Flerhastighetsfilterbank och flerdimensionella riktningsfilterbanker

Den här artikeln ger en kort översikt över koncepten, principerna och tillämpningarna av multirate filterbanker och multidimensionella riktningsfilterbanker.

Flerhastighetssystem

Linjära tidsinvarianta system arbetar vanligtvis med en enda samplingshastighet, vilket innebär att vi har samma samplingshastighet vid ingång och utgång. Med andra ord, i ett LTI-system skulle samplingsfrekvensen inte ändras i systemet.

System som använder olika samplingshastigheter i olika stadier kallas flerhastighetssystem. Multirate-systemet kan ha olika samplingshastigheter baserat på önskemål. Även flerhastighetssystem kan tillhandahålla olika samplingshastigheter utan att förstöra signalkomponenterna. I figur 1 kan du se ett blockschema över ett tvåkanaligt flerhastighetssystem.

Flerhastighetsfilterbank

En flerhastighetsfilterbank delar upp en signal i ett antal delband, som kan analyseras med olika hastigheter som motsvarar frekvensbandens bandbredd. Ett viktigt faktum i flerhastighetsfiltrering är att signalen bör filtreras före decimering, annars skulle aliasing och frekvensvikning inträffa.

Flerhastighetsfilterdesigner

Flerhastighetsfilterdesign använder sig av egenskaperna för decimering och interpolation (eller expansion) i designimplementeringen av filtret. Decimering eller nedsampling med faktorn $M$ innebär i huvudsak att behålla varje $M^{th}$ sampel av en given sekvens.

Decimering, Interpolation och Modulation

Generellt sett är användning av decimering mycket vanligt i flerhastighetsfilterdesigner. I det andra steget, efter att ha använt decimering, kommer interpolation att användas för att återställa samplingshastigheten. Fördelen med att använda decimatorer och interpolator är att de kan minska beräkningarna när de resulterar i en lägre samplingsfrekvens.

Decimering med faktorn $M$ kan matematiskt definieras som: ${x(n)}_{\downarrow {}M}=x( Mn)$ eller motsvarande, $X(z)_{\downarrow M}={\frac {1}{M} }\summa _{m=0}^{M-1}X(z^{\frac {1}{M}})$ .

Expansion eller uppsampling med en faktor M innebär att vi infogar M-1 nollor mellan varje sampel av en given signal eller en sekvens. Expansionen med en faktor M kan matematiskt förklaras som: $x(n)_{\uparrow M} ={\begin{cases}{\begin{array}{c}x({\frac {n}{M}})\\0\end{array}}&{\begin{array}{c}{\ frac {n}{M}}\\otherwise\end{array}}\end{cases}}$

eller motsvarande, ${X(z)}_{\uparrow {}M}=X(z^{M})$ .

Modulering behövs för olika typer av filterkonstruktioner. Till exempel, i många kommunikationstillämpningar behöver vi modulera signalen till basband. Efter att ha använt lågpassfiltrering för basbandssignalen använder vi modulering och ändrar basbandssignalen till mittfrekvensen för bandpassfiltret. Här ger vi två exempel på att designa smala lågpassfilter med flera hastigheter och smala bandpass.

Smalt lågpassfilter

Vi kan definiera ett smalt lågpassfilter som ett lågpassfilter med ett smalt passband. För att skapa ett smalt lågpass-FIR-filter med flera hastigheter måste vi ersätta det tidsinvarianta FIR-filtret med ett lågpass-antialiasing-filter och använda en decimator tillsammans med en interpolator och lågpass-anti-avbildningsfilter. På detta sätt skulle det resulterande flerhastighetssystemet vara ett tidsvarierande linjärt fasfilter via decimatorn och interpolatorn. Denna process förklaras i blockschemaform där figur 2(a) ersätts av figur 2(b). Lågpassfiltret består av två flerfasfilter, ett för decimatorn och ett för interpolatorn.

Flerhastighetsfilterbank

Filterbanker har olika användning inom många områden, såsom signal- och bildkomprimering och bearbetning. Den huvudsakliga användningen av att använda filterbanker är att vi på detta sätt kan dela upp signalen eller systemet till flera separata frekvensdomäner.

En filterbank delar ingångssignalen $x\left(n\right)$ i en uppsättning signaler $x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$ . På detta sätt motsvarar var och en av de genererade signalerna en annan region i spektrumet av $x\left(n\right)$ . I denna process kan det vara möjligt att regionerna överlappar varandra (eller inte, baserat på applikation). Figur 4 visar ett exempel på en trebandsfilterbank. De genererade signalerna $x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...$ kan genereras via en samling uppsättningar bandpassfilter med bandbredderna $BW_{1},BW_{2},BW_{3},...$ och mittfrekvenser $f_{c1},f_{c2},f_{c3},...$ (respektive). En flerhastighetsfilterbank använder en enda insignal och producerar sedan flera utsignaler av signalen genom filtrering och subsampling. För att dela upp insignalen i två eller flera signaler (se figur 5) kan ett analys-syntessystem användas. I figur 5 används endast 4 delsignaler.

Signalen skulle delas upp med hjälp av fyra filter $H_{k}(z)$ för k =0,1,2,3 i 4 band med samma bandbredd (I analysbanken) och då decimeras varje delsignal med en faktor 4. I varje band skulle vi ha olika signalegenskaper genom att dividera signalen i varje band.

I syntessektionen kommer filtret att rekonstruera den ursprungliga signalen: Först, uppsampling av de 4 delsignalerna vid utgången av processorenheten med en faktor 4 och filtrera sedan med 4 syntesfilter F k ( z ) { $} (z)}$ för k = 0,1,2,3. Slutligen läggs utsignalerna från dessa fyra filter till.

Flerdimensionella filterbanker

Flerdimensionell filtrering , nedsampling och uppsampling är huvuddelarna i flerdimensionella flerhastighetssystem och filterbanker .

En komplett filterbank består av analys- och syntessidorna. Analysfilterbanken delar upp en insignal till olika delband med olika frekvensspektra. Syntesdelen sätter ihop de olika delbandssignalerna och genererar en rekonstruerad signal. Två av de grundläggande byggstenarna är decimatorn och expandern. Som illustreras i figur 6 delas ingången in i fyra riktade delband som vart och ett av dem täcker ett av de kilformade frekvensområdena. I 1D-system behåller M-faldiga decimatorer endast de sampel som är multiplar av M och kasserar resten. medan decimatorerna i flerdimensionella system är DXD icke-singular heltalsmatris. den tar bara hänsyn till de prover som finns på gittret som genereras av decimatorn. Vanligt använda decimator är quincunx-decimatorn vars gitter genereras från Quincunx-matrisen som definieras av ${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$ . Ett quincunx-gitter som genereras av denna matris visas i figuren.

Quincunx gitter

Det är viktigt att analysera filterbanker ur ett frekvensdomänperspektiv när det gäller subbandsupplösning och rekonstruktion. Lika viktig är dock en Hilbert- rymdtolkning av filterbanker, som spelar en nyckelroll i geometriska signalrepresentationer. För en generisk K-kanal filterbank, med analysfilter $\left\{h_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K }$ , syntesfilter $\left\{g_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}$ och samplingsmatriser $\left\{M_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}$ . På analyssidan kan vi definiera vektorer i $l^{2}(Z^{d})$ som

$\varphi _{k,m}[n]{\stackrel {def}{=}}h_{k}^ {*}[M_{k}mn]$ , varje index med två parametrar: $1\leq k\leq K$ och $m\in Z^{2}$ .

På liknande sätt kan vi för syntesfiltren $g_{k}[n]$ definiera $\ psi _{k,m}[n]{\stackrel {def}{=}}h_{k}^{*}[M_{k}mn]$ .

Med tanke på definitionen av analys-/syntessidor kan vi verifiera att $c_{k}[m]=<x[n],\ varphi _{k,m}[n]>$

och för rekonstruktion del ${\hat {x}}[n]=\summa _ {1\leq k\leq K,m\in Z^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]$ .

Med andra ord beräknar analysfilterbanken den inre produkten av insignalen och vektorn från analysuppsättningen. Dessutom, den rekonstruerade signalen i kombinationen av vektorerna från syntesmängden och kombinationskoefficienterna för de beräknade inre produkterna, vilket betyder att ${\hat {x}}[n]=\summa _{1\leq k\leq K,m\in Z^{2} <x[n],\varphi _{k,m}[n]>\psi _{k,m}[n]$

Om det inte sker någon förlust i nedbrytningen och den efterföljande rekonstruktionen, kallas filterbanken perfekt rekonstruktion . (i så fall skulle vi ha $x[n]={\hat {x[n]}}$ .

Flerdimensionell filterbanksdesign

1-D filterbanker har varit väl utvecklade fram till idag. Men många signaler, såsom bild, video, 3D-ljud, radar, ekolod, är flerdimensionella och kräver design av flerdimensionella filterbanker.

Med den snabba utvecklingen av kommunikationsteknik behöver signalbehandlingssystem mer utrymme för att lagra data under bearbetning, överföring och mottagning. För att minska den data som ska bearbetas, spara lagring och minska komplexiteten, introducerades flerhastighetssamplingstekniker för att uppnå dessa mål. Filterbanker kan användas inom olika områden, såsom bildkodning, röstkodning, radar och så vidare.

Många 1D-filterfrågor studerades väl och forskare föreslog många 1D-filterbanksdesignmetoder. Men det finns fortfarande många flerdimensionella filterbankdesignproblem som måste lösas. ^[6] Vissa metoder kanske inte rekonstruerar signalen på ett bra sätt; vissa metoder är komplexa och svåra att implementera.

Design av separerbar filterbank

Den enklaste metoden för att designa flerdimensionella filterbanker är att kaskadbilda 1D-filterbanker i form av en trädstruktur där decimeringsmatrisen är diagonal och data bearbetas i varje dimension separat. Sådana system kallas separerbara system.

Design av icke-separerbara flerdimensionella filterbanker

Nedan finns flera tillvägagångssätt för design av flerdimensionella filterbanker.

Kvadrantfilterbanker

2-Channel Multidimensional Perfect Reconstruction (PR) filterbanker

Fläktfilter

I verkligheten vill vi alltid rekonstruera den delade signalen tillbaka till den ursprungliga, vilket gör PR-filterbanker mycket viktiga. Låt H( z ) vara överföringsfunktionen för ett filter. Filtrets storlek definieras som ordningen för motsvarande polynom i varje dimension. Symmetrin eller antisymmetrin för ett polynom bestämmer den linjära fasegenskapen för motsvarande filter och är relaterad till dess storlek. Liksom 1D-fallet är aliastermen A(z) och överföringsfunktionen T(z) för en 2-kanals filterbank:

₀₀₀₀₀₀ A( z )=1/ ₂ (H (-z ) F ( z )+Hi ( -z )Fi ( z )) _; T( z )=1/2(H ( z ) F ( z )+Hi ₍ z ) Fi ( _z )), där H och H1 _är sönderdelningsfilter, och F och F1 _är rekonstruktionsfilter.

Insignalen kan rekonstrueras perfekt om aliastermen är annullerad och T( z ) lika med en monomial. Så det nödvändiga villkoret är att T'( z ) är generellt symmetrisk och av en udda-för-udda storlek. Linjära fas PR-filter är mycket användbara för bildbehandling. Denna 2-kanals filterbank är relativt lätt att implementera. Men 2 kanaler räcker ibland inte för användning. 2-kanals filterbanker kan kaskadkopplas för att generera flerkanaliga filterbanker.

Fyra möjliga parallellogramstöd för tvåkanalsfilterbanken

För att förstå hur 2-kanals flerdimensionella filterbanker fungerar måste vi först förstå designprocessen för en enkel 2D tvåkanalig filterbank. Särskilt diamantfilterbankerna är av speciellt intresse i vissa bildkodningsapplikationer. Decimeringsmatrisen M för diamantfilterbanken är vanligtvis quincunx-matrisen som diskuteras kort i avsnitten ovan. För ett tvåkanalssystem finns det bara fyra filter, två analysfilter och två syntesfilter. Så i vissa konstruktioner väljs två eller tre filter så att det inte finns någon alias och de återstående filtren optimeras sedan för att uppnå ungefärlig rekonstruktion. Design av 2D-filter är mer komplexa än 1D-filter. Så vi använder vanligtvis lämpliga kartläggningstekniker för att uppnå perfekt rekonstruktion. En flerfasig kartläggningsmetod föreslås för att designa ett IIR-analysfilter. För filterbanker med FIR-filtertyper har flera 1D till 2D transformationer övervägts. Till exempel McClellan-transformationen för att uppnå FIR-filterbankerna.

Det har också funnits ett visst intresse för kvadrantfilter som visas. Decimeringsmatrisen för en kvadrantfilterbank ges av D = ${\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Fläktfiltren är skiftade versioner av diamantfiltren och därför är diamantfilterbankerna utformade och kan skiftas med ( π 0 ) i frekvensdomänen för att erhålla ett fläktfilter. Filterbanker där filtren har parallellogramstöd är också av viss betydelse. Flera parallellogramstöd för analys och syntesfilter visas också. Dessa filter kan härledas från diamantfiltren genom att använda uni-modulär transformation.

Trädstrukturerade filterbankar

Trädstrukturanalys filtrerar banker genom att dela upp det k:te delbandet.

För en given subbandanalysfilterbank kan vi dela upp den i ytterligare subband som visas i figur 8. Genom att upprepa denna operation kan vi faktiskt bygga en trädstrukturerad analysbank. Exempel på en 1D-trädstrukturerad filterbank är den som resulterar i en oktavstapling av passbanden. I 2D-fallet kan trädstrukturer baserade på enkla tvåkanalsmoduler erbjuda sofistikerade banddelningsscheman, speciellt om vi kombinerar de olika konfigurationerna som visas ovan. Riktningsfilterbanken som kommer att diskuteras nedan är ett sådant exempel.

Flerdimensionella riktningsfilterbanker

M-dimensionella riktningsfilterbankar (MDFB) är en familj av filterbanker som kan åstadkomma riktningssönderdelning av godtyckliga M-dimensionella signaler med en enkel och effektiv trädstrukturerad konstruktion. De har många utmärkande egenskaper som: riktningsnedbrytning, effektiv trädkonstruktion, vinkelupplösning och perfekt rekonstruktion. I det allmänna M-dimensionella fallet är de idealiska frekvensstöden för MDFB hyperkubbaserade hyperpyramider . Den första sönderdelningsnivån för MDFB uppnås av en N-kanal odecimerad filterbank, vars komponentfilter är MD "timglas"-formade filter inriktade med w1,..., _wM respektive _axlar . ^{( Li Därefter} sönderdelas insignalen ytterligare av en serie 2-D iterativt omsamplade schackbrädefilterbanker IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M), där IRC _li ) arbetar på 2- D skivor av insignalen representerade av dimensionsparet (ni, _ni ) och upphöjd (Li) betyder _{nedbrytningsnivåerna} för den i:te nivåns filterbank. Observera att, med början från den andra nivån, kopplar vi en IRC-filterbank till varje utgångskanal från föregående nivå, och därför har hela filtret totalt 2 ( L 1 ^{+ ... ₊ L N ₎ utgångskanaler} .

Flerdimensionella översamplade filterbanker

Översamplade filterbanker är flerhastighetsfilterbanker där antalet utmatade sampel vid analyssteget är större än antalet ingångssampel. Det föreslås för robusta tillämpningar. En speciell klass av översamplade filterbanker är icke-subsamplade filterbanker utan nedsampling eller uppsampling. Det perfekta rekonstruktionsvillkoret för en översamplad filterbank kan anges som ett matrisinverst problem i flerfasdomänen.

För IIR-översamplade filterbanker har perfekt rekonstruktion studerats i Wolovich och Kailath. i samband med kontrollteori. Medan vi för FIR-översamplade filterbanker måste använda en annan strategi för 1-D och MD, är FIR-filter mer populära eftersom de är lättare att implementera. För 1-D översamplade FIR-filterbanker spelar den euklidiska algoritmen en nyckelroll i det omvända matrisproblemet. Den euklidiska algoritmen misslyckas dock för flerdimensionella (MD) filter. För MD-filter kan vi konvertera FIR-representationen till en polynomrepresentation. och använd sedan algebraisk geometri och Gröbner-baser för att få ramverket och rekonstruktionsvillkoren för de flerdimensionella översamplade filterbankerna.

Flerdimensionella filterbanker som använder Grobner-baser

Den allmänna flerdimensionella filterbanken (Figur 7) kan representeras av ett par analys- och syntespolyfasmatriser $H(z)$ och $G(z)$ med storleken $N\times M$ och $M\times N$ , där N är antalet kanaler och $M{\stackrel {def}{=}}|M|$ är det absoluta värdet av determinanten för samplingsmatrisen. Även $H(z)$ och $G(z)$ är z-transformen av flerfaskomponenterna i analys- och syntesfiltren. Därför är de multivariata Laurent-polynom , som har den allmänna formen:

$F(z)=\sum _{k\in Z^{d}}f[k]z^{k}=\summa _{k\in Z^{d}}f[ k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}$ . Laurents polynommatrisekvation måste lösas för att $G(z)H(z)=I_{|M|}$ perfekta rekonstruktionsfilterbanker: .

I det flerdimensionella fallet med multivariata polynom måste vi använda teorin och algoritmerna för Grobner-baser (utvecklade av Buchberger)

"Grobner-baser" kan användas för att karakterisera flerdimensionella filterbanker för perfekt rekonstruktion, men det måste först sträcka sig från polynommatriser till Laurent-polynommatriser .

Grobnerbasberäkningen kan betraktas som ekvivalent som Gaussisk eliminering för att lösa polynommatrisekvationen $G(z)H(z)=I_{|M|}$ . Om vi ​​har en uppsättning polynomvektorer $Module\left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {def}{ =}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}$ där $:c_{1}(z),...,c_{N}(z)$ är polynom.

Modulen är analog med spännvidden av en uppsättning vektorer i linjär algebra. Teorin om Grobner-baser innebär att modulen har en unik reducerad Grobner-bas för en given ordning av kraftprodukter i polynom.

Om vi ​​definierar Grobner-basen som ${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}} ,$ den kan erhållas från $\left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}$ med en ändlig sekvens av reduktions- (divisions)steg.

Med omvänd ingenjörskonst kan vi beräkna basvektorerna $b_{i}(z)$ i termer av de ursprungliga vektorerna $h_{j}(z)$ till a $K\ gånger N$ transformationsmatris $W_{ij}(z)$ som

$b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K$

Kartläggningsbaserade flerdimensionella filterbanker

Att designa filter med bra frekvenssvar är utmanande via Grobner-baser.

Kartläggningsbaserad design används populärt för att designa icke-separerbara flerdimensionella filterbanker med bra frekvenssvar.

Kartläggningsmetoderna har vissa begränsningar för typen av filter; Det ger dock många viktiga fördelar, såsom effektiv implementering via lyft-/stegekonstruktioner. Här ger vi ett exempel på tvåkanaliga filterbanker i 2D med samplingsmatris $D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{ array}}\right]$ Vi skulle ha flera möjliga val av ideala frekvenssvar för kanalfiltret $H_{0}(\xi )$ och $G_{0}( \xi)$ . (Observera att de andra två filtren $H_{1}(\xi )$ och $G_{1}(\xi)$ stöds på komplementära regioner.)

Alla frekvensområdena i figuren kan kritiskt samplas av det rektangulära gittret som sträcks av $D_{1}$ . Så tänk dig att filterbanken uppnår perfekt rekonstruktion med FIR-filter. Av flerfasdomänkarakteriseringen följer sedan att filtren Hl(z) och G1(z) är fullständigt specificerade av H0(z) respektive G0(z). Därför måste vi designa H0(x) och G0(z) som har önskade frekvenssvar och som uppfyller polyfasdomänvillkoren. $H_{0}(z_{1}, z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{ 2})=2$ Det finns olika mappningstekniker som kan användas för att få ovanstående resultat.

Filterbanksdesign i frekvensdomänen

Om vi ​​inte vill ha perfekta rekonstruktionsfilterbanker som använder FIR-filter, kan designproblemet förenklas genom att arbeta i frekvensdomän istället för att använda FIR-filter.

Observera att frekvensdomänmetoden inte är begränsad till utformningen av filterbanker som inte har undersamplats (läs ).

Riktningsfilterbanker

Bamberger och Smith föreslog en 2D-riktad filterbank (DFB). DFB implementeras effektivt via en l -nivå trädstrukturerad nedbrytning som leder till $2^{l}$ subband med kilformad frekvenspartition (se figur ). Den ursprungliga konstruktionen av DFB innebär att modulera insignalen och använda diamantformade filter. Dessutom, för att erhålla den önskade frekvenspartitionen, måste en komplicerad trädexpansionsregel följas. Som ett resultat följer inte frekvensområdena för de resulterande delbanden en enkel ordning som visas i figur 9 baserat på kanalindexen.

Den första fördelen med DFB är att det inte bara är en redundant transformation utan också erbjuder perfekt rekonstruktion. En annan fördel med DFB är dess riktningselektivitet och effektiva struktur. Denna fördel gör DFB till ett lämpligt tillvägagångssätt för många signal- och bildbehandlingsanvändningar.

Riktningsfilterbanker kan utvecklas till högre dimensioner. Den kan användas i 3D för att uppnå frekvenssektionering. Dessa typer av filter kan användas i selektiva filtreringsändamål för att registrera och spara signalinformation och funktioner. Några andra fördelar med NDFB kan hanteras enligt följande: Riktningssönderdelning , konstruktion , vinkelupplösning , perfekt rekonstruktion och liten redundans .

Flerdimensionella riktningsfilterbanker

N-dimensionella riktningsfilterbanker (NDFB) kan användas för att fånga signalegenskaper och information. Det finns ett antal studier om att fånga signalinformation i 2-D (t.ex. styrbar pyramid, den riktade filterbanken, 2-D riktningsvågor , kurvor, komplexa (dubbelträds-) vågor, konturer och bandelett) , med recensioner för instans i.

Slutsats och tillämpning

Filterbanker spelar en viktig roll i olika aspekter av signalbehandling idag. De har olika användning inom många områden, såsom signal- och bildkomprimering och bearbetning. Den huvudsakliga användningen av filterbanker är att vi på detta sätt kan dela upp signalen eller systemet till flera separata frekvenskomponenter. Beroende på vårt syfte kan vi välja olika metoder för att designa filtren. På den här sidan ger vi information om filterbanker, flerdimensionella filterbanker och olika metoder för att designa flerdimensionella filter. Vi pratade också om MDFB, som bygger på en effektiv trädstrukturerad konstruktion, vilket leder till ett lågt redundansförhållande och förfinbar vinkelupplösning. Genom att kombinera MDFB med en ny flerskalig pyramid kan vi konstruera ytskiktstransformen, som har potential att effektivt fånga och representera ytliknande singulariteter i flerdimensionella signaler. MDFB och ytskiktstransform har tillämpningar inom olika områden som involverar bearbetning av flerdimensionell volymetrisk data, inklusive videobehandling, seismisk bildbehandling och medicinsk bildanalys. Några andra fördelar med MDFB inkluderar: Riktad nedbrytning , konstruktion , vinkelupplösning , perfekt rekonstruktion och liten redundans .