Generaliserad konisk

Inom matematiken är en generaliserad konisk ett geometriskt objekt som definieras av en egenskap som är en generalisering av summor som definierar egenskapen hos den klassiska koniska . Till exempel, i elementär geometri , kan en ellips definieras som platsen för en punkt som rör sig i ett plan så att summan av dess avstånd från två fasta punkter – brännpunkterna – i planet är en konstant. Kurvan som erhålls när mängden av två fasta punkter ersätts av en godtycklig, men fixerad, ändlig uppsättning punkter i planet kallas en n –ellips och kan ses som en generaliserad ellips. Eftersom en ellips är den ekvidistanta uppsättningen av två cirklar, kan den ekvidistanta uppsättningen av två godtyckliga uppsättningar punkter i ett plan ses som en generaliserad konisk. I rektangulära kartesiska koordinater representerar ekvationen y = x ^{2 en} parabel . Den generaliserade ekvationen y = x ^r , för r ≠ 0 och r ≠ 1, kan behandlas som en definition av en generaliserad parabel. Idén med generaliserad koniska har funnit tillämpningar inom approximationsteori och optimeringsteori .

Bland de många möjliga sätten på vilka begreppet en konisk kan generaliseras, är det mest använda tillvägagångssättet att definiera det som en generalisering av ellipsen . Utgångspunkten för detta tillvägagångssätt är att se en ellips som en kurva som uppfyller "tvåfokusegenskapen": en ellips är en kurva som är platsen för punkter vars summa av avstånden från två givna punkter är konstant. De två punkterna är ellipsens brännpunkter. Kurvan som erhålls genom att ersätta mängden av två fasta punkter med en godtycklig, men fixerad, ändlig uppsättning punkter i planet kan ses som en generaliserad ellips. Generaliserade koner med tre brännpunkter kallas trifokala ellipser. Detta kan ytterligare generaliseras till kurvor som erhålls som lokus för punkter så att någon viktad summa av avstånden från en ändlig uppsättning punkter är en konstant. En ytterligare generalisering är möjlig genom att anta att vikterna som är fästa vid avstånden kan ha godtyckliga tecken, nämligen plus eller minus. Slutligen kan begränsningen att uppsättningen av fasta punkter, kallad uppsättningen av foci för den generaliserade koniska, vara ändlig, också tas bort. Mängden kan antas vara ändlig eller oändlig. I det oändliga fallet måste det vägda aritmetiska medelvärdet ersättas med en lämplig integral. Generaliserade koner i denna mening kallas också polyellipser , ägglipser eller generaliserade ellipser . Eftersom sådana kurvor övervägdes av den tyske matematikern Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651 – 1708) är de också kända som Tschirnhaus'sche Eikurve . Sådana generaliseringar har också diskuterats av Rene Descartes och av James Clerk Maxwell.

Multifokala ovala kurvor

Konstruktion av ovalen definierad av AP + 2 BP = c med stift, penna och snöre enligt beskrivning av James Clerk Maxwell.

Konstruktion av ovalen definierad av AP + BP + CP = c med stift, penna och snöre enligt beskrivningen av James Clerk Maxwell.

Rene Descartes (1596–1650), den analytiska geometrins fader, satte i sin La Geometrie publicerad 1637 en sektion på cirka 15 sidor för att diskutera vad han hade kallat bifokala ellipser. En bifokal oval definierades där som platsen för en punkt P som rör sig i ett plan så att $AP+\lambda BP=c$ där A och B är fixpunkter i planet och λ och c är konstanter som kan vara positiva eller negativa. Descartes hade introducerat dessa ovaler, som nu är kända som kartesiska ovaler , för att bestämma ytorna på glas så att efter brytning möts strålarna vid samma punkt. Descartes hade också erkänt dessa ovaler som generaliseringar av centrala koner, eftersom dessa ovaler för vissa värden på λ reduceras till de välbekanta centrala konerna, nämligen cirkeln, ellipsen eller hyperbeln.

Multifokala ovaler återupptäcktes av James Clerk Maxwell (1831–1879) medan han fortfarande var skolelev. Vid 15 års ålder skrev Maxwell en vetenskaplig artikel om dessa ovaler med titeln "Observations on circumscribed figures having a plural of foci, and radii of different proportions" och fick den presenterad av professor JD Forbes vid ett möte i Royal Society i Edinburgh 1846. Professor JD Forbes publicerade också en redogörelse för uppsatsen i Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. I sitt papper, även om Maxwell inte använde termen "generaliserad konisk", övervägde han kurvor definierade av villkor som var generaliseringar av det definierande tillståndet för en ellips.

Definition

En multifokal oval är en kurva som definieras som platsen för en punkt som rör sig så att

$\lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\ lambda _{n}A_{n}P=c$

där A ₁ , A ₂ , . . . , A _n är fixpunkter i ett plan och λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _n är fasta rationella tal och c är en konstant. Han gav enkla stift-sträng-penna metoder för att rita sådana ovaler.

Metoden för att rita ovalen som definieras av ekvationen $AP+2BP=c$ illustrerar det allmänna tillvägagångssättet som antagits av Maxwell för att rita sådana kurvor. Fäst två stift vid fokus A och B . Ta ett snöre vars längd är c ​​+ AB och knyt ena änden av snöret till stiftet vid A . En penna fästs i den andra änden av snöret och snöret dras runt stiftet vid fokus B . Pennan flyttas sedan styrd av strängens vik. Kurvan som spåras av pennan är platsen för P . Hans uppfinningsrikedom är mer synlig i hans beskrivning av metoden för att rita en trifokal oval definierad av en ekvation av formen $AP+BP+CP=c$ . Låt tre stift fästa vid de tre brännpunkterna A , B , C. Låt ena änden av snöret fästas vid stiftet vid C och låt snöret föras runt de andra stiften. Låt pennan fästas i den andra änden av snöret. Låt pennan fånga en bukt i snöret mellan A och C och sträck sedan till P . Pennan flyttas så att snöret är spänt. Den resulterande figuren skulle vara en del av en trifokal ellips. Strängens positioner kan behöva justeras för att få hela ovalen.

Under de två åren efter att hans papper presenterades för Royal Society of Edinburgh, utvecklade Maxwell systematiskt de geometriska och optiska egenskaperna hos dessa ovaler.

Specialisering och generalisering av Maxwells tillvägagångssätt

Som ett specialfall av Maxwells tillvägagångssätt, betrakta n-ellipsen – platsen för en punkt som rör sig så att följande villkor är uppfyllt:

$A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P=c.\,$

Genom att dividera med n och ersätta c / n med c , kan detta definierande villkor anges som

${\frac {1}{n}}(A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n }P)=c$

den generaliserade koniken är en kurva så att medelavståndet för varje punkt P på kurvan från mängden { A _{1 ,} A ₂ , . . . , A _n } har samma konstanta värde. Denna formulering av begreppet en generaliserad konisk har ytterligare generaliserats på flera olika sätt.

• Ändra definitionen av genomsnittet . I formuleringen tolkades medelvärdet som det aritmetiska medelvärdet. Detta kan ersättas av andra begrepp om medelvärden som geometriska medelvärden för avstånden. Om det geometriska medelvärdet används för att specificera medelvärdet, visar sig de resulterande kurvorna vara lemniskater . "Lemniscates är mängder vars alla punkter har samma geometriska medelvärde av avstånden (dvs deras produkt är konstant). Lemniscates spelar en central roll i teorin om approximation. Polynomapproximationen av en holomorf funktion kan tolkas som approximationen av nivåkurvor med lemniscates. Produkten av avstånd motsvarar det absoluta värdet av rotnedbrytningen av polynom i det komplexa planet."
• Ändra fokaluppsättningens kardinalitet . Ändra definitionen så att definitionen kan tillämpas även i det fall där fokaluppsättningen är oändlig. Denna möjlighet infördes först av C. Gross och T.-K. Strempel [2] och de ställde problemet om vilka resultat (av det klassiska fallet) kan utvidgas till fallet med oändligt många brännpunkter eller till en kontinuerlig uppsättning av foci.
• Ändra dimensionen på det underliggande utrymmet . Punkterna kan antas ligga i något d -dimensionellt utrymme.
• Ändra definitionen av avståndet . Traditionellt används euklidiska definitioner. i dess ställe kan andra begrepp om avstånd som taxiavstånd användas. Generaliserade koner med denna uppfattning om avstånd har funnit tillämpningar inom geometrisk tomografi .

Formuleringen av definitionen av den generaliserade koniska i det mest allmänna fallet när fokaluppsättningens kardinalitet är oändlig involverar begreppen mätbara uppsättningar och Lebesgue-integration. Alla dessa har använts av olika författare och de resulterande kurvorna har studerats med särskild tonvikt på tillämpningar.

Definition

Låt $d:R^{n}\rightarrow R$ vara ett mått och $\mu$ ett mått på en kompakt mängd $K\subset R^ {n}$ med $\mu (K)>0$ . Den oviktade generaliserade koniska funktionen $f_{K}$ associerad med $K$ är

$f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x, y)\,d_{\mu }y$

där $g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R$ är en kärnfunktion associerad med $f_{K}$ . $K$ är uppsättningen av foci. Nivåmängderna $\{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}$ kallas generaliserade koner.

Generaliserade koner via polära ekvationer

Figur visar utgångsläget för den högra cirkulära konen, tillsammans med en plan sektion, innan den lindas upp på ett plan.

Figur visar ett godtyckligt läge en rät cirkulär kon, tillsammans med en plan sektion, medan könen lindas upp på ett plan. Figuren visar också den generaliserade koniska (prickade kurvan i planet) till vilken den koniska sektionen på konen är upplindad i planet.

Givet en konisk, genom att välja fokus för koniken som pol och linjen genom polen dragen parallellt med konikens riktning som polaxeln, kan den polära ekvationen för koniken skrivas i följande form:

$r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }}$

Här är e excentriciteten för käglan och d är avståndet för riktningen från polen. Tom M. Apostol och Mamikon A. Mnatsakanian introducerade i sin studie av kurvor ritade på ytorna av räta cirkulära koner en ny klass av kurvor som de kallade generaliserade koner. Dessa är kurvor vars polära ekvationer liknar polära ekvationer för vanliga käglor och de vanliga käglarna framstår som specialfall av dessa generaliserade käglor.

Definition

₀ För konstanter r ≥ 0, λ ≥ 0 och reell k , en plankurva som beskrivs av den polära ekvationen

$r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}$

kallas en generaliserad konisk . Könen kallas en generaliserad ellips, parabel eller hyperbel enligt λ < 1, λ = 1 eller λ > 1.

Speciella fall

• I det speciella fallet när k = 1 reduceras den generaliserade koniken till en vanlig konisk.
• I det speciella fallet när k > 1 finns det en enkel geometrisk metod för generering av motsvarande generaliserade koniska.

Låt α vara en vinkel så att sin α = 1/ k . Betrakta en rät cirkulär kon med halvvertikal vinkel lika med α . Betrakta skärningen av denna kon med ett plan så att skärningen är en konisk med excentricitet λ . Packa upp konen till ett plan. Då är kurvan i planet till vilket den koniska sektionen av excentricitet λ är upplindad en generaliserad konisk med polär ekvation enligt definitionen.

• I det speciella fallet när k < 1 kan den generaliserade koniska koniken inte erhållas genom att linda upp en konisk sektion. I det här fallet finns det en annan tolkning.

Betrakta en vanlig konisk ritad på ett plan. Linda planet för att bilda en rät cirkulär kon så att könen blir en kurva i det tredimensionella rummet. Projektionen av kurvan på ett plan vinkelrätt mot konens axel kommer att vara en generaliserad kon i betydelsen Apostol och Mnatsakanian med k < 1.

Exempel

0 r = 5, X = 0,6, k = 1,5	0 r = 5, X = 0,22, k = 5,5	0 r = 5, X = 1, k = 1,5	0 r = 5, X = 1, k = 1,15
0 r = 5, X = 1,6, k = 1,5	0 r = 5, X = 0,8, k = 0,5	0 r = 5, X = 1,0, k = 0,5	0 r = 5, X = 1,5, k = 0,5

Generaliserade koner i kurvapproximation

1996 introducerade Ruibin Qu en ny uppfattning om generaliserad konisk form som ett verktyg för att generera approximationer till kurvor. Utgångspunkten för denna generalisering är resultatet att sekvensen av punkter $\{P_{k}:k=0,1,2,\ldots \}$ definieras av

$P_{k+1}=2\alpha P_{k}-P_{k-1}$

ligga på en kon. I detta tillvägagångssätt definieras nu den generaliserade koniska koniken enligt nedan.

Definition

En generaliserad kon är en sådan kurva att om de två punkterna $P_{0}$ och $P_{1}$ finns på den, så är punkterna $\{P_{k}:k>1\}$ genererad av den rekursiva relationen

$P_{k+1}=2\alpha P_{k}+\beta P_{k-1}$

för vissa $\alpha$ och $\beta$ som uppfyller relationerna

$\alpha \beta \neq 0,\quad (\alpha ,\beta )\neq (\pm 1, -1),\quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0$

är också på den.

Generaliserade koner som ekvidistanta uppsättningar

Animation som visar genereringen av en ellips som en uppsättning av två cirklar på samma avstånd.

Definition

Låt ( X , d ) vara ett metriskt mellanrum och låt A vara en icke-tom delmängd av X. Om x är en punkt i X definieras avståndet mellan x från A som d ( x , A ) = inf{ d ( x , a ): a i A } . Om A och B båda är icke-tomma delmängder av X så definieras den ekvidistanta mängden som bestäms av A och B vara mängden { x i X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Denna ekvidistanta mängd betecknas med { A = B }. Termen generaliserad konisk används för att beteckna en allmän ekvidistant uppsättning.

Exempel

Klassiska koner kan realiseras som uppsättningar på lika avstånd. Till exempel, om A är en enkeltonmängd och B är en rät linje, så är den ekvidistanta mängden { A = B } en parabel. Om A och B är cirklar så att A är helt inom B så är den ekvidistanta mängden { A = B } en ellips. Å andra sidan, om A ligger helt utanför B är den ekvidistanta mängden { A = B } en hyperbel.

Vidare läsning

• För en detaljerad diskussion om generaliserade koner ur differentialgeometrins synvinkel, se kapitlet om generaliserade koner i boken Convex Geometry av Csaba Vincze tillgänglig online.