Gipps modell

Gipps modell är en matematisk modell för att beskriva bilföljande beteende hos bilister i Storbritannien.

Modellen är uppkallad efter Peter G. Gipps som utvecklade den i slutet av 1970-talet under SRC-anslag vid Transport Operations Research Group vid University of Newcastle-Upon-Tyne och Transport Studies Group vid University College London .

Gipps modell är baserad direkt på förarbeteende och förväntan för fordon i en ström av trafik. Begränsningar på förar- och fordonsparametrar av säkerhetsskäl efterliknar egenskaperna hos fordon som följer efter fordon framför trafikströmmen . Gipps modell särskiljs av andra modeller genom att Gipps använder ett tidssteg inom funktionen lika med $\tau$ för att minska beräkningen som krävs för numerisk analys .

Introduktion

Metoden att modellera enskilda bilar längs ett kontinuerligt utrymme har sitt ursprung i Chandler et al. (1958), Gazis et al. (1961), Lee (1966) och Bender och Fenton (1972), även om många andra artiklar fortsatte och har sedan följt. Dessa tidningar har i sin tur baser i flera verk från mitten av 1950-talet. Av särskild betydelse är några som har analogier till vätskedynamik och gasrörelser (Lighthill och Whitman (1955) och Richards (1956) postulerade att trafiktätheten var en funktion av position; Newell (1955) gör en analogi mellan fordonsrörelser. längs en glest befolkad väg och gasernas rörelse). Första omnämnandet av simulering av trafik med "höghastighetsdatorer" ges av Gerlough och Mathewson (1956) och Goode (1956).

Definition

Drivkraften för att modellera fordon i en ström av trafik och deras efterföljande handlingar och reaktioner kommer från behovet av att analysera förändringar av vägparametrar. Faktum är att många faktorer (till exempel förare, trafikflöde och vägförhållanden, för att nämna några) påverkar hur trafiken beter sig. Gipps (1981) beskriver modeller som var aktuella för den tiden att vara i den allmänna formen av:

a_{n}( t+\tau )=l_{n}{\frac {\left[v_{n-1}(t)-v_{n}(t)\right]^{k}}{\left[x_{n-1 }(t)-x_{n}(t)\höger]^{m}}}

som definieras primärt av ett fordon (noterat av nedsänkt n) efter ett annat (noterat av underskrift n-1); reaktionstid för följande fordon $\tau$ ; platserna $x_{n}(t)$ , $x_{n-1}(t)$ och hastigheterna $v_ {n}(t)$ , $v_{n-1}(t)$ av följande och föregående fordon; acceleration $a_{n}(t+\tau )$ för följande fordon vid tidpunkten ( $\displaystyle (t+\tau )}$ ; och slutligen, modellkonstanter $l_{n}$ , $k$ , $m$ för att anpassa modellen till verkliga förhållanden. Gipps menar att det är önskvärt att intervallet mellan successiva omräkningar av acceleration, hastighet och läge är en bråkdel av reaktionstiden som kräver lagring av en betydande mängd historisk data om modellen ska användas i ett simuleringsprogram . Han påpekar också att parametrarna ${\displaystyle l_{n}} ,$ k $\displaystyle k}$ och $m$ inte har något uppenbart samband med identifierbara egenskaper hos föraren eller fordonet. Så han introducerar en ny och förbättrad modell.

Gipps modell bör återspegla följande egenskaper:

Modellen ska återspegla verkliga förhållanden,
Modellparametrar bör motsvara observerbara föraregenskaper utan onödiga beräkningar, och,
Modellen ska bete sig som förväntat när intervallet mellan successiva omräkningar av hastighet och position är detsamma som förarens reaktionstid.

Gipps sätter begränsningar för modellen genom säkerhetsöverväganden och antar att en förare skulle uppskatta sin hastighet baserat på fordonet framför för att kunna stanna helt och säkert om det skulle behövas (1981). Pipes (1953) och många andra har definierat följande egenskaper placerade i modeller baserade på olika föraravdelningskoder som definierar säkra efterhastigheter, informellt känd som en "2 sekunders regel", men är formellt definierad genom kod.

Modellnotation

$a_{n}$ är den maximala acceleration som föraren av fordonet $n$ vill utföra,
$b_{n}$ är den strängaste inbromsningen som föraren av fordonet $n$ vill utföra $(b_{n}<0)$ ,
$s_{n}$ är den effektiva storleken på fordonet $n$ , det vill säga den fysiska längden plus en marginal som följande fordon inte är villig att inkräkta på, även i vila,
$V_{n}$ är den hastighet med vilken föraren av fordonet $n$ vill färdas,
$x_{n}(t)$ är platsen för fordonets front $n$ vid tidpunkten * $t$ ,
$v_{n}(t)$ är hastigheten för fordonet $n$ vid tidpunkten $t$ , och
$\tau$ är den skenbara reaktionstiden, en konstant för alla fordon.

Restriktioner som leder till utveckling

Gipps definierar modellen med en uppsättning begränsningar. Följande fordon begränsas av två begränsningar: att det inte kommer att överskrida förarens önskade hastighet och dess fria acceleration bör först öka med hastigheten när motorns vridmoment ökar och sedan minska till noll när den önskade hastigheten uppnås.

v_{n}( t+\tau )\leq v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}/V_{n})(0.025+v_{n}(t)/V_{n}) ^{1/2}

Den tredje begränsningen, bromsning, ges av

x_{n-1}^{\ast }=x_{n-1}( t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}

för fordon $n-1$ vid punkten $x_{n-1}^{\ast }$ , där $x_{n}^{\ast }$ (för fordon ges n av

x_{n}^{ \ast }=x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2-v_{n}(t+\tau )^ {2}/2b_{n}

vid tidpunkten

t+\tau

För säkerhets skull måste föraren av fordon n (följande fordon) se till att skillnaden mellan punkt där fordon n-1 stannar ( ${\displaystyle x_{n-1}^{\ast }} )$ och effektiv storlek på fordon n-1 ( $s_{n-1}$ ) är större än punkten där fordon n stannar ( $x_{n}^{\ast }$ ) . Gipps finner dock att föraren av fordon n tillåter en extra buffert och introducerar en säkerhetsmarginal, fördröjning $\theta$ när föraren n färdas med hastighet $v_{n} (t+\tau )$ . Således är bromsbegränsningen given av

x_{n-1}(t)-v_{n-1}(t)^{2} /2b_{n-1}-s_{n-1}\geq x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau / 2+v_{n}(t+\tau )\theta -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}

Eftersom en förare i trafiken inte kan uppskatta $b_{n-1}$ , ersätts det av ett uppskattat värde ${\hat {b}}$ . Därför ger ovanstående efter utbyte,

-v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}+v_{n}( t+\tau )(\tau /2+\theta )-\vänster[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\höger]+v_{n}( t)\tau /2+v_{n-1}(t)^{2}/2{\hat {b}}\leq 0

Om den införda fördröjningen, $\theta$ , är lika med hälften av reaktionstiden, $\tau /2$ , och föraren är villig att bromsa hårt, kan ett modellsystem fortsätta utan avbrott att flöda. Den föregående ekvationen kan alltså skrivas om med detta i åtanke för att ge efter

v_{n}(t+\tau )\leq b_{n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2 }-b_{n}\left(2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\right)}}

Om det slutliga antagandet är sant, det vill säga föraren färdas så snabbt och säkert som möjligt, ges den nya hastigheten för förarens fordon av den slutliga ekvationen som är Gipps modell:

{\ displaystyle v_{n}(t+\tau )={\mbox{min}}\left\{v_{n}(t)+2.5a_{n}\tau (1-v_{n}(t)/V_{ n})\left(0,025+v_{n}\left(t\right)/V_{n}\right)^{1/2}\right.,}

\left.b_ {n}\tau +{\sqrt {b_{n}^{2}\tau ^{2}-b_{n}\left[2\left[x_{n-1}(t)-s_{n- 1}-x_{n}(t)\höger]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1}(t)^{2}/{\hat {b}}\höger]}} \höger\}

där det första argumentet i minimeringsregimerna beskriver en vägbana som inte är överbelastad och körvägarna är stora, och det andra argumentet beskriver överbelastade förhållanden där vägarna är små och hastigheterna begränsas av efterföljande fordon.

Dessa två ekvationer som används för att bestämma ett fordons hastighet i nästa tidssteg representerar fritt flöde respektive överbelastade förhållanden. Om fordonet är i fritt flöde indikerar ekvationens fria flödesgren att fordonets hastighet kommer att öka som en funktion av dess aktuella hastighet, hastigheten med vilken föraren avser att färdas och fordonets acceleration . Genom att analysera variablerna i dessa två ekvationer blir det uppenbart att när gapet mellan två fordon minskar (dvs ett efterföljande fordon närmar sig ett ledande fordon) kommer hastigheten som ges av den överbelastade grenen av ekvationen att minska och är mer sannolikt att råda.

Använda numeriska metoder för att generera tid-rum-diagram

Efter att ha bestämt fordonets hastighet vid nästa tidssteg, bör dess position vid nästa tidssteg beräknas. Det finns flera numeriska ( Runge–Kutta ) metoder som kan användas för att göra detta, beroende på vilken noggrannhet användaren skulle föredra. Att använda högre ordningsmetoder för att beräkna ett fordons position i nästa tidssteg kommer att ge ett resultat med högre noggrannhet (om varje metod använder samma tidssteg). Numeriska metoder kan också användas för att hitta positioner för fordon i andra bilföljande modeller, till exempel den intelligenta förarmodellen .

Eulers metod (första ordningens, och kanske den enklaste av de numeriska metoderna) kan användas för att få korrekta resultat, men tidssteget måste vara mycket litet, vilket resulterar i en större mängd beräkningar. Dessutom, när ett fordon stannar och följande fordon närmar sig det, kan termen under kvadratroten i den överbelastade delen av hastighetsekvationen potentiellt falla under noll om Eulers metod används och tidssteget är för stort. Fordonets position i nästa tidssteg ges av ekvationen:

x(t+τ)= x(t) +v(t)τ

Metoder av högre ordning använder inte bara hastigheten i det aktuella tidssteget, utan hastigheter från föregående tidssteg för att generera ett mer exakt resultat. Till exempel, Heuns metod (andra ordningen) gör ett medelvärde av hastigheten från nuvarande och föregående tidssteg för att bestämma nästa position för ett fordon:

Butchers Method (femte ordningen) använder en ännu mer elegant lösning för att lösa samma problem:

x(t+τ) = x(t) + (1/90)(7k ₁ + 32k ₃ + 12k ₄ + 32k ₅ + 7k ₆ )τ

k ₁ = v(t-τ)

k3 = v(t-τ) + (1/4)(v(t) - v(t-τ) ₎

k ₄ = v(t-τ) + (1/2)(v(t) - v(t-τ))

k ₅ = v(t-τ) + (3/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₆ = v(t)

Att använda metoder av högre ordning minskar sannolikheten för att termen under kvadratroten i den överbelastade grenen av hastighetsekvationen kommer att falla under noll.

För simuleringsändamål är det viktigt att se till att hastigheten och positionen för varje fordon har beräknats för ett tidssteg innan man bestämmer förflyttningen till nästa tidssteg.

År 2000 använde Wilson Gipps modell för att simulera förarens beteende på en ringväg. I det här fallet följer varje fordon i systemet ett annat fordon – ledaren följer det sista fordonet. Resultaten av experimentet visade att bilarna följde ett fritt flöde av tid och rum när tätheten på ringvägen var låg. Men när antalet fordon på vägen ökar (densiteten ökar), kinematiska vågor bildas när den överbelastade delen av Gipps modellhastighetsekvation råder.

Se även

Vidare läsning

Bender, JC och Fendon RE (1972) Om fordons longitudinella dynamik. In Traffic Flow and Transportation , 19–32. Elsevier, New York.
Gazis, DC, Herman R. och Rothery RW (1961) Icke-linjär följer de ledande modellerna för trafikflöde. Ops. Res. Vol. 9, 545-567.
Gipps, PG (1976) Datorprogram MULTSIM för simulering av utdata från fordonsdetektorer på en flerfilig signalkontrollerad väg . Transport Operations Research Group Working Paper nr 20, University of Newcastle-Upon-Tyne.
Lee, G. (1966) A generalization of linear car-following theory. Ops. Res. Vol. 9, 209-229.
Seddon, PA (1972) Program för att simulera spridningen av plutoner i vägtrafik. Simulering Vol. 18, 81–90.