Flerkroppssystem

Flerkroppssystem är studiet av det dynamiska beteendet hos sammankopplade stela eller flexibla kroppar, som var och en kan genomgå stora translations- och rotationsförskjutningar .

Introduktion

Den systematiska behandlingen av det dynamiska beteendet hos sammankopplade kroppar har lett till ett stort antal viktiga multikroppsformalismer inom mekanikens område . De enklaste kropparna eller elementen i ett multikroppssystem behandlades av Newton (fri partikel) och Euler (styv kropp). Euler introducerade reaktionskrafter mellan kroppar. Senare härleddes en serie formalismer, bara för att nämna Lagranges formalismer baserade på minimala koordinater och en andra formulering som introducerar begränsningar.

I grund och botten beskrivs kropparnas rörelse av deras kinematiska beteende. Det dynamiska beteendet är ett resultat av jämvikten mellan applicerade krafter och hastigheten för förändring av momentum. Nuförtiden är termen multibody-system relaterad till ett stort antal tekniska forskningsområden, särskilt inom robotik och fordonsdynamik. Som en viktig egenskap erbjuder flerkroppssystemformalismer vanligtvis ett algoritmiskt, datorstödt sätt att modellera, analysera, simulera och optimera den godtyckliga rörelsen hos möjligen tusentals sammankopplade kroppar.

Ansökningar

Medan enskilda kroppar eller delar av ett mekaniskt system studeras i detalj med finita elementmetoder, studeras beteendet hos hela multikroppssystemet vanligtvis med flerkroppssystemmetoder inom följande områden:

• Flygteknik (helikopter, landningsställ, maskiners beteende under olika gravitationsförhållanden)
• Biomekanik
• Förbränningsmotor , växlar och transmissioner, kedjedrift , remdrift
• Dynamisk simulering
• Hiss , transportör , pappersbruk
• Militära applikationer
• Partikelsimulering (granulära media, sand, molekyler)
• Fysik motor
• Robotik
• Fordonssimulering ( fordonsdynamik , snabb prototypframställning av fordon, förbättring av stabilitet, komfortoptimering, förbättring av effektivitet, ...)

Exempel

Följande exempel visar ett typiskt flerkroppssystem. Det betecknas vanligtvis som en vevmekanism. Mekanismen används för att omvandla rotationsrörelse till translationsrörelse med hjälp av en roterande helljus, en kopplingsstång och en glidkropp. I föreliggande exempel används en flexibel kropp för kopplingsstången. Den glidande massan får inte rotera och tre revolutleder används för att koppla ihop kropparna. Medan varje kropp har sex frihetsgrader i rymden leder de kinematiska förhållandena till en frihetsgrad för hela systemet.

Mekanismens rörelse kan ses i följande gif-animation

Begrepp

En kropp anses vanligtvis vara en stel eller flexibel del av ett mekaniskt system (inte att förväxla med människokroppen). Ett exempel på en kropp är armen på en robot, ett hjul eller en axel i en bil eller den mänskliga underarmen. En länk är kopplingen av två eller flera kroppar, eller en kropp med marken. Länken definieras av vissa (kinematiska) begränsningar som begränsar kropparnas relativa rörelse. Typiska begränsningar är:

• kardanled eller universalled ; 4 kinematiska begränsningar
• prismatisk led ; relativ förskjutning längs en axel är tillåten, begränsar relativ rotation; innebär 5 kinematiska begränsningar
• revolut led ; endast en relativ rotation tillåts; innebär 5 kinematiska begränsningar; se exemplet ovan
• sfärisk led ; begränsar relativa förskjutningar i en punkt, relativ rotation tillåts; innebär 3 kinematiska begränsningar

Det finns två viktiga termer i flerkroppssystem: frihetsgrad och tvångstillstånd.

Grad av frihet

Frihetsgraderna anger antalet oberoende kinematiska möjligheter att röra sig . Med andra ord är frihetsgrader det minsta antal parametrar som krävs för att helt definiera positionen för en entitet i rymden.

En stel kropp har sex frihetsgrader i fallet med allmän rumslig rörelse, tre av dem translationella frihetsgrader och tre rotationsfrihetsgrader. I fallet med plan rörelse har en kropp endast tre frihetsgrader med endast en rotations- och två translationsfrihetsgrader.

Frihetsgraderna i plan rörelse kan enkelt demonstreras med en datormus. Frihetsgraderna är: vänster-höger, framåt-bakåt och rotationen kring den vertikala axeln.

Begränsningsvillkor

Ett begränsningsvillkor innebär en begränsning i de kinematiska frihetsgraderna för en eller flera kroppar. Den klassiska begränsningen är vanligtvis en algebraisk ekvation som definierar den relativa translationen eller rotationen mellan två kroppar. Det finns vidare möjligheter att begränsa den relativa hastigheten mellan två kroppar eller en kropp och marken. Detta är till exempel fallet med en rullande skiva, där den punkt på skivan som kommer i kontakt med marken alltid har noll relativ hastighet i förhållande till marken. I det fall att hastighetsrestriktionen inte kan integreras i tid för att bilda en positionsrestriktion, kallas det icke- holonomisk . Detta är fallet för den allmänna rullningsbegränsningen.

Utöver det finns det icke-klassiska begränsningar som till och med kan introducera en ny okänd koordinat, såsom en glidled, där en punkt på en kropp tillåts röra sig längs ytan på en annan kropp. När det gäller kontakt är tvångsvillkoret baserat på ojämlikheter och därför begränsar ett sådant tvång inte permanent kropparnas frihetsgrader.

Rörelseekvationer

Rörelseekvationerna används för att beskriva det dynamiska beteendet hos ett multikroppssystem. Varje formulering av multikroppssystem kan leda till ett annat matematiskt utseende av rörelseekvationerna medan fysiken bakom är densamma. Rörelsen av de inskränkta kropparna beskrivs med hjälp av ekvationer som i grunden är resultatet av Newtons andra lag. Ekvationerna är skrivna för allmän rörelse av de enskilda kropparna med tillägg av begränsningsvillkor. Vanligtvis härleds rörelseekvationerna från Newton-Eulers ekvationer eller Lagranges ekvationer .

Styva kroppars rörelse beskrivs med hjälp av

${\displaystyle \mathbf {M(q)} {\ddot {\mathbf {q} }}-\mathbf {Q} _{v}+ \mathbf {C_{q}} ^{T}\mathbf {\lambda } =\mathbf {F} ,} (1)$ C

$\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {q } ,{\dot {\mathbf {q} }})=0}$ (2)

Dessa typer av rörelseekvationer är baserade på så kallade redundanta koordinater, eftersom ekvationerna använder fler koordinater än frihetsgrader för det underliggande systemet. De generaliserade koordinaterna betecknas med $\mathbf {q}$ , massmatrisen representeras av $\mathbf {M} (\mathbf {q} )$ vilket kan bero på de generaliserade koordinaterna . $\mathbf {C}$ representerar begränsningsvillkoren och matrisen $\mathbf {C_{q}}$ (ibland kallad Jacobian ) är derivatan av begränsningsvillkoren med avseende på koordinaterna. Denna matris används för att applicera tvångskrafter $\mathbf {\lambda }$ på motsvarande ekvationer för kropparna. Komponenterna i vektorn $\mathbf {\lambda }$ betecknas också som Lagrange-multiplikatorer. I en stel kropp kan möjliga koordinater delas upp i två delar,

$\mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}$

där $\mathbf {u}$ representerar översättningar och $\mathbf {\Psi }$ beskriver rotationerna.

Kvadratisk hastighetsvektor

När det gäller stela kroppar används den så kallade kvadratiska hastighetsvektorn $\mathbf {Q} _{v}$ för att beskriva Coriolis och centrifugaltermer i rörelseekvationerna. Namnet beror på att $\mathbf {Q} _{v}$ innehåller kvadratiska termer av hastigheter och det beror på partiella derivator av kroppens kinetiska energi.

Lagrange multiplikatorer

Lagrangemultiplikatorn $\lambda _{i}$ är relaterad till ett villkor $C_{i}=0$ och representerar vanligtvis en kraft eller ett moment, som verkar i "riktning" av begränsningsgraden av frihet. Lagrange-multiplikatorerna gör inget "arbete" jämfört med yttre krafter som förändrar en kropps potentiella energi.

Minimala koordinater

Rörelseekvationerna (1,2) representeras med hjälp av redundanta koordinater, vilket betyder att koordinaterna inte är oberoende. Detta kan exemplifieras av skjutreglaget som visas ovan, där varje kropp har sex frihetsgrader medan de flesta av koordinaterna är beroende av de andra kropparnas rörelse. Till exempel kan 18 koordinater och 17 begränsningar användas för att beskriva rörelsen hos skjutreglaget med stela kroppar. Men eftersom det bara finns en frihetsgrad, kan rörelseekvationen också representeras med hjälp av en ekvation och en frihetsgrad, med t.ex. vinkeln på den drivande länken som frihetsgrad. Den senare formuleringen har då det minsta antalet koordinater för att beskriva systemets rörelse och kan alltså kallas en minimal koordinatformulering. Omvandlingen av redundanta koordinater till minimala koordinater är ibland besvärlig och endast möjlig i fallet med holonomiska begränsningar och utan kinematiska loopar. Flera algoritmer har utvecklats för härledning av minimala koordinatekvationer för rörelse, för att bara nämna den så kallade rekursiva formuleringen. De resulterande ekvationerna är lättare att lösa eftersom i frånvaro av begränsningsvillkor kan standardtidsintegreringsmetoder användas för att integrera rörelseekvationerna i tid. Medan det reducerade systemet kan lösas mer effektivt, kan transformationen av koordinaterna vara beräkningsmässigt dyr. I mycket allmänna flerkroppssystemformuleringar och mjukvarusystem används redundanta koordinater för att göra systemen användarvänliga och flexibla.

Flexibel multibody

Det finns flera fall där det är nödvändigt att överväga organens flexibilitet. Till exempel i fall där flexibilitet spelar en grundläggande roll i kinematik såväl som i kompatibla mekanismer.

Flexibilitet kan beaktas på olika sätt. Det finns tre huvudsakliga tillvägagångssätt:

• Diskret flexibel multikropp, den flexibla kroppen är uppdelad i en uppsättning styva kroppar förbundna med elastiska styvheter som representerar kroppens elasticitet
• Modal kondensation, där elasticiteten beskrivs genom ett ändligt antal vibrationssätt av kroppen genom att utnyttja de frihetsgrader som är kopplade till modens amplitud
• Full flex, all flexibilitet i kroppen tas med i beräkningen av att diskretisera kroppen i underelement med singelförskjutning kopplad från elastiska materialegenskaper

Se även

• Dynamisk simulering
• Flerkroppssimulering (lösningstekniker)
• Fysik motor

• J. Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies, Teubner, Stuttgart (1977).
• J. Wittenburg, Dynamics of Multibody Systems, Berlin, Springer (2008).
• K. Magnus, Dynamics of multibody systems, Springer Verlag, Berlin (1978).
• PE Nikravesh, Datorstödd analys av mekaniska system, Prentice-Hall (1988).
• EJ Haug, Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn och Bacon, Boston (1989).
• H. Bremer och F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, BG Teubner, Stuttgart, Tyskland (1992).
• J. García de Jalón, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, New York (1994).
• AA Shabana, Dynamics of multibody systems, andra upplagan, John Wiley & Sons (1998).
• M. Géradin, A. Cardona, Flexible multibody dynamics – A finite element approach, Wiley, New York (2001).
• E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
• T. Wasfy och A. Noor, "Beräkningsstrategier för flexibla flerkroppssystem," ASME. Appl. Mech. Rev. 2003;56(6):553-613. doi : 10.1115/1.1590354 .

externa länkar

• http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ Samlade länkar av John McPhee