Applications . Elsevier BV. 12 (2): 1140–1151. doi : 10.1016/j.nonrwa.2010.09.008 . ISSN 1468-1218 . S2CID 5807976 .
16.   "Den icke-linjära prisdynamiken för amerikanska aktie-ETF:er". Journal of Econometrics . 183 (2). 2014. SSRN 2584084 .
17.    DeSantis, M.; Swigon, D.; Caginalp, G. (2012). "Icke-linjär dynamik och stabilitet i en multigrupptillgångsflödesmodell" . SIAM Journal on Applied Dynamical Systems . Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM). 11 (3): 1114–1148. doi : 10.1137/120862211 . ISSN 1536-0040 . S2CID 13919799 .
18. "Orsakas flashkrascher av instabilitet som härrör från snabb handel?". {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
19.     Caginalp, G.; Porter, D.; Smith, V. (1998-01-20). "Initial kassa/tillgångskvot och tillgångspriser: En experimentell studie" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 95 (2): 756–761. Bibcode : 1998PNAS...95..756C . doi : 10.1073/pnas.95.2.756 . ISSN 0027-8424 . PMC 18494 . PMID 11038619 .
20.    Caginalp, G.; Balenovich, D. (1999). Dewynne, JN; Howison, SD; Wilmott, P. (red.). "Tillgångsflöde och momentum: deterministiska och stokastiska ekvationer". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A: Matematisk, fysikalisk och ingenjörsvetenskap . Royal Society. 357 (1758): 2119–2133. Bibcode : 1999RSPTA.357.2119C . doi : 10.1098/rsta.1999.0421 . ISSN 1364-503X . S2CID 29969244 .

externa länkar

• Ladda ner artiklar om ekonomi/finans: http://ssrn.com/author=328612
• Lista över artiklar om fasfältsekvationer: http://www.pitt.edu/~caginalp/pfpub8_10.pdf Arkiverad 2012-10-14 på Wayback Machine
• Ladda ner alla papper från personlig hemsida Arkiverad 2007-08-16 på Wayback Machine
• Lista över publikationer, 2016 Arkiverad 2017-11-22 på Wayback Machine
• Publikationslista Arkiverad 2011-06-06 på Wayback Machine
• NY Times artikel
• Nyhetsbrev: Quantitative Behavioral Finance Arkiverad 2019-02-14 på Wayback Machine