Tidvattenstensor

I Newtons gravitationsteori och i olika relativistiska klassiska gravitationsteorier , såsom allmän relativitet , representerar tidvattenstensorn

tidvattenaccelerationer av ett moln av (elektriskt neutrala, icke-snurrande) testpartiklar ,
tidvattenspänningar i ett litet föremål nedsänkt i ett omgivande gravitationsfält.

Tidvattenstensorn representerar den relativa accelerationen på grund av gravitationen för två testmassor åtskilda av ett oändligt litet avstånd. Komponenten $\Phi _{{a}{b}}$ representerar den relativa accelerationen i riktningen ${\hat {a}}$ ger en förskjutning i ${\hat {b}}$ riktning.

Tidvattenstensor för en sfärisk kropp

Det vanligaste exemplet på tidvatten är tidvattenkraften runt en sfärisk kropp ( t.ex. en planet eller en måne). Här beräknar vi tidvattenstensorn för gravitationsfältet utanför ett isolerat sfäriskt symmetriskt massivt föremål. Enligt Newtons gravitationslag är accelerationen a på ett avstånd r från en central massa m

a=-Gm/r^{2}

(för att förenkla matematiken använder vi i följande härledningar konventionen att sätta gravitationskonstanten G till ett. För att beräkna differentialaccelerationerna ska resultaten multipliceras med G.)

Låt oss anta ramen i polära koordinater för vårt tredimensionella euklidiska rum och betrakta oändliga förskjutningar i radiella och azimutala riktningar, $\partial _{r},\partial _{\theta } ,$ och $\partial _{\phi }$ , som ges sänkningarna 1, 2 respektive 3.

{\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r}, \;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon}}_{3}= {\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }

Vi kommer direkt att beräkna varje komponent i tidvattentensorn, uttryckt i denna ram. Jämför först gravitationskrafterna på två närliggande föremål som ligger på samma radiella linje på avstånd från den centrala kroppen som skiljer sig med ett avstånd h :

m/(r+h)^{2}- m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})

Eftersom när vi diskuterar tensorer vi har att göra med multilinjär algebra , behåller vi endast första ordningens termer, så $\Phi _{11}=-2m/r^{3}$ . Eftersom det inte finns någon acceleration i riktningen $\theta$ eller $\phi$ på grund av en förskjutning i radiell riktning, är de andra radiella termerna noll: $\Phi _{12}=\Phi _{13}=0$ .

På liknande sätt kan vi jämföra gravitationskraften på två närliggande observatörer som ligger med samma radie $r=r_{0}$ men förskjutna med ett (oändligt litet) avstånd h i $\theta$ eller $\phi$ riktning. Med hjälp av lite elementär trigonometri och approximationen av liten vinkel finner vi att kraftvektorerna skiljer sig åt med en vektor som tangerar sfären som har magnitud

{\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx { \frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\ ,h

Genom att använda den lilla vinkelapproximationen har vi ignorerat alla ordningstermer $O(h^{2})$ , så de tangentiella komponenterna är $\Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}$ . Återigen, eftersom det inte finns någon acceleration i radiell riktning på grund av förskjutningar i någon av de azimutala riktningarna, är de andra azimuttermerna noll: $\Phi _{21}=\Phi _{31} =0$ .

Genom att kombinera denna information finner vi att tidvattenstensorn är diagonal med ramkomponenter $\Phi _{{\hat {a}}{\ hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatörsnamn {diag} (-2,1,1)$ Detta är Coulomb-formen som är karakteristisk för sfäriskt symmetriska centrala kraftfält i newtonsk fysik .

Hessisk formulering

I det mer allmänna fallet där massan inte är ett enda sfäriskt symmetriskt centralt objekt, kan tidvattenstensorn härledas från gravitationspotentialen U { $displaystyle U}$ , som följer Poissons ekvation :

\Delta U=4\pi \,\mu

där $\mu$ är masstätheten för all närvarande materia, och där $\Delta$ är Laplace-operatorn . Observera att denna ekvation antyder att i en vakuumlösning är potentialen helt enkelt en harmonisk funktion .

Tidvattenstensorn ges av den spårlösa delen

\Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}} _{m}\,\eta _{ab}

av hessian

J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b} }}

där vi använder det kartesiska standarddiagrammet för E ³ , med den euklidiska metriska tensorn

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{ 2},\;-\infty <x,y,z<\infty

Med hjälp av standardresultat i vektorkalkyl konverteras detta lätt till uttryck som är giltiga i andra koordinatdiagram, såsom det polära sfäriska diagrammet

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\, \left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)

0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi

Sfäriskt symmetriskt fält

Som ett exempel kan vi beräkna tidvattentensorn för en sfärisk kropp med hjälp av hessian. Låt oss sedan plugga in gravitationspotentialen $U=-m/\rho$ i hessian. Vi kan konvertera uttrycket ovan till ett som är giltigt i polära sfäriska koordinater, eller så kan vi konvertera potentialen till kartesiska koordinater innan vi pluggar in. Om vi använder den andra kursen har vi ${\displaystyle U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} ,$ vilket ger

\Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2} +z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\ -3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matris}}\ höger]

Efter en rotation av vår ram, som är anpassad till de polära sfäriska koordinaterna, överensstämmer detta uttryck med vårt tidigare resultat. Det enklaste sättet att se detta är att sätta $y,z$ till noll så att de off-diagonala termerna försvinner och $\rho =x$ , och sedan anropa den sfäriska symmetrin.

I allmän relativitet

I den allmänna relativitetsteorien generaliseras tidvattenstensorn av Riemann-kurvaturtensorn . I den svaga fältgränsen ges tidvattentensorn av komponenterna $\Phi _{ij}={R}_{i0j0}$ av krökningstensorn.

Se även

Tidvattenkraft

externa länkar

Sperhake, Ulrich. "Del II General Relativity Lecture Notes" (PDF) : 19 . Hämtad 13 januari 2018 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
Renaud, F.; Boily, CM; Naab, T.; Theis, Ch. (20 november 2009). "Fullständigt komprimerande tidvatten i Galaxy Mergers". The Astrophysical Journal . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Bibcode : 2009ApJ...706...67R . doi : 10.1088/0004-637X/706/1/67 . S2CID 15831572 .
Duc, Pierre-Alain; Renaud, Florent. "Gravitationspotential och tidvattentensor" . ned.ipac.caltech.edu . Caltech . Hämtad 13 januari 2018 .