Gaussiskt fritt fält

Inom sannolikhetsteori och statistisk mekanik är det Gaussiska fria fältet (GFF) ett Gaussiskt slumpfält , en central modell av slumpmässiga ytor (slumpmässiga höjdfunktioner). Sheffield (2007) ger en matematisk översikt över det Gaussiska fria fältet.

Den diskreta versionen kan definieras på vilken graf som helst , vanligtvis ett gitter i d -dimensionell euklidisk rymd. Kontinuumversionen definieras på Rd eller på en avgränsad ^{underdomän av} Rd . Det kan ses som en naturlig generalisering av endimensionell Brownsk rörelse till d tidsdimensioner (men fortfarande ett mellanrum): det är en slumpmässig (generaliserad) funktion från Rd till R ^. I synnerhet är det endimensionella kontinuumet GFF bara den standard endimensionella Brownska rörelsen eller Brownska bryggan på ett intervall.

I teorin om slumpmässiga ytor kallas det också för den harmoniska kristallen . Det är också utgångspunkten för många konstruktioner inom kvantfältteorin , där det kallas det euklidiska bosoniska masslösa fria fältet . En nyckelegenskap för den 2-dimensionella GFF är konform invarians , som relaterar den på flera sätt till Schramm-Loewner Evolution, se Sheffield (2005) och Dubédat (2007) .

I likhet med Brownsk rörelse, som är skalningsgränsen för ett brett spektrum av diskreta slumpmässiga gångmodeller (se Donskers sats ), är kontinuumet GFF skalningsgränsen för inte bara den diskreta GFF på gitter, utan för många slumpmässiga höjdfunktionsmodeller, t.ex. som höjdfunktionen för enhetliga slumpmässiga plana dominoplattor , se Kenyon (2001) . Den plana GFF är också gränsen för fluktuationerna för det karakteristiska polynomet för en slumpmässig matrismodell , Ginibre-ensemblen, se Rider & Virág (2007) .

Strukturen för den diskreta GFF på vilken graf som helst är nära relaterad till beteendet hos den enkla slumpmässiga promenaden på grafen . Till exempel spelar den diskreta GFF en nyckelroll i beviset av Ding, Lee & Peres (2012) av flera gissningar om täckningstiden för grafer (det förväntade antalet steg det tar för den slumpmässiga vandringen att besöka alla hörn).

Definition av den diskreta GFF

Detta ytdiagram visar ett prov av det diskreta Gaussiska fria fältet definierat på hörnen av ett 60 x 60 kvadratiskt rutnät, med noll gränsvillkor. Värdena för DGFF på hörnen är linjärt interpolerade för att ge en kontinuerlig funktion.

Låt P ( x , y ) vara övergångskärnan i Markovkedjan som ges av en slumpmässig gång på en finit graf G ( V , E ). Låt U vara en fast icke-tom delmängd av hörnen V , och ta mängden av alla verkliga funktioner $\varphi$ med några föreskrivna värden på U . Vi definierar sedan en Hamiltonian med

$H(\varphi )={\frac {1}{2}}\summa _{(x,y)}P(x,y){\big (}\varphi (x)-\varphi (y ){\big )}^{2}.$

Sedan, den slumpmässiga funktionen med sannolikhetstäthet proportionell mot $\exp(-H(\varphi ))$ med avseende på Lebesgue-måttet på $\mathbb { R} ^{V\setminus U}$ kallas den diskreta GFF med gräns U .

  Det är inte svårt att visa att det förväntade värdet $\mathbb {E} [\varphi (x)]$ är den diskreta harmoniska förlängningen av gränsvärdena från U (överton med avseende på övergångskärnan P ), och kovarianserna $\mathrm {Cov} [\varphi (x),\varphi (y)]$ är lika med de diskreta gröna funktion G ( x , y ).

Så, i en mening, är den diskreta GFF det Gaussiska slumpmässiga fältet på V med kovariansstruktur som ges av den gröna funktionen associerad med övergångskärnan P .

Kontinuumfältet

Definitionen av kontinuumfältet använder nödvändigtvis något abstrakt maskineri, eftersom det inte existerar som en slumpmässig höjdfunktion. Istället är det en slumpmässig generaliserad funktion, eller med andra ord en sannolikhetsfördelning på fördelningar (med två olika betydelser av ordet "fördelning").

Givet en domän Ω ⊆ R ⁿ , betrakta Dirichlets inre produkt

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }(Df(x),Dg (x))\,dx$

för jämna funktioner ƒ och g på Ω, sammanfallande med någon föreskriven gränsfunktion på $\partial \Omega$ , där $Df\,(x)$ är gradientvektorn vid $x\in \Omega$ . Ta sedan Hilbert-rymdstängningen med avseende på denna inre produkt , detta är Sobolev-utrymmet $H^{1}(\Omega )$ .

Kontinuumet GFF $\varphi$ på $\Omega$ är ett Gaussiskt slumpfält indexerat med ${\displaystyle H^{1}(\Omega )} ,$ dvs. en samling av Gaussiska slumpvariabler, en för varje ${\displaystyle f\in H^{1}(\Omega )} ,$ betecknad med $\langle \varphi ,f\rangle$ , så att kovariansstrukturen är $\mathrm {Cov} [\langle \varphi ,f\rangle ,\langle \varphi ,g\rangle ]=\langle f,g\rangle$ för alla $f,g\in H^{1}(\Omega )$ .

Ett sådant slumpmässigt fält existerar verkligen, och dess fördelning är unik. Givet någon ortonormal bas $\psi _{1},\psi _{2},\dots$ av $H^{1}(\Omega )$ (med det givna gränsvillkoret) kan vi bilda den formella oändliga summan

$\varphi :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k},$

där $\xi _{k}$ är iid normala standardvariabler . Denna slumpmässiga summa kommer nästan säkert inte att existera som ett element av $H^{1}(\Omega )$ , eftersom dess varians är oändlig. Den existerar dock som en slumpmässig generaliserad funktion , eftersom vi för alla ${\displaystyle f\in H^{1}(\Omega )} har$

$f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\psi _{ k},{\text{ med }}\summa _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}<\infty ,$

därav

$\langle \varphi ,f\rangle :=\summa _{k=1}^{\infty }\xi _{k}c_{ k}$

är ett väldefinierat ändligt slumptal.

Specialfall: n = 1

Även om argumentet ovan visar att $\varphi$ inte existerar som ett slumpmässigt element av $H^{1}(\Omega )$ , kan det fortfarande vara så att det är en slumpmässig funktion på $\Omega$ i något större funktionsutrymme. Faktum är att i dimension ${\displaystyle n=1} ges$ en ortonormal bas för $H^{1}[0,1]$ av

$\psi _{k}(t):=\int _{0}^{t}\varphi _{k}(s) \,ds\,,$ där $(\varphi _{k})$ bildar en ortonormal bas för $L^{2}[0,1]\ ,,$

och sedan $\varphi (t):=\summa _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\ psi _{k}(t)$ kan lätt ses som en endimensionell Brownsk rörelse (eller Brownsk brygga, om gränsvärdena för $\varphi _{k}$ är inställda på det sättet). Så i det här fallet är det en slumpmässig kontinuerlig funktion. Till exempel, om $(\varphi _{k})$ är Haar-basen , så är detta Lévys konstruktion av Brownsk rörelse, se t.ex. avsnitt 3 i Peres (2001) .

Å andra sidan, för $n\geq 2$ kan det verkligen visas att det endast existerar som en generaliserad funktion, se Sheffield (2007) .

Specialfall: n = 2

I dimension n = 2 är den konforma invariansen av kontinuumet GFF tydlig från invariansen för Dirichlets inre produkt. Den motsvarande tvådimensionella konforma fältteorin beskriver en masslös fri skalär boson .

• Ding, J.; Lee, JR; Peres, Y. (2012), "Cover times, blanket times, and majorizing measurements", Annals of Mathematics , 175 (3): 1409–1471, arXiv : 1004.4371 , doi : 10.4007/annals.2012.175.3 .
•   Dubédat, J. (2009), "SLE and the free field: Partition functions and couplings", J. Amer. Matematik. Soc. , 22 (4): 995–1054, arXiv : 0712.3018 , Bibcode : 2009JAMS...22..995D , doi : 10.1090/s0894-0347-09-00636-5 8 065CID 8 065C
•    Kenyon, R. (2001), "Dominos and the Gaussian free field", Annals of Probability , 29 ( 3): 1128–1137, arXiv : math-ph/0002027 , doi : 10.1214/aop/101532 7MR 3ID 98 7 , 2027 119640707
• Peres, Y. (2001), "An Invitation to Sample Paths of Brownian Motion" (PDF) , föreläsningsanteckningar vid UC Berkeley
•   Rider, B.; Virág , B. (2007), "The noise in the Circular Law and the Gaussian Free Field", International Mathematics Research Notices : artikel ID rnm006, 32 sidor, arXiv : math/0606663 , doi : 10.1093/imrn/rnm 4026 6 MR 5026
• Sheffield, S. (2005), "Local sets of the Gaussian Free Field" , samtal vid Fields Institute, Toronto, den 22–24 september 2005, som en del av "Percolation, SLE, and Related Topics"-workshopen.
•    Sheffield, S. (2007), "Gaussian free fields for mathematicians", Probability Theory and Related Fields , 139 (3–4): 521–541, arXiv : math.PR/0312099 , doi : 10.1007/s006-005000 -1 , MR 2322706 , S2CID 14237927
•   Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistisk mekanik för gittersystem: en konkret matematisk introduktion . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824 .