Gitterfördröjningsnätverk

Gitterfördröjningsnätverk är en viktig undergrupp av gitternätverk . De är all-pass filter , så de har ett platt amplitudsvar, men ett fassvar som varierar linjärt (eller nästan linjärt) med frekvensen. Alla gitterkretsar, oavsett deras komplexitet, är baserade på schemat som visas nedan, som innehåller två serieimpedanser, Za, och två shuntimpedanser, Zb. Även om det finns duplicering av impedanser i detta arrangemang, erbjuder det stor flexibilitet för kretsdesignern så att den, förutom dess användning som fördröjningsnätverk (som visas här) kan konfigureras för att vara en faskorrigerare, ett dispersivt nätverk, en amplitud equalizer, eller ett lågpass (eller bandpass) filter, beroende på valet av komponenter för gitterelementen.

Det visas i Lattice-nätverk att när ett gitter är konfigurerat som ett fördröjningsnätverk har det en karakteristisk impedans som är resistiv (= Ro), dess impedanser Za och Zb är dubbla impedanser , dvs Za·Zb = Ro ² (eller Za/ Ro = Ro/Zb) och Za och Zb består av induktorer och kondensatorer. Ett sådant gitter är ett konstant motståndsnätverk och ett allpassfilter , och det har ett fassvar som bestäms av egenskaperna hos Za. Detta gör den idealisk som en fördröjningsanordning eftersom den kan inkluderas i en kaskad av andra filtersektioner utan att påverka det totala amplitudsvaret, och det kommer inte heller att skapa missanpassningsproblem, men det kommer att öka faslutningen (dvs. fördröjningen) för den totala sammansättningen .

För att uppnå en önskad fördröjning är det nödvändigt att välja specifika komponenter för Za och Zb, och designmetoderna för att göra detta ges i senare avsnitt. Oavsett vilken metod som används, uppnår nätverk endast en konstant fördröjning över ett ändligt band av frekvenser, så om en ökning av bandbredd och/eller fördröjning krävs krävs mer komplexa lösningar för Za och Zb. Normalt är Za och Zb impedanser med klumpade element , lämpliga för nätverk som arbetar med ljud- eller videofrekvenser, men drift upp till vhf och till och med uhf är också möjlig. Ibland kan designprocedurerna resultera i att Za och Zb är mycket komplicerade nätverk, men det är alltid möjligt att härleda en kaskad av enklare gitter med identiska elektriska egenskaper, om det skulle föredras.

En gitterfördröjningssektion har dubbelt så stor fördröjning som en jämförbar stegfiltersektion, och detta hjälper till att mildra oro över komponentduplicering. I vilket fall som helst kan en gitterkonfiguration omvandlas till en obalanserad ekvivalent, vilket kommer att minska antalet komponenter och tillåta en viss uppmjukning av komponenttoleranserna. Följaktligen kan gitterfördröjningssektioner, eller deras överbryggade T-kretsekvivalenter , tillhandahålla avsevärda tidsfördröjningar i en kompakt fysisk form och de utnyttjar sin operativa bandbredd effektivt. Även om det finns andra sätt att uppnå signalfördröjningar, t.ex. genom en lång längd av koaxialkabel, eller genom klumpade element , har sådana lösningar antingen större fysisk bulk, eller så utnyttjar de ett frekvensband ineffektivt, eller så har de dålig fas linjäritet.

Designmetoder för gitterfördröjningar

Inledningsvis baserades designen för gitterfördröjningar på bildteori där syftet var att simulera en ändlig längd på transmissionsledningen. Senare introducerades nätverkssyntesmetoder .

Ett vanligt valt svar för fördröjningsnätverket är den maximalt platta gruppfördröjningskarakteristiken. Detta fördröjningssvar är rippelfritt och är perfekt jämnt över passbandet och avviker endast från medelvärdet när bandkanten nås. Inledningsvis kan ett sådant svar anses vara idealiskt för ett fördröjningsnätverk, men det är inte nödvändigtvis det mest effektiva och för att uppnå en bredare bandbredd, för en given fördröjning, krävs ett nätverk av högre ordning. En viss ökning av bandbredden är emellertid också möjlig, utan att öka kretskomplexiteten, genom att överväga alternativa egenskaper, där fas- och gruppfördröjningssvaren tillåts krusa inom passbandet.

Det finns flera designprocedurer tillgängliga genom vilka en önskad linjär fasapproximation kan uppnås, oavsett om det är maximalt platt eller med rippel. Dessa metoder inkluderar tekniker från bildteorin, genom den potentiella analoga metoden och genom en Taylor-expansion av en gruppfördröjning, som alla beskrivs i följande avsnitt.

I situationer där ett balanserat nätverk inte är lämpligt krävs en enda krets som arbetar med ett jordplan. I sådana fall utförs omvandlingen av ett gitter till en bryggad T-krets , som beskrivs i artikeln Lattice-nätverk . Det resulterande obalanserade nätverket har samma elektriska egenskaper som det balanserade gitternätverket som det är baserat på. Ett exempel på denna procedur ges i ett senare avsnitt.

Nätverk härledda från bildteori

En idealisk fördröjningslinjekarakteristik har konstant dämpning och linjär fasvariation, med frekvens, dvs den kan uttryckas med

$T(p)=e^{-p\tau }$

där τ är den nödvändiga fördröjningen.

Som visas i gitternätverk , ges seriearmarna av gittret, za, av

$z_{a} ={\frac {1}{z_{b}}}={\frac {1-T(p)}{1+T(p)}}\qquad {\text{so}}\qquad z_{a} ={\frac {1-e^{-p\tau }}{1+e^{-p\tau }}}=\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)$

$Z_{a}=Z_{0}\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{and} }\quad Z_{b}=Z_{0}\coth \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{ där }}\quad Z_{a}\cdot Z_ {b}=Z_{0}^{2}$ ., med en karakteristisk impedans Zo, ges uttrycken för Za och Zb av

Eftersom e ^{− x} och tanh( x ) inte är rationella funktioner är exakta lösningar för z _a och z _b inte möjliga, så någon form av approximation måste användas.

Fortsatt bråkuppskattning

En fortsatt fraktionsexpansion av tanh( x ) är

$\tanh(x)={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+ {\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{ x}}+\cdots }}}}}}}}$

Så för ett nätverk med 1 sek fördröjning kan z _a skrivas

$z_{a}(p)=\tanh \left({ \frac {p}{2}}\right)={\cfrac {1}{1\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{3\cdot {\cfrac {2} {p}}+{\cfrac {1}{5\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}$

En exakt lösning kräver ett oändligt antal termer, men en n:te ordningens approximation erhålls genom att avsluta z _a efter n element. (Om den sista komponenten som behålls är en kondensator, ersätts resten av nätverket av en kortslutning). Så att till exempel avsluta detta uttryck efter sex termer kommer att ge en sjätte ordningens fördröjning, som kan syntetiseras direkt med Cauers metoder för att ge nätverket som visas.

En krets för z _b kan lätt hittas från denna lösning, eftersom den är dualen av z _a , och är

Även om denna krets av z _b var lätt att härleda, är den inte nödvändigtvis den mest idealiska. Om en obalanserad ekvivalent krets av gittret i slutändan krävs, skulle det vara bättre om z _b startade med en serieinduktor (se Gitternätverk ) . För att göra detta är det först nödvändigt att multiplicera den fortsatta bråkexpansionen för z _a , för detta exempel, för att ge z _a (och z _b i synnerhet) som ett förhållande mellan polynom i p. Detta är

$z_{a}(p)={\frac { 24p^{5}+10080p^{3}+332640p}{p^{6}+840p^{4}+75600p^{2}+665280}}={\frac {1}{z_{b}(p )}}$

och för alternativet Cauer I fortsätter expansionen enligt följande

$z_{ b}={\frac {1}{42}}p+Z_{1}(p)\quad {\text{där}}\quad Y_{1}(p)={\frac {1}{Z_{ 1}(p)}}={\frac {42p^{5}+10080p^{3}+332640p}{600p^{4}+67680p^{2}+665280}}$

$Y_{1}(p)={\ frac {42}{600}}p+Y_{2}(p)\quad {\text{där}}\quad Z_{2}(p)={\frac {1}{Y_{2}(p) }}={\frac {600p^{4}+67680p^{2}+665280}{5342.4p^{3}+286070.4p}}$

och så vidare, tills nätverket som visas nedan erhålls.

Ytterligare detaljer om gitterkretsar, som använder dessa impedanser, behandlas i exempelavsnittet senare.

Nu, som visas i Lattice Networks , ges överföringsfunktionen för detta gitter av

$T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}$

så

$T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-332640p+665280}{p^ {6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+332640p+665280}}$

Utifrån detta kan fasdiagrammet för denna sjätte ordningens all-pass-funktion beräknas och ges nedan.

Detta svar är detsamma som det för den maximalt platta fördröjningen som härleds i ett senare avsnitt. (I själva verket resulterar härledningarna av z _a med den fortsatta fraktionsmetoden i en familj av gitter som alla har en maximalt platt gruppfördröjningskaraktäristik). Fasfelsdiagrammet (dvs. avvikelsen för svaret från linjärt) för detta svar kan hittas i avsnittet om maximalt platta fördröjningsnätverk, där svaren för nätverk av flera order anges.

Nätverk härledda med den potentiella analoga metoden

Den potentiella analoga metoden föreslogs av Darlington som ett enkelt sätt att välja pol-noll-positioner för fördröjningsnätverk. Metoden tillåter konstruktören att implementera en fördröjningskarakteristik genom att lokalisera poler och noll på det komplexa frekvensplanet intuitivt, utan behov av komplicerad matematik eller användning av referenstabeller.

Andra analoga metoder, som utarbetades för att hjälpa konstruktören att välja polnollpositioner för sina nätverk, inkluderar "gummiarkmodellen" och "elektrolyttanken". och Teledeltos papper

Darlingtons procedur börjar med att överväga fältet mellan de två plattorna i en kondensator med parallella plattor. Fältet är enhetligt inom plattorna och avviker endast från linjärt bortom plattornas yttersta delar. För att öka längden över vilken fältet är enhetligt, utökas längden på plattorna efter behov. Nästa steg är att ersätta de enhetliga plattorna med likformigt fördelade laddade filament, som ger samma fält, men som kan resultera i ett "granularitetsfel" (eller rippel). Slutligen erhålls det ekvivalenta elektriska nätverket genom att ersätta de lokaliserade glödtrådsladdningarna med poler och nollor, där gruppfördröjningskarakteristiken motsvarar det elektriska fältet i potentialanalogen.

Ett typiskt arrangemang av poler och nollor för att ge, nominellt, en elektrisk krets med konstant gruppfördröjning följer mönstret som visas i figuren nedan (se även Stewart). Polerna och nollorna ligger i två linjer, av ändlig längd, parallella med jω-axeln på ett avstånd 'a' från den. De är också åtskilda på ett avstånd 'b' från varandra i jω-riktningen.

Generellt visade Darlington att gruppfördröjningen och granularitetseffekten ges av

${\text{GD}}=-{\frac {d\ phi }{d\omega }}={\frac {2\pi }{b}}\pm {\frac {4\pi }{b}}\exp \left(-{\frac {2\pi a} {b}}\right)\cos \left({\frac {2\pi \omega }{b}}\right)$

En bra approximation av en enhetsfördröjningskarakteristik erhålls genom att sätta a = b = 2 π (ett värde som är lätt att komma ihåg). Fördröjningsrippeln (granularitet) som uppstår när man använder dessa värden på a och b är dock ganska hög vid ±8 % och ett bättre val för a är 4,4 (= 1,4 π ) vilket ger en rippel en lägre rippel på ±2,5 %. Diagrammen som visas nedan är för nätverk med ökande antal poler och nollor, för a = 4,4 och b = 2 π . Ordningen 'n' motsvarar antalet pol-nollpar som finns i nätverket.

För frekvenser bortom slutet av polnollmönstret drabbas gruppfördröjningen av ett trunkeringsfel, men bandkantprestandan för en karakteristik kan förbättras genom att ompositionera de yttre polerna och nollorna något för att kompensera för denna plötsliga avslutning av mönstret. Darlington diskuterar detta i sin artikel.

Nätverken kan realiseras som en kaskad av andra ordningens gitter (eller deras överbryggade T-ekvivalenter) genom att allokera en komplex konjugerad quad av poler och nollor till varje sektion av kaskaden (som beskrivs i Lattice-nätverk ) . Det aktuella exemplet har inte ett pol-noll-par placerat på den verkliga axeln, så ett första ordningens nätverk krävs inte.

Nätverk med en maximalt platt gruppfördröjningskaraktäristik

Det allmänna uttrycket för överföringsfunktionen hos ett lågpassfilternät ges av

$T(p)={\frac {1}{p ^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+\cdots }}$

Gruppfördröjningskarakteristiken för detta uttryck kan härledas som en effektserieexpansion i ω omkring nollfrekvens (dvs en MacLaurin-serie) . Detta beskrivs som en maximalt platt egenskap när så många som möjligt av koefficienterna för ω i potensserien är lika med noll, genom lämpligt val av värden för a , b , c , d , etc. När man härleder denna egenskap tar man inte mycket hänsyn till betalas till det resulterande amplitudsvaret hos lågpassfiltret. (I själva verket närmar det sig en Gaussisk form).

Tidsfördröjningen för ett lågpassnät, av storleksordningen n , med de erforderliga egenskaperna för att vara maximalt plana ges av

$t_{d}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}=t_{0}{\frac {b_{0}+b_ {1}\omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}}{b_{0}+b_{1}\ omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}+b_{n}\omega ^{2n}}}$

där de första (n-1) koefficienterna för nämnaren är lika med motsvarande koefficienter för täljaren. I det här fallet, när MacLaurin-serien för t _d härleds, genom att dividera nämnaren i täljaren, blir resultatet:

$t_{d}=t_{0}\left(1-{\frac {b_ {n}}{b_{0}}}\omega ^{2n}+{\frac {b_{1}b_{n}}{b_{0}^{2}}}\omega ^{2n+2} -\cdots \right)$

med de första ( n − 1) derivatorna av t _d (betraktade som en funktion av ω ² ) vid ω = 0 alla lika med noll. I detta specifika uttryck är det maximalt platta svaret av ordningen n .

Med den maximalt platta karakteristiken förblir fördröjningen konstant, lika med nollfrekvensvärdet, över ett begränsat frekvensområde, men utanför detta område minskar fördröjningen mjukt med ökande frekvens. Nätverk av högre ordning har en bredare bandbredd.

Allpassnät erhålls när nollor införs i den högra halvan av det komplexa frekvensplanet, på platser som är spegelbilderna av de vänstra polerna. En sådan procedur löser problemet med lågpassfiltrens dåliga passbandsvar, med den extra bonusen att de resulterande nätverken har egenskapen konstant motstånd. Det allmänna svaret för all-pass-kretsen med maximalt platt fördröjning ges av

$T(p)={\frac {p^{n}-ap^{n-1}+bp ^{n-2}-cp^{n-3}+dp^{n-4}-ep^{n-5}+\cdots }{p^{n}+ap^{n-1}+bp ^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+ep^{n-5}+\cdots }}$

Att introducera nollor på detta sätt ger dubbelt så lång fördröjning av ett allpoligt lågpassfilter, men faskarakteristiken behåller fortfarande den önskade maximalt plana egenskapen. Kretsen kan realiseras som ett enda gitternätverk, eller en kaskad av lågordningsnätverk, som visas senare i några exempel, som i gitternätverk .

Som ett exempel på hur en typisk härledning fortskrider, betrakta en 6:e ordningens lågpassfilterfunktion. Dess överföringsfunktion T ( p ) ges av

$T(p)={\frac {1}{p^{6}+ ap^{5}+bp^{4}+cp^{3}+dp^{2}+ep+f}}$

Syftet är att bestämma värden för a , b , c , d , e och f så att funktionens gruppfördröjning är maximalt platt.

${\text{Nu }}\quad T( j\omega )={\frac {1}{(fd\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6})+j\omega (ec\omega ^{2}+a \omega ^{4})}}$

Och fassvaret för funktionen är φ , där

$\phi =\arg(t)=\arctan \left[{\frac {\omega (ec\omega ^{2}+a\omega ^{4})}{fd\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6} }}\höger]$

var

$u=\omega (ec\omega ^{2}+a\omega ^ {4}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {du}{d\omega }}=e-3c\omega ^{2}+5a\omega ^{4}$

och

$v=fd\omega ^{2}+b\omega ^ {4}-\omega ^{6}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {dv}{d\omega }}=-2d\omega +4b\omega ^{3}-6\omega ^{6}$

Gruppförseningen är

${\text{GD}}=-{\frac {d\phi }{d\ omega }}={\frac {1}{u^{2}+v^{2}}}\left(v{\frac {du}{d\omega }}-u{\frac {dv}{d \omega }}\right)$

Att infoga uttrycken för u och v och omarrangera ger följande ekvation för gruppfördröjning. Observera att gruppfördröjningen fördubblas vid denna tidpunkt, så att resultaten kommer att gälla för ett sjätte ordningens allpassnätverk, snarare än för lågpassnätverket. Så har vi

$GD_{\text{all-pass}}={\frac { 2[ef+(de-3cf)\omega ^{2}+(cd+5af-3ad)\omega ^{4}+(5e+bc-3ad)\omega ^{6}+(ab-3c)\omega 8+a\omega ^{10}}{f^{2}+(e^{2}-2df)\omega ^{2}+(d^{2}+2bf-2Ce)\omega ^{4} +(c^{2}+2ae-2f-2bd)\omega ^{6}+(2d+b^{2}-2ac)\omega ^{8}+(a^{2}-2b)}}$

Genom att välja GD = 1 när ω = 0 och likställa koefficienter i täljaren och nämnaren, erhålls sex samband för de sex okända a , b , c , d , e och f , vilka är:

$2ef =f^{2}\qquad 2(de-3cf)=e^{2}-2df\qquad 2(cd+5af-3be)=d^{2}+2bf-2ce$

$2( 5e+bc-3ad)=c^{2}+2ae-2f-2bd\qquad 2(ab-3c)=2d+b^{2}-2ac\qquad 2a=a^{2}-2b$

Att lösa dessa sex ekvationer för de okända ger

$a=42;\quad b=840;\quad c=10080;\quad d=75600;\quad e=332640;\quad f=665280$

Alltså sjätte ordningens allpassfilter med maximalt platt fördröjning på 1 sek. är

$T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-33260p+665280}{p^ {6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+33260p+665280}}$

Detta uttryck för T ( p ) är identiskt med det som härleddes tidigare, för en sjätte ordningens fördröjning, genom den fortsatta fraktionsmetoden.

En liknande procedur kan användas för att bestämma överföringsfunktionerna för nätverk av alla order, som har en maximalt platt tidsfördröjning, även om proceduren blir tråkig för de högre orderna. Ett bekvämare sätt att härleda polynomens koefficienter är att notera att de är baserade på Bessel-polynom, och koefficienterna för allpassnätverk ges av

$a_{r}={\frac {(2N-r)!}{2^{Nr}r!(Nr)!}}$

Alternativt kan värdena erhållas genom granskning av publicerade tabeller. Observera dock att resultaten i de flesta av dessa tabeller är för normaliserade lågpassnätverk (allpoliga nätverk) med 1 sekunds fördröjning, så att använda de givna koefficientvärdena direkt i ett allpassuttryck kommer att resultera i en krets med en fördröjning på 2 sekunder.

Ett urval av resultat, för jämnordnade allpassnätverk med n = 2 till 12 ges nedan. För korthetens skull anges inte polynomen i sin helhet, bara koefficienterna listas.

För dessa resultat, anse att T ( p ) har formen $T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}.$

I nämnarpolynomet D ( p ) är alla koefficienter positiva, medan i täljarpolynomet N ( p ) tas de negativa värdena för koefficienterna, närhelst det indikeras.

n = 21; ±612n = 41; ±20; 180; ±840; 1680 n = 61; ±42; 840; ±10080; 75600; ±332640; 665280 n = 8 1; ±72; 2520; ±55440; 831600; ±8648640; 60540480; ±259459200; 518918400 n = 10 1; ±110; 5940; ±20592; 504504; ±90810720; 1210809600; ±11762150400; 79394515200 ±335221286400 670442572800 n = 12 1; ±156; 12012; ±600600; 21621600; ±588107520; 12350257920; ±2001132771840; 2514159648000 ±23465490048000; 154872234316800; ±647647525324800; 1295295050649600

Pol- och nolllägena i det komplexa frekvensplanet för dessa svar, erhållna genom faktorisering av polynomen, är som följer.

n = 2 ±3,0 ±j1,7321 n = 4 ±5,7924 ±j1,7345 ±4,2076 ±j5,2548 n = 6 ±8,4967 ±j1,7350 ±7,4714 ±j5,2525 ±j5,2525 =8 ±j 5,2525 1,1758 ±j1.7352 ±10.4097 ±j5.2324 ±8.7366 ±j8.8289 ±5.6780 ±j12.7078 n = 10 ±13.8441 ±j1.7353 ±13.2306 ±j 0.7±j 0.130 ±9,77244 ±j12,4500 ± 6.2178 ±j16.4654 n = 12 ±16.4864 ±j1.8777 ±16.0337 ±j5.1567 ±14.9063 ±j8.7335 ±13.2282 ±j12.10.................................................................-......- 9 ±j20.2489

Fasfelsdiagrammen (dvs. avvikelsen för fassvaret från linjärt) för nätverk med jämn ordning från n = 2 till 12 anges i den medföljande figuren.

Alla fördröjningsegenskaper kan realiseras som ett enda gitternätverk, eller som en kaskad av andra ordningens gitter genom att allokera en symmetrisk grupp (quad) av två poler och två nollor till varje andra ordningens gitter i nätverket, och använda relationer som ges i Lattice-nätverket . Se "Exempel på gitterkretsar" nedan för mer information om kretsförverkligande.

Fördröjningsnätverk med passbandsfasrippel

Den maximalt platta responsen är inte särskilt effektiv. Den har en utmärkt linjär faskarakteristik inom sitt driftpassband, men stora komplexa nätverk behövs för att få stora fördröjningar. Men genom att tillåta fassvaret att krusa inom passbandet, kan ett nätverk av en specifik ordning uppnå en bredare bandbredd (eller mer fördröjning för en given bandbredd).

Den tillåtna nivån av fördröjningsrippel (eller fasrippel) som introduceras av en krets är mycket beroende av applikationen där nätverket används. I situationer där vågform eller pulstrohet är viktigt, är den tillåtna rippeln endast liten. I fallet med analoga TV-vågformer, till exempel, har bildinnehållet också betydelse för de acceptabla nivåerna av systemdistorsion. (Med TV-bilder kommer fasrippel att ge effekter som liknar 'spökbilder' eller flervägsmottagning, där flera lågnivåbilder överlagras på huvudbilden. Också 'ringning' efter transienta kanter är ett annat resultat av icke-linjär fas. bildförsämringen beror ofta på scenen som visas). Wheeler, som använde metoden med "parade ekon", föreslog att en fasrippel på 0,1 rad, pp (eller 6 grader, pp) var tolerabel i TV-signaler. Andra skribenter menar att en gruppfördröjningseffekt på några procent är tillåten. När man gör en bedömning av tillåten distorsion kan gränser sättas för vågformsasymmetri, nivån av överskjutningar och förskott, och stigtidsförsämring och detta diskuteras i avsnittet om 'Transienttestning' senare.

Fördröjningsnätverk härledda med en Chebyshev-rippel

Detaljer om polpositioner för lågpassnätverk som har gruppfördröjning med en "Chebyshev-rippel"-karakteristik över passbandet, för olika sorters filter och olika nivåer av rippel har beräknats och publicerats av Ulbrich et al. och av MacNee. Tabellerna nedan, baserade på dessa data, är för all-pass-nätverk. Ett filter av given ordning kan uppnå mer fördröjning och/eller bandbredd om mer passbandsfasrippel tillåts.

Pol-noll-position för all-pass-nätverk med enhetsmedelvärdefördröjning och 1 % gruppfördröjningsrippel:

n = 2 ±2.759 ±j1.959 n = 4 ±3.902 ±j2.300 ±3.118 ±j6.698 n = 6 ±4.424 ±j2.539 ±4.176 ±j7.500 ±j 4.260 = ±j 4.260 ±j2.681 ±4.588 ±j7.985 ±4.285 ±j13.089 ±3.324 ±j17.772 n = 10 ±4.667 ±j2.693 ±4.618 ±j8.049 0±3.4.3 ±3.4.3 ±3.49 2 ± 3,245 ±j22,931

Pol-noll-position för all-pass-nätverk med enhetsmedelvärdefördröjning och 2 % gruppfördröjningsrippel:

n = 2 ±2.619 ±j1.958 n = 4 ±3.635 ±j2.380 ±2.958 ±j6.909 n = 6 ±3.965 ±j2.620 ±3.778 ±j7.741 ±j 4.029 = 6.129 ±j2.739 ±4.127 ±j8.164 ±3.895 ±j13.398 ±3.099 ±j18.189 n = 10 ±4.213 ±j2.829 ±4.178 ±j8.459 ±4.38.9 ±4.18.9 9 ± 3,078 ±j24,176

Pol-noll-position för all-pass-nätverk med enhetsmedelvärdefördröjning och 5 % gruppfördröjningsrippel:

n = 2 ±2,427 ±j2,087 n = 4 ±3,090 ±j2,525 ±2,615 ±j7,308 n = 6 ±3,248 ±j2,731 ±3,141 ±j8,095 4±j 2,640 = ±j 2,640 = 2,640 ±j2,681 ±4,588 ±j7,985 ±4,285 ±j13,089 ±3,324 ±j17,772

Pol-noll-position för all-pass-nätverk med enhetsmedelvärdefördröjning och 10 % gruppfördröjningsrippel:

n = 2 ±2,187 ±j2,222 n = 4 ±2,459 ±j2,739 ±2,195 ±j7,730

Ett fördröjningsnätverk kan bekvämt bestå av en kaskad av andra ordningens gitternätverk, som allokerar en quad av poler och nollor, från tabellerna ovan, till varje sektion. Ett exempel på ett fjärde ordningens nätverk med 10 % gruppfördröjningsrippel övervägs senare.

Fördröj rippel genom att använda oändliga produktuppskattningar

En alternativ form av gruppfördröjningsrippel, att föredra framför Chebyshev-rippel med lika amplitud, har låga amplitud-rippel vid låga frekvenser men rippel med ökande amplitud när frekvensen ökar. Denna egenskap är mer önskvärd än Chebyshev eftersom fasfelen är små vid låga frekvenser (där spektrumet för en typisk vågform har högt energiinnehåll) men kan vara högt vid högre frekvenser (där energiinnehållet i spektrumet är lägre) .

En lämplig rippelkaraktäristik erhålls genom att ta potensserieapproximationer av sinh(x) och cosh(x), snarare än att härleda den fortsatta fraktionsexpansionen av tanh(x), som gjordes tidigare. Typiskt, med denna procedur, avviker rippeln på faskarakteristiken med ±5 % från medelvärdet (linjärt).

Dessa resultat liknar de som erhålls med "Forced Ripple Method", där en teknik för kurvanpassning, vid ett ändligt antal frekvenser av fassvaret, används.

För normaliserade nätverk (Zo = 1) med tidsenhetsfördröjning kan ekvationerna för za och zb skrivas

$z_{a}=\tanh \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\sinh(p/2)}{cosh(p/2)} }\qquad {\text{and}}\qquad z_{b}=\coth \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\cosh(p/2)}{sinh (s/2)}}$

sinh( x ) och cosh( x ) kan representeras av oändliga produkter, och det är dessa

$\sinh(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2 }}}\right)\qquad {\text{and}}\qquad \cosh(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left[1+{\frac {4.x^{ 2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\höger]$

Så, för ett enhetsfördröjningsnätverk

$z_{a}={\frac {p}{2}}{\frac {\left(1+{\frac {p^{2}}{4 \pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{16.\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p ^{2}}{36\pi ^{2}}}\right)\cdots }{\left(1+{\frac {p^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\ vänster(1+{\frac {p^{2}}{9\pi ^{2}}}\höger)\left(1+{\frac {p^{2}}{25\pi ^{2} }}\right)\cdots }}$

Att avsluta serien efter ett ändligt antal termer ger en begränsad bandbreddsapproximation för 1 sek fördröjning. Så, till exempel, ett uttryck för att inkludera termer upp till p ⁴ kommer att ge ett fjärde ordningens fördröjningsnät. I det här fallet är z _a

$z_{a }=K_{4}{\frac {4\pi ^{2}p+p^{3}}{9\pi ^{4}+10.\pi ^{2}p^{2}+p^ {4}}}\qquad {\text{där}}\qquad K_{4}={\frac {1\times 9\times \pi ^{2}}{2\times 4}}={\frac { 9.\pi ^{2}}{8}}$

som kan realiseras som ett stegnätverk med Cauers procedur, för att ge kretsen nedan för z _a . Som tidigare erhålls det dubbla nätverket, zb, _{enkelt genom inspektion.}

Som redan nämnts ges överföringsfunktionen för ett normaliserat gitterallpassnät av

$T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}$

så för fjärde ordningens nätverk som innehåller impedansen za, härledd av effektserieexpansionerna, är

$T(p)={\frac {p^{4}-K_{4}p^{3}+80\pi ^{2}p ^{2}-K_{4}.4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}{p^{4}+K_{4}p^{3}+80.\pi ^{ 2}p^{2}+K_{4}\cdot 4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}}\qquad {\text{där}}\qquad K_{4}={\ frac {9\pi ^{2}}{8}}$

Denna har en genomgående magnitudkarakteristik, med fassvaret som visas i figuren nedan.

En samling resultat, för nätverk med jämna order med n = 2 till 10, ges nedan. (Som med tidigare givna resultat presenteras inte polynomen i sin helhet, bara koefficienterna listas).

I dessa resultat är $T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}$ där koefficienterna för täljaren och nämnaren polynom är listade. För nämnaren D(p) är alla koefficienter positiva, medan för täljaren N(p) tas de negativa värdena där de anges.

n = 21; ± _K2 ; π2 där K2 ₌ π2 ^/ 2n = 41 ^; ± _K4 ; 80π2 ; ^_ ± ^4π2.K4 ; _ _{_} 9π4 där K4 ₌ ^1x9π2 / 2x4 = 9π2 ^/ 8n = 61 ^; ± _K6 ; 35π2 ; ^_ ± ^20π2.K6 ; _ _{_} 259π4 ; ^_ ± ^64π2.K6 ; _ _{_} 225π6 där K6 ⁼ 1x9x25xπ2 /2x4x16 = 225π2 ^/ ₁₂₈ n ⁼ 81; ± _K8 ; 84π2 ; ^_ ± _56π2.K8 ; 1974π ⁴ ; ± ^784π4.K8 ; _ _{_} 12916π ⁶ ; ±2304π ⁶ .K ₈ ; 11025π ⁸ där K8 ₌ 1x9x25x49π2 /2x4x16x36 = 11025π2 ^/ 4608 ⁿ = 101; ±K ₁₀ ; 165π2 ; ^_ ± ^120π2.K10 ; _ _{_} 8778π ⁴ ; ±4368π ⁴ .K ₁₀ ; 172810π ⁶ ; ±52480π ⁶ .K ¹⁰ ; 1057221π ⁸ ; ±147456π ⁸ .K ₁₀ ; 893025π ¹⁰ där K ₁₀ = 1×9×25×49×81π ² /2×4×16×36×64 = 893025π ² /294912

Pol- och nolllägena i det komplexa frekvensplanet för dessa svar är som följer.

n = 2 ±2,4674 ±j1,9446 n = 4 ±2,08573 ±j6,999720 ±3,46592 ±j2,10266 n = 6 ±1,65372 ±j12,92985 1±4±107 1±4±172. j2,18380 n = 8 ±1,39164 ±j19.08424 ±2.39805 ±j13.00016 ±3.51463 ±j7.234452 ±4.50223 ±j2.23670 n = 10 ±1.22048 ±j25.3036 ±j25.3049 ±j25.3049 ±046 ±0.3049 . 18 ±j13,05263 ±3,93447 ±j7,30403 ± 4,84234 ±j2,27510

Fasfelssvaren för nätverken med jämn ordning från n = 2 till n = 10 har plottats i den bifogade figuren.

Om man jämför bandbredderna för nätverk med passbandsrippel med de med maximalt platt svar, uppnås en ökning med cirka 50 %.

Jämför tre nätverk

Som ett exempel, betrakta prestandan för ett sjätte ordningens maximalt platt fördröjningsnätverk med två fjärde ordningens nätverk, ett med Chebyshev rippel och ett som använder effektseriens approximation. Figuren nedan jämför fasfelsdiagrammen för dessa tre nätverk (hela linjen är för det maximalt plana svaret, den streckade linjen för Chebyshev-svaret och den streckade linjen för approximationen av effektserien).

Som kan ses har alla tre normaliserade fördröjningsnätverk en nominell linjär fasbandbredd på 1,6 Hz (10 rads/s).

För att jämföra prestandan hos 4:e ordningens nätverk med den maximalt platta kretsen är det nödvändigt att använda lämpliga testvågformer. Till exempel, i fallet med televisionssignaler, sinuskvadratpulser användas för ändamålet

Några exempel på gitterfördröjningskretsar

Alla nätverk som anges nedan är normaliserade för enhetsfördröjning och en ohm avslutningar. För att skala för en fördröjning på τ sekunder, multiplicera alla C- och L-värden med τ. För att skala för en annan impedansnivå Ro, multiplicera alla L-värden med Ro och dividera alla C-värden med Ro.

Kretsar för en sjätte ordningens maximalt platt svar

Kretsar som har ett enda gitter

Det första exemplet ger kretsen för en 6:e ordningens maximalt platt fördröjning. Kretsvärden för z _a och z _b för ett normaliserat gitter (med z _b dualen av z _a ) gavs tidigare. I detta exempel används dock den alternativa versionen av z _{b , så att ett obalanserat alternativ lätt kan produceras.} Kretsen är

där komponentvärden för ett normaliserat 1 ohm-nätverk, med 1 sekunds fördröjning vid låga frekvenser, är:

L1 = ½ = 0,5 C1 = 1/6 = 0,16667 L2 = 1/10 = 0,1 C2 = 1/14 = 0,07143 L3 = 1/19 = 0,05556 C3 = 1/22 = 0,04545 och L04'3 =01 C. ' = 0,11231 C5' = 0,15027 L6' = 0,19104 C6' = 0,2797

Med hjälp av procedurerna för Lattice-nätverk kan detta konverteras till en obalanserad form, för att ge

Kretsar med en kaskad av lågordnade galler

Det är ofta önskvärt att sönderdela ett gitter i en kaskad av lägre ordningens nätverk, eftersom komponenttoleranser kan minskas.

För att utföra proceduren, ta de tre uppsättningarna pol-noll-data från tabellen för maximalt platta funktioner, för n = 6, och använd metoderna i Lattice-nätverk

xA = 8,4967 yA = 1,7350 xB = 7,4714 yB = 5,2525 xC = 5,0319 yC = 8,9854

Så för gitter A C1A = 1/2,xA = 0,05885 = L2A och L1A = 2,xA/(xA2 ⁺ yA2 ⁾ = 0,2260 = C2A För gitter B C1B = 1/2,xB = 0,06692 L1 = B = L2B och 2,xB/(xB2 ⁺ yB2 ⁾ = 0,1791 = C2B För gitter C C1C = 1/2,xC = 0,09937 = L2C och L1C = 2,xC/(xC2 ⁺ yC2 ⁾ = 0,09489 = C2C

Dessa komponentvärden används i kretsen som visas nedan.

Faskarakteristiken för denna kaskad med tre sektioner är naturligtvis identisk med den för det enda komplexa gittret, som angivits tidigare.

Denna kaskad av andra ordningens gitter kan omvandlas till en obalanserad konfiguration med metoderna i Lattice-nätverk , och den resulterande kretsen visas.

Kretsar med fasrippel

Chebyshev, 4:e ordningen med 10 % GD-rippel

Från tabellerna med Chebyshev-data, som ges ovan, hitta pol-nollpositionerna:

xA = 2,459 yA = 2,739 xB = 2,195 yB = 7,730

Så för gitter A C1A = 1/2,xA = 0,2033 = L2A och L1A = 2,xA/(xA2 ⁺ yA2 ⁾ = 0,3630 = C2A För gitter B C1B = 1/2,xB = 0,2280 = = L2B och L1B 2,xB/(xB2 ⁺ yB2 ⁾ = 0,06799 = C2

Så använd dessa värden i kretsen nedan.

Krets för 4:e ordningens forcerade rippelapproximation

Från tabellerna för effektproduktapproximation, som ges ovan, hitta pol-nollpositionerna:

xA = 3,4659 yA = 2,1027 xB = 2,0857 yB = 6,9997

Så för gitter A C1A = 1/2,xA = 0,1443 = L2A och L1A = 2,xA/(xA2 ⁺ yA2 ⁾ = 0,4218 = C2A För gitter B C1B = 1/2,xB = 0,2397 = = L2B och L1B 2,xB/(xB2 ⁺ yB2 ⁾ = 0,07820 = C2B

Använd dessa värden i kretsen som visas ovan.

Båda 4:e ordningens nätverk kan konverteras till obalanserad form med hjälp av procedurerna för Lattice-nätverk

Se även

• Överbryggad T-fördröjningsutjämnare
• Gitterfasutjämnare