Symplektiskt vektorfält

Inom fysik och matematik är ett symplektiskt vektorfält ett vars flöde bevarar en symplektisk form . Det vill säga, om $(M,\omega )$ är ett symplektiskt grenrör med jämnt grenrör $M$ och symboliskt form $\omega$ , då är ett vektorfält $X\in {\mathfrak {X}}(M)$ i Lie-algebra ${\mathfrak {X}}(M)$ är symplektisk om dess flöde bevarar symplektiken strukturera. Med andra ord Lie-derivatan av vektorfältet försvinna:

${\mathcal {L}}_{X}\omega =0$ .

En alternativ definition är att ett vektorfält är symplektiskt om dess inre produkt med den symboliska formen är stängd. (Inredningsprodukten ger en karta från vektorfält till 1-former, vilket är en isomorfism på grund av att en symplektisk 2-form inte är degenererad.) Likvärdigheten mellan definitionerna följer av den symplektiska formens slutenhet och Cartans magiska formel för Lie-derivata i termer av den yttre derivatan .

Om den inre produkten av ett vektorfält med den symboliska formen är en exakt form (och i synnerhet en sluten form), så kallas det ett Hamiltonskt vektorfält . Om den första De Rham-kohomologigruppen H $\displaystyle H^{1}(M)}$ i grenröret är trivial, är alla slutna former exakta, så alla symplektiska vektorfält är Hamiltonska. Det vill säga, ${1}(M)}$ M ) displaystyle . I synnerhet är symplektiska vektorfält på enkelt sammankopplade grenrör Hamiltonska.

Lie -parentesen av två symplectic vektorfält är Hamiltonian, och således bildar samlingen av symplectic vektorfält och samlingen av Hamiltonian vektorfält båda Lie-algebror .

Den här artikeln innehåller material från Symplectic vektorfält på PlanetMath , som är licensierat under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .