Fri faltning

Fri faltning är den fria sannolikhetsanalogen till det klassiska begreppet faltning av sannolikhetsmått. På grund av den icke-kommutativa karaktären av fri sannolikhetsteorin måste man tala separat om additiv och multiplikativ fri faltning, som uppstår från addition och multiplikation av fria slumpvariabler (se nedan; i det klassiska fallet, vad skulle vara analogen till fri multiplikativ faltning kan reduceras till additiv faltning genom att övergå till logaritmer av slumpvariabler). Dessa operationer har vissa tolkningar i termer av empiriska spektralmått på slumpmässiga matriser .

Begreppet fri faltning introducerades av Voiculescu.

Gratis additiv konvolution

Låt $\mu$ och $\nu$ vara två sannolikhetsmått på den reella linjen, och antag att $X$ är en slumpvariabel i ett icke-kommutativt sannolikhetsutrymme med lag $\mu$ och $Y$ är en slumpvariabel i samma icke-kommutativa sannolikhetsutrymme med lagen $\nu$ . Antag slutligen att $X$ och $Y$ är fritt oberoende . Då är den fria additiva faltningen $\mu \boxplus \nu$ lagen för $X+Y$ . Tolkning av slumpmässiga matriser : om $A$ och $B$ är några oberoende $n$ av $n$ Hermitiska (resp. realsymmetriska) slumpmässiga matriser så att minst en av dem är invariant, i lag, under konjugering av någon enhetlig (resp. ortogonal) matris och sådan att de empiriska spektralmåtten för $A$ och $B$ tenderar att respektive $\mu$ och $\nu$ eftersom $n$ tenderar till oändlighet, då tenderar det empiriska spektralmåttet på $A+B$ till $\mu \boxplus \nu$ .

I många fall är det möjligt att explicit beräkna sannolikhetsmåttet $\mu \boxplus \nu$ genom att använda komplexanalytiska tekniker och R-transformen av måtten $\mu$ och $\nu$ .

Rektangulär fri tillsatsfalsning

Den rektangulära fria additiva faltningen (med förhållandet $c$ ) $\boxplus _{c}$ har också definierats i det icke-kommutativa sannolikhetsramverket av Benaych-Georges och tillåter följande tolkning av slumpmässiga matriser . För $c\in [0,1]$ , för $A$ och $B$ några oberoende $n$ av $p$ komplexa (resp. reella) slumpmässiga matriser så att minst en av dem är invariant, i lag, under multiplikation till vänster och till höger med vilken enhetlig (resp. ortogonal) matris som helst och så att den empiriska singularvärdesfördelningen av $A$ och $B$ tenderar till $\mu$ respektive $\nu$ eftersom $n$ och $p$ tenderar till oändlighet på ett sådant sätt att $n/p$ tenderar till $c$ , då tenderar den empiriska singularvärdesfördelningen av $A+B$ att $\mu \boxplus _{c}\nu$ .

I många fall är det möjligt att explicit beräkna sannolikhetsmåttet $\mu \boxplus _{c}\nu$ genom att använda komplexanalytiska tekniker och den rektangulära R-transformen med förhållandet $c$ av måtten $\mu$ och $\nu$ .

Gratis multiplikativ faltning

Låt $\mu$ och $\nu$ vara två sannolikhetsmått på intervallet $[0,+\infty )$ , och antag att $X$ är en slumpvariabel i ett icke-kommutativt sannolikhetsutrymme med lag $\mu$ och $Y$ är en slumpvariabel i samma icke-kommutativa sannolikhetsutrymme med lag $\nu$ . Antag slutligen att $X$ och $Y$ är fritt oberoende . Då är den fria multiplikativa faltningen $\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$ $YX^{1/2}$ för ( eller, ekvivalent, lagen för $Y^{1/2}XY^{1/2}$ . Tolkning av slumpmässiga matriser : om $A$ och ${\ displaystyle B}$ är några oberoende $n$ av $n$ icke-negativa hermitiska (resp. realsymmetriska) slumpmässiga matriser så att åtminstone en av dem är invariant, i lag, under konjugering av någon enhetlig (resp. . ortogonal) matris och sådan att de empiriska spektralmåtten för $A$ och $B$ tenderar till $\mu$ respektive $\nu$ som ${\displaystyle n} tenderar till oändligheten, då$ tenderar det empiriska spektralmåttet på ${\displaystyle AB} att$ $\mu \boxtimes \nu$ .

En liknande definition kan göras i fallet med lagarna $\mu ,\nu$ som stöds på enhetscirkeln $\{z:|z|=1\}$ , med en ortogonal eller enhetlig slumpmässig matristolkning .

Explicita beräkningar av multiplikativ fri faltning kan utföras med användning av komplex-analytiska tekniker och S-transformen.

Applikationer för fri faltning

Fri faltning kan användas för att ge ett bevis på den fria centrala gränssatsen.
Fri faltning kan användas för att beräkna lagarna och spektra för summor eller produkter av slumpvariabler som är fria. Sådana exempel inkluderar: random walk- operatörer på gratisgrupper (Kesten-mått); och asymptotisk fördelning av egenvärden av summor eller produkter av oberoende slumpmässiga matriser .

Genom sina applikationer på slumpmässiga matriser har fri faltning några starka kopplingar med andra arbeten om G-uppskattning av Girko.

Tillämpningarna inom trådlös kommunikation , ekonomi och biologi har gett ett användbart ramverk när antalet observationer är av samma storleksordning som systemets dimensioner.

Se även

"Free Deconvolution for Signal Processing Applications", O. Ryan och M. Debbah, ISIT 2007, s. 1846–1850
James A. Mingo, Roland Speicher: Fri sannolikhet och slumpmässiga matriser . Fields Institute Monographs, vol. 35, Springer, New York, 2017.
D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (red.): Free Probability and Operator Algebras , Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016

externa länkar

Alcatel Lucent-stol på flexibel radio
http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
http://folk.uio.no/oyvindry
undersökningsartiklar av Roland Speicher om fri sannolikhet.