Berezin integral

Inom matematisk fysik är Berezin -integralen , uppkallad efter Felix Berezin , (även känd som Grassmann-integralen , efter Hermann Grassmann ), ett sätt att definiera integration för funktioner av Grassmann-variabler (element i den yttre algebra ). Det är inte en integral i Lebesgues mening; ordet "integral" används för att Berezin-integralen har egenskaper som är analoga med Lebesgue-integralen och för att den förlänger vägintegralen i fysiken, där den används som en summa över historier för fermioner .

Definition

Låt $\Lambda ^{n}$ vara den yttre algebra för polynom i antipendlingselement $\theta _{1},\dots ,\theta _{n}$ över fältet för komplexa tal. (Ordningen av generatorerna $\theta _{1},\dots ,\theta _{n}$ är fixerad och definierar orienteringen för den yttre algebra.)

En variabel

Berezin- integralen över den enda Grassmann-variabeln $\theta =\theta _{1}$ definieras som en linjär funktionell

$\int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \ mathbb {C}$

där vi definierar

$\int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0$

så att :

$\int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.$

Dessa egenskaper definierar integralen unikt och innebär

$\int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .$

Observera att $f(\theta )=a\theta +b$ är den mest allmänna funktionen av $\theta$ eftersom Grassmann-variablerna kvadrat till noll, så $f(\theta )$ kan inte ha termer som inte är noll utöver linjär ordning.

Flera variabler

Berezin -integralen på $\Lambda ^{n}$ definieras som den unika linjära funktionella $\int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm { d}}\theta$ med följande egenskaper:

$\int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,$

$\int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n$

för valfri $f\in \Lambda ^{n},$ där $\partial /\partial \theta _{i}$ betyder den vänstra eller den högra partiella derivatan . Dessa egenskaper definierar integralen unikt.

Lägg märke till att det finns olika konventioner i litteraturen: Vissa författare definierar istället

$\int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \ theta :=1.$

Formeln

$\int _{\Lambda ^{\ }}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\ Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}$

uttrycker Fubini-lagen. På höger sida är den inre integralen av en monomial $f=g(\theta ')\theta _{1}$ satt till $g(\theta '),$ där $\theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n} \right)$ ; integralen av $f=g(\theta ')$ försvinner. Integralen med avseende på $\theta _{2}$ beräknas på liknande sätt och så vidare.

Ändring av Grassmann-variabler

Låt ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1}, \ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,} vara$ udda polynom i vissa antisymmetriska variabler $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$ . Jacobianen är matrisen

$D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{ j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},$

där $\partial /\partial \xi _{j}$ avser den högra derivatan ( ${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}} )$ . Formeln för koordinatändringen lyder

$\int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .$

Integrering av jämna och udda variabler

Definition

Betrakta nu algebra $\Lambda ^{m\mid n}$ för funktioner för reella pendlingsvariabler $x=x_{1},\ldots ,x_ {m}$ och av antipendlingsvariabler ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}} ($ som kallas den fria superalgebra för dimension ${ \displaystyle (m|n)}$ ). Intuitivt är en funktion $f=f(x,\theta )\i \Lambda ^{m\mid n}$ en funktion av m jämn (bosonisk, pendlingsvariabler och av udda (fermioniska, anti-pendling) variabler. Mer formellt är ett element $f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}$ en funktion av argumentet ${ \displaystyle x}$ som varierar i en öppen mängd $X\subset \mathbb {R} ^{m}$ med värden i algebra $\Lambda ^{n}.$ Antag att denna funktion är kontinuerlig och försvinner i komplementet till en kompakt mängd $K\subset \mathbb {R} ^{m}.$ Berezin-integralen är talet

$\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m }}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .$

Ändring av jämna och udda variabler

Låt en koordinattransformation ges av ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \ theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,} där x i {\displaystyle$ x_ $}}$ är jämna och $\theta _{j}$ är udda polynom av $\xi$ beroende på jämna variabler $y.$ Den jakobiska matrisen för denna transformation har blockformen:

$\mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y, \xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$

där varje jämn derivata $\partial /\partial y_{j}$ pendlar med alla element i algebra $\Lambda ^{m\mid n}$ ; de udda derivatorna pendlar med jämna element och antipendlar med udda element. Inmatningarna av diagonalblocken $A=\partial x/\partial y$ och $D=\partial \theta /\partial \xi$ är jämn och ingångarna för de off-diagonala blocken $B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y$ är udda funktioner, där $\partial /\partial \xi _{j}$ återigen betyder rätta derivator .

Vi behöver nu Berezinian (eller superdeterminant ) för matrisen ${\displaystyle \mathrm {J} } ,$ som är den jämna funktionen

$\mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D ^{-1}$

definieras när funktionen $\det D$ är inverterbar i $\Lambda ^{m\mid n}.$ Antag att de reella funktionerna $x_{i}=x_{i}(y,0)$ definierar en jämn invertibel map $F:Y\to X$ av öppna mängder $X,Y$ i $\mathbb {R} ^{m}$ och den linjära delen av kartan $\xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )$ är inverterbar för varje $y\in Y.$ Den allmänna transformationslagen för Berezin-integralen lyder

$\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi) ,\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm { d} y,$

där ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y} )$ är tecknet för kartans orientering $F.$ Överlagringen ${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\$ definieras på det uppenbara sättet, om funktionerna $x_{i}(y,\xi )$ inte är beroende av $\xi .$ I det allmänna fallet skriver vi $x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{ i},$ där $\delta _{i},i=1,\ldots ,m$ är jämna nilpotenta element av $\Lambda ^{ m\mid n}$ och ställ in

$f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\ theta )+\summa _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1} {2}}\summa _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta ) \delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,$

där Taylor-serien är ändlig.

Användbara formler

Följande formler för Gaussiska integraler används ofta i vägintegralformuleringen av kvantfältteorin :

• $\int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A$

där $A$ är en komplex $n\ gånger n$ matris.

• $\int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T} M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ jämn}}\\0&n{\mbox{ udda}}\end{cases}}$

där $M$ är en komplex skev-symmetrisk $n\times n$ matris, och $\mathrm {Pf} \,M$ är Pfaffian av $M$ , vilket uppfyller $(\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M$ .

används notationen ${\displaystyle d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}}.$ Från dessa formler följer andra användbara formler (se bilaga A i):

• $\int \ exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1} \dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]$

där $A$ är en inverterbar $n\ gånger n$ matris. Observera att alla dessa integraler är i form av en partitionsfunktion .

Historia

Den matematiska teorin om integralen med pendlings- och antipendlingsvariabler uppfanns och utvecklades av Felix Berezin . Några viktiga tidigare insikter gjordes av David John Candlin 1956. Andra författare bidrog till denna utveckling, inklusive fysikerna Khalatnikov (även om hans uppsats innehåller misstag), Matthews och Salam och Martin.

Se även

• Supermanifold
• Berezinian

Vidare läsning

•   Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds , Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
•   Berezin, Felix Alexandrovich: Introduktion till superanalys , Springer Nederländerna, ISBN 978-90-277-1668-2