Rees matris semigrupp
Inom matematiken är Rees -matrissemigrupperna en speciell klass av semigrupper som introducerades av David Rees 1940. De är av grundläggande betydelse i semigruppteorin eftersom de används för att klassificera vissa klasser av enkla semigrupper.
Definition
Låt S vara en halvgrupp, I och Λ icke-tomma mängder och P en matris indexerad med I och Λ med poster p i , λ hämtade från S . Då är Rees-matrishalvgruppen M ( S ; I , Λ ; P ) mängden I × S × Λ tillsammans med multiplikationen
- (i, s, λ)(j, t, μ) = (i, s p λ, j t, μ) .
Rees matris semigrupper är en viktig teknik för att bygga nya semigrupper av gamla.
Rees teorem
I sitt papper från 1940 bevisade Rees följande teorem som karakteriserar helt enkla semigrupper :
En semigrupp är helt enkel om och bara om den är isomorf till en Rees matris semigrupp över en grupp .
000 Det vill säga, varje helt enkel halvgrupp är isomorf till en halvgrupp av formen M ( G ; I , Λ ; P ) för någon grupp G . Dessutom bevisade Rees att om G är en grupp och G är halvgruppen som erhålls från G genom att fästa ett nollelement , så är M ( G ; I , Λ ; P ) en vanlig semigrupp om och endast om varje rad och kolumn i matrisen P innehåller ett element som inte är 0. Om ett sådant M ( G ; I , Λ ; P ) är regelbundet så är det också helt 0-enkelt .
Se även
- Rees, David (1940), On semi-groups , vol. 3, Proc. Camb. Philos. Soc. , s. 387–400 .
- Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9 .