Gopakumar–Vafa invariant

Inom teoretisk fysik introducerade Rajesh Gopakumar och Cumrun Vafa i en serie artiklar nya topologiska invarianter, kallade Gopakumar-Vafa-invarianter , som representerar antalet BPS-tillstånd på en Calabi-Yau 3-faldigt . De leder till följande genereringsfunktion för Gromov-Witten-invarianterna på en Calabi-Yau 3-faldig M :

$\sum _{g=0}^{\infty }~\summa _{\beta \in H_{2 }(M,\mathbb {Z} )}{\text{GW}}(g,\beta )q^{\beta }\lambda ^{2g-2}=\summa _{g=0}^{\ infty }~\summa _{k=1}^{\infty }~\summa _{\beta \in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}{\text{BPS}}(g,\ beta ){\frac {1}{k}}\left(2\sin \left({\frac {k\lambda }{2}}\right)\right)^{2g-2}q^{k\ beta }$ ,

var

• $\beta$ är klassen av pseudoholomorfa kurvor med släktet g ,
• $\lambda$ är den topologiska strängkopplingen,
• $q^{\beta }=\exp(2\pi it_{\beta })$ med $t_{\beta }$ Kähler-parametern av kurvklassen $\beta$ ,
• ${\text{GW}}(g,\beta )$ är Gromov–Witten-invarianterna av kurvklassen $\beta$ vid släktet $g$ ,
• ${\text{BPS}}(g,\beta )$ är antalet BPS-tillstånd (Gopakumar–Vafa-invarianterna) av kurvklassen $\beta$ vid släktet ${ \displaystyle g}$ .

Som en partitionsfunktion i topologisk kvantfältteori

Gopakumar–Vafa-invarianter kan ses som en partitionsfunktion i topologisk kvantfältteori . De föreslås vara partitionsfunktionen i Gopakumar–Vafa-form:

$Z_{top}=\exp \left[\sum _{g=0}^{\infty }~\sum _{k=1}^{\infty }~\summa _{\beta \in H_ {2}(M,\mathbb {Z} )}{\text{BPS}}(g,\beta ){\frac {1}{k}}\left(2\sin \left({\frac {k \lambda }{2}}\right)\right)^{2g-2}q^{k\beta}\right]\ .$

Anteckningar

• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998a), M-teori och topologiska strängar-I , arXiv : hep-th/9809187 , Bibcode : 1998hep.th....9187G
• Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998b), M-Theory and Topological Strings-II , arXiv : hep-th/9812127 , Bibcode : 1998hep.th...12127G
•   Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1999), "On the Gauge Theory/Geometry Correspondence", Adv. Theor. Matematik. Phys. , 3 (5): 1415–1443, arXiv : hep-th/9811131 , Bibcode : 1998hep.th...11131G , doi : 10.4310/ATMP.1999.v3.n5.a5 , S2CID 8516 , S8248516
•   Gopakumar, Rajesh; Vafa, Cumrun (1998d), "Topological Gravity as Large N Topological Gauge Theory", Adv. Theor. Matematik. Phys. , 2 (2): 413–442, arXiv : hep-th/9802016 , Bibcode : 1998hep.th....2016G , doi : 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a8 , S2CID 6167
•    Ionel, Eleny-Nicoleta ; Parker, Thomas H. (2018), "The Gopakumar–Vafa formula for symplectic manifolds", Annals of Mathematics , Second Series, 187 (1): 1–64, arXiv : 1306.1516 , doi : 10.4007/annals.18018 . MR 3739228 , S2CID 7070264