Fontaines period ringer

I matematik är Fontaines periodringar en samling kommutativa ringar som först definierades av Jean -Marc Fontaine och som används för att klassificera p -adic Galois representationer .

Ringen B _dR

Ringen $\mathbf {B} _{dR}$ definieras enligt följande. Låt $\mathbf {C} _{p}$ beteckna slutförandet av ${\overline {\mathbf {Q} _{p}}}$ . Låta

${\tilde {\mathbf {E} }}^{+}=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}} {\mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}/(p)$

Så ett element av ${\tilde {\mathbf {E} }}^{+}$ är en sekvens $(x_{1},x_{2 },\ldots )$ av element $x_{i}\in {\mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}/(p)$ så att $x_{i+1}^{p}\equiv x_{i}{\pmod {p}}$ . Det finns en naturlig projektionskarta $f:{\tilde {\mathbf {E} }}^{+}\to {\mathcal {O}}_{ \mathbf {C} _{p}}/(p)$ ges av $f(x_{1},x_{2},\dotsc )=x_ {1}$ . Det finns också en multiplikativ (men inte additiv) karta $t:{\tilde {\mathbf {E} }}^{+}\to {\mathcal {O}}_ {\mathbf {C} _{p}}$ definieras av ${\displaystyle t(x_{,}x_{2},\dotsc ) =\lim _{i\to \infty }{\tilde {x}}_{i}^{p^{i}}} , där x ~ i {\displaystyle {\tilde {x$ } $i }}$ är godtyckliga höjningar av $x_{i}$ till ${\mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}$ . Sammansättningen av $t$ med projektionen ${\mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}/(p)$ är bara $f$ . Den allmänna teorin om Witt-vektorer ger en unik ringhomomorfism $\theta :W({\tilde {\mathbf {E} }}^{+})\to { \mathcal {O}}_{\mathbf {C} _{p}}$ så att $\theta ([x])=t(x)$ för alla ${\displaystyle x\in {\tilde {\mathbf {E} }}^{+}} ,$ där $[x]$ betecknar Teichmüller-representanten för $x$ . Ringen $\mathbf {B} _{dR}^{+}$ definieras som komplettering av ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}^{+}=W({\tilde {\mathbf {E} }}^{+})[1/p]} med avseende på den$ ideala $\ker \left(\theta :{\tilde {\mathbf {B} }}^{+}\to \mathbf {C} _{p}\right)$ . Fältet $\mathbf {B} _{dR}$ är bara fältet av bråkdelar av $\mathbf {B} _{dR}^{+}$ .

Sekundära källor

•    Berger, Laurent (2004), "En introduktion till teorin om p -adiska representationer", Geometric aspects of Dwork theory , vol. I, Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math/0210184 , Bibcode : 2002math.....10184B , ISBN 978-3-11-017478-6 , MR 2023292
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), CMI Summer School-anteckningar om p-adic Hodge-teori (PDF) , hämtad 2010-02-05
•   Fontaine, Jean-Marc , red. (1994), Périodes p-adiques , Astérisque, vol. 223, Paris: Société Mathématique de France, MR 1293969