Fyrspiral semigrupp

I matematik är fyrspiralhalvgruppen en speciell halvgrupp som genereras av fyra idempotenta element . Denna speciella semigrupp studerades först av Karl Byleen i en doktorsavhandling som lämnades in till University of Nebraska 1977. Den har flera intressanta egenskaper: den är ett av de viktigaste exemplen på bi-enkla men inte helt enkla semigrupper; det är också ett viktigt exempel på en grundläggande reguljär semigrupp ; det är en oumbärlig byggsten av bisimpla, idempotent-genererade vanliga semigrupper. En viss halvgrupp, kallad dubbel fyra-spiral semigroup , genererad av fem idempotenta element har också studerats tillsammans med fyra-spiral semigroup.

Definition

Fyrspiralhalvgruppen, betecknad med Sp ₄ , är den fria halvgruppen som genereras av fyra element a , b , c och d som uppfyller följande elva villkor:

• a2 = a , b2 = b ^, c2 = c ^, d2 = d ^. _ _ ^_ _
• ab = b , ba = a , bc = b , cb = c , cd = d , dc = c .
• da = d .

Den första uppsättningen villkor innebär att elementen a , b , c , d är idempotenta. Den andra uppsättningen villkor innebär att en R b L c R d där R och L är de grönas relationer i en halvgrupp. Det ensamma tillståndet i den tredje uppsättningen kan skrivas som d ω ^la a , där ω ^l är en biordningsrelation definierad av Nambooripad . Diagrammet nedan sammanfattar de olika relationerna mellan a , b , c , d :

${\begin{matrix}&&{\mathcal {R}}&&\\&a&\longleftrightarrow &b&\\\omega ^{l}&{\Big \ uparrow }&&{\Big \updownarrow }&{\mathcal {L}}\\&d&\longleftrightarrow &c&\\&&{\mathcal {R}}&&\end{matrix}}$

Beståndsdelar av halvgruppen med fyra spiraler

Spiralstrukturen hos idempotenta i den fyrspiralformiga semigruppen Sp4. I det här diagrammet är element i samma rad R-relaterade , element i samma kolumn är L-relaterade , och ordningen fortsätter nedåt de fyra diagonalerna (bort från mitten).

Strukturen för den fyra-spiralformade semigruppen Sp4. Uppsättningen av idempotenter (rödfärgade punkter) och underhalvgrupperna A, B, C, D, E visas.

Allmänna element

Varje element i Sp ₄ kan skrivas unikt i någon av följande former:

[ c ] ( ac ) ^m [ a ]

​​[ d ] ( bd ) ⁿ [ b ]

[ c ] ( ac ) ^m ad ( bd ) ⁿ [ b ]

där m och n är icke-negativa heltal och termer inom hakparenteser kan utelämnas så länge som den återstående produkten inte är tom. Formerna för dessa element innebär att Sp ₄ har en partition Sp ₄ = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E där

A = { a ( ca ) ⁿ , ( bd ) ^{n +1} , a ( ca ) ^m d ( bd ) ⁿ : m , n icke-negativa heltal }

B = { ( ac ) ^{n +1} , b ( db ) ⁿ , a ( ca ) ^m ( db ) ^{n +1} : m , n icke - negativa heltal }

C = { c ( ac ) ^m , ( db ) ^{n +1} , ( ca ) ^{m +1} ( db ) ^{n +1} : m , n icke-negativa heltal }

D = { d ( bd ) ⁿ , ( ca ) ^{m +1} ( db ) ^{n +1} d : m , n icke-negativa heltal }

E = { ( ca ) ^m : m positivt heltal }

Mängderna A , B , C , D är bicykliska halvgrupper , E är en oändlig cyklisk halvgrupp och underhalvgruppen D∪ E är en oregelbunden halvgrupp .

Idempotenta element

₀₀₀₀ Uppsättningen av idempotenter för Sp ₄ , är { a _n , b _n , c _n , d _n : n = 0, 1, 2, ...} där a = a , b = b , c = c , d = d , och för n = 0, 1, 2, ....,

a _{n +1} = a ( ca ) ⁿ ( db ) ⁿ d

b _{n +1} = a ( ca ) ⁿ ( db ) ^{n +1}

c _{n +1} = ( ca ) ^{n +1} ( db ) ^{n +1}

d _{n +1} = ( ca ) ^{n +1} ( db ) ^{n +} ld

Uppsättningarna av idempotenter i underhalvgrupperna A , B , C , D (det finns inga idempotenter i underhalvgruppen E ) är respektive:

E _A = { a _n : n = 0,1,2, ... }

E _B = { b _n : n = 0,1,2, ... }

E _C = { c _n : n = 0,1 ,2, ... }

E _D = { d _n : n = 0,1,2, ... }

Fyrspiral semigrupp som en Rees-matris semigrupp

Låt S vara mängden av alla fyrdubblar ( r , x , y , s ) där r , s , ∈ { 0, 1 } och x och y är icke-negativa heltal och definierar en binär operation i S med

$(r,x,y,s)*(t,z,w,u)={\begin{cases}(r,x-y+\max(y,z+1),\max(y- 1,z)-z+w,u)&{\text{if }}s=0,t=1\\(r,x-y+\max(y,z),\max(y,z)- z+w,u)&{\text{annars.}}\end{cases}}$

Mängden S med denna operation är en Rees-matris-semigrupp över den bicykliska semigruppen , och den fyrspirala semigruppen Sp ₄ är isomorf till S .

Egenskaper

• Per definition själv är fyrspiralhalvgruppen en idempotent genererad halvgrupp ( Sp ₄ genereras av de fyra idempotenterna a , b . c , d .)
• Fyrspiralhalvgruppen är en fundamental halvgrupp, det vill säga den enda kongruensen på Sp ₄ som finns i Grönas relation H i Sp ₄ är likhetsrelationen.

Dubbel fyrspiral semigrupp

Den grundläggande dubbla fyrspiralhalvgruppen , betecknad med DSp ₄ , är halvgruppen som genereras av fem element a , b , c , d , e som uppfyller följande villkor:

• a ² = a , b ² = b , c ² = c , d ² = d , e ² = e
• ab = b , ba = a , bc = b , cb = c , cd = d , dc = c , de = d , ed = e
• ae = e , ea = e

Den första uppsättningen villkor innebär att elementen a , b , c , d , e är idempotenta. Den andra uppsättningen villkor anger de grönas relationer mellan dessa idempotenter, nämligen a R b L c R d L e . De två villkoren i den tredje uppsättningen innebär att e ω a där ω är biordsrelationen definierad som ω = ω ^l ∩ ω ^r .