Gemensam kvantentropi

Den gemensamma kvantentropin generaliserar den klassiska ledentropin till kontexten av kvantinformationsteorin . Intuitivt, givet två kvanttillstånd $\rho$ och ${\displaystyle \sigma } ,$ representerade som densitetsoperatorer som är underdelar av ett kvantsystem, är den gemensamma kvantentropin ett mått på den totala osäkerheten eller entropin i leden systemet. Det skrivs $S(\rho ,\sigma )$ eller $H(\rho ,\sigma )$ , beroende på vilken notation som används för von Neumann entropi . Liksom andra entropier mäts den gemensamma kvantentropin i bitar , dvs logaritmen tas i bas 2.

I den här artikeln kommer vi att använda $S(\rho ,\sigma )$ för den gemensamma kvantentropin.

Bakgrund

I informationsteorin , för alla klassiska slumpvariabler $X$ , är den klassiska Shannon-entropin $H(X)$ ett mått på hur osäkra vi är på utfallet av $X$ . Till exempel, om $X$ är en sannolikhetsfördelning koncentrerad till en punkt, är resultatet av $X$ säkert och därför är dess entropi $H(X)=0$ . I den andra ytterligheten, om $X$ är den enhetliga sannolikhetsfördelningen med $n$ möjliga värden, skulle man intuitivt förvänta sig att $X$ är associerad med den största osäkerheten. Sådana enhetliga sannolikhetsfördelningar har faktiskt maximal möjlig entropi $H(X)=\log _{2}(n)$ .

I kvantinformationsteorin utvidgas begreppet entropi från sannolikhetsfördelningar till kvanttillstånd, eller densitetsmatriser . För ett tillstånd $\rho$ definieras von Neumann-entropin av

-\operatörsnamn {Tr} \rho \log \rho .

Genom att tillämpa spektralsatsen , eller Borel funktionell kalkyl för oändliga dimensionella system, ser vi att den generaliserar den klassiska entropin. Den fysiska innebörden förblir densamma. Ett maximalt blandat tillstånd, kvantanalogen av den enhetliga sannolikhetsfördelningen, har maximal von Neumann-entropi. Å andra sidan kommer ett rent tillstånd , eller en projektion i rang ett, att ha noll von Neumann-entropi. Vi skriver von Neumann-entropin $S(\rho )$ (eller ibland $H(\rho )$ .

Definition

Givet ett kvantsystem med två delsystem A och B , refererar termen gemensam kvantentropi helt enkelt till von Neumann-entropin i det kombinerade systemet. Detta för att skilja från delsystemens entropi. I symboler, om det kombinerade systemet är i tillståndet $\rho ^{AB}$ ,

den gemensamma kvantentropin är då

S(\rho ^{A},\rho ^{B})=S(\rho ^{AB})=-\operatörsnamn {Tr} (\rho ^{AB}\log(\rho ^{ AB}))

Varje delsystem har sin egen entropi. Delsystemens tillstånd ges av den partiella spårningsoperationen .

Egenskaper

Den klassiska ledentropin är alltid minst lika med entropin för varje enskilt system. Detta är inte fallet för den gemensamma kvantentropin. Om kvanttillståndet $\rho ^{AB}$ uppvisar kvantentanglement , då kan entropin för varje delsystem vara större än den gemensamma entropin. Detta motsvarar det faktum att den villkorliga kvantentropin kan vara negativ, medan den klassiska villkorliga entropin aldrig kan vara det.

Betrakta ett maximalt intrasslat tillstånd som ett Bell-tillstånd . Om $\rho ^{AB}$ är ett klocktillstånd, säg,

\left|\Psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle + |11\rangle \right),

då är det totala systemet ett rent tillstånd, med entropi 0, medan varje enskilt delsystem är ett maximalt blandat tillstånd, med maximal von Neumann entropi $\log 2=1$ . Således är den gemensamma entropin för det kombinerade systemet mindre än för subsystem. Detta beror på att för intrasslade tillstånd kan definitiva tillstånd inte tilldelas delsystem, vilket resulterar i positiv entropi.

Lägg märke till att ovanstående fenomen inte kan inträffa om ett tillstånd är ett separerbart rent tillstånd. I så fall är delsystemens reducerade tillstånd också rena. Därför är alla entropier noll.

Relationer till andra entropimått

Den gemensamma kvantentropin $S(\rho ^{AB})$ kan användas för att definiera den villkorliga kvantentropin :

S(\rho ^{A}|\rho ^{B})\ {\stackrel { \mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A},\rho ^{B})-S(\rho ^{B})

och den ömsesidiga kvantinformationen :

I(\rho ^{A}:\rho ^{B} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{A},\rho ^{ B})

Dessa definitioner parallella användningen av den klassiska gemensamma entropin för att definiera den villkorliga entropin och ömsesidig information .

Se även

Nielsen, Michael A. och Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information . Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-63235-8