Teichmüller karaktär

I talteorin är Teichmüller -tecknet ω (vid ett primtal p ) ett tecken på ( Z / q Z ) ^× , där $q=p$ om $p$ är udda och $q=4$ om $p=2$ , med värden i rötterna till enheten för de p -adiska heltal . Den introducerades av Oswald Teichmüller . Genom att identifiera enhetens rötter i de p -adiska heltal med motsvarande i de komplexa talen, kan ω betraktas som en vanlig Dirichlet-karaktär av ledaren q . Mer generellt, givet en fullständig diskret värderingsring O vars restfält k är perfekt för karakteristisk p , finns det en unik multiplikativ sektion ω : k → O av den naturliga surjektionen O → k . Bilden av ett element under denna karta kallas dess Teichmüller-representant . Begränsningen av ω till k ^× kallas Teichmüller-tecknet .

Definition

Om x är ett p -adiskt heltal, så är $\omega (x)$ den unika lösningen av $\omega (x)^{p} =\omega (x)$ som är kongruent med x mod p . Det kan också definieras av

\omega (x)=\lim _{n\högerpil \infty }x^{p^{n}}

Den multiplikativa gruppen av p -adiska enheter är en produkt av den ändliga gruppen av enhetsrötter och en grupp som är isomorf till de p -adiska heltalen. Den finita gruppen är cyklisk av ordningen p – 1 eller 2, eftersom p är udda respektive jämn, och därför är den isomorf till ( Z / q Z ) ^× . ^{[ citat behövs ]} Teichmüller-karaktären ger en kanonisk isomorfism mellan dessa två grupper.

En detaljerad beskrivning av konstruktionen av Teichmüller-representanter för de p -adiska heltal, med hjälp av Hensel-lyft , ges i artikeln om Witt-vektorer , där de ger en viktig roll för att tillhandahålla en ringstruktur.

Se även

Witt vektor

avsnitt 4.3 av Cohen, Henri (2007), Talteori, Volym I: Tools and Diophantine equations , Graduate Texts in Mathematics , vol. 239, New York: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2 , MR 2312337

Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic , och Zeta-Functions , Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3 , MR 0754003