Funktionsräkning

Inom algebraisk topologi , en gren av matematiken , är funktionskalkylen eller Goodwillie-kalkylen en teknik för att studera funktorer genom att approximera dem med en sekvens av enklare funktorer; det generaliserar sargbildningen av en förskorv . Denna sekvens av approximationer liknar formellt Taylor-serien med en jämn funktion , därav termen " kalkyl av funktorer".

Många objekt av centralt intresse inom algebraisk topologi kan ses som funktorer, som är svåra att analysera direkt, så tanken är att ersätta dem med enklare funktorer som är tillräckligt bra approximationer för vissa ändamål. Funktionskalkylen utvecklades av Thomas Goodwillie i en serie om tre artiklar på 1990- och 2000-talen och har sedan dess utökats och tillämpats inom ett antal områden.

Exempel

Ett motiverande exempel, av centralt intresse för geometrisk topologi , är funktionsfaktorn för inbäddningar av ett grenrör M i ett annat grenrör N, vars första derivata i betydelsen funktionskalkyl är nedsänkningarnas funktion . Eftersom varje inbäddning är en nedsänkning, får man en inkludering av funktionerna $\mathrm {Emb} (M,N)\to \mathrm {Imm} (M,N)$ – i det här fallet är kartan från en funktor till en approximation en inkludering, men i allmänhet är det helt enkelt en karta.

Som det här exemplet illustrerar är den linjära approximationen av en funktor (på ett topologiskt utrymme) dess sköljning , tänk på funktorn som en förskarv på utrymmet (formellt som en funktion för kategorin öppna delmängder av utrymmet) och skivor är de linjära funktionerna.

Detta exempel studerades av Goodwillie och Michael Weiss .

Definition

Här är en analogi: med Taylor-seriemetoden från kalkyl kan du approximera formen av en jämn funktion f runt en punkt x genom att använda en sekvens av allt mer exakta polynomfunktioner. På ett liknande sätt, med funktionskalkylmetoden, kan du approximera beteendet hos en viss typ av funktor F vid ett visst objekt X genom att använda en sekvens av allt mer exakta polynomfunktioner .

För att vara specifik, låt M vara ett jämnt grenrör och låt O(M) vara kategorin för öppna delrum av M , dvs kategorin där objekten är de öppna delrymden av M och morfismerna är inklusionskartor . Låt F vara en kontravariant funktor från kategorin O(M) till kategorin Toppen av topologiska rum med kontinuerliga morfismer. Denna typ av funktor, kallad en högst värderad presheaf på M , är den typ av funktor du kan uppskatta med hjälp av calculus of functors-metoden: för en viss öppen uppsättning X∈O(M) kanske du vill veta vilken sorts en topologiska rymden F(X) är, så att du kan studera topologin för de allt mer exakta approximationerna ₀ F (X), F ₁ (X), F ₂ (X), och så vidare.

I calculus of functors-metoden består sekvensen av approximationer av (1) funktorer ${\displaystyle T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$ och så vidare, samt (2) naturliga transformationer $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ för varje heltal k . Dessa naturliga transformationer måste vara kompatibla, vilket innebär att sammansättningen ${\displaystyle F\to T_{k+1}F\to T_{k}F} är$ lika med kartan $F\to T_{k}F,$ och bildar därmed ett torn

$F\to \cdots \to T_{k+1}F\to T_{k}F\to \ cdots \to T_{1}F\to T_{0}F,$

och kan ses som "successiva approximationer", precis som man i en Taylor-serie successivt kan förkasta termer av högre ordning.

De approximativa funktionerna måste vara " k - excisive " – sådana funktorer kallas polynomfunktioner i analogi med Taylor-polynom – vilket är ett förenklande villkor och betyder ungefär att de bestäms av deras beteende runt k punkter åt gången, eller mer formellt är skivor på konfigurationsutrymmet för k punkter i det givna utrymmet. Skillnaden mellan k th och $(k-1)$ st funktorerna är en "homogen funktor av grad k " (i analogi med homogena polynom ), som kan klassificeras.

För att funktorerna $T_{k}F$ ska vara approximationer till den ursprungliga funktorn F, måste de resulterande approximationskartorna $F\to T_{k}F$ vara n -anslutna för något tal n, vilket betyder att den approximerande funktorn approximerar den ursprungliga funktorn "i dimension upp till n "; detta kanske inte inträffar. Vidare, om man vill rekonstruera den ursprungliga funktorn, måste de resulterande approximationerna vara n -kopplade för att n ökar till oändlighet. Man kallar sedan F för en analytisk funktor och säger att "Taylor-tornet konvergerar till funktorn", i analogi med Taylor-serien av en analytisk funktion .

Grenar

Det finns tre grenar av funktionskalkylen, utvecklade i ordningen:

• mångfaldig kalkyl, såsom inbäddningar,
• homotopi kalkyl, och
• ortogonal kalkyl.

Homotopi kalkyl har sett mycket bredare tillämpning än de andra grenarna.

Historia

Föreställningen om en kärve och skarvbildning av en kärv daterar till tidig kategoriteori och kan ses som den linjära formen av funktionskalkylen. Den kvadratiska formen kan ses i André Haefligers arbete om länkar av sfärer 1965, där han definierade ett "metastabilt område" där problemet är enklare. Detta identifierades som den kvadratiska approximationen till inbäddningsfunktionen i Goodwillie och Weiss.

• Munson, Brian (2005), Syllabus for Math 283: Calculus of Functors (PDF)

externa länkar

• Thomas Goodwillie
• John Klein
• Michael S. Weiss