Flerdimensionell signalåterställning

I flerdimensionell signalbehandling hänvisar flerdimensionell signalåterställning till problemet med att uppskatta den ursprungliga insignalen från observationer av den förvrängda eller bruskontaminerade versionen av den ursprungliga signalen med användning av viss tidigare information om insignalen och/eller distorsionsprocessen . Flerdimensionella signalbehandlingssystem som ljud- , bild- och videobehandlingssystem tar ofta emot som insignal signaler som genomgår förvrängningar som suddighet, bandbegränsning etc. under signalinsamling eller överföring och det kan vara viktigt att återställa den ursprungliga signalen för ytterligare filtrering. Flerdimensionell signalåterställning är ett omvänt problem , där endast den förvrängda signalen observeras och viss information om distorsionsprocessen och/eller insignalens egenskaper är känd. En allmän klass av iterativa metoder har utvecklats för det flerdimensionella restaureringsproblemet med framgångsrika tillämpningar för flerdimensionell dekonvolution , signalextrapolering och denoising .

Definition

I allmänhet kan det flerdimensionella signalåterställningsproblemet representeras av en ekvation av formen,

_ },....,n_{m})=D[x(n_{1},n_{2},.....,n_{m})]}

där $y(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ representerar den observerade m-dimensionella förvrängda utsignal, $x(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ representerar den m-dimensionella oförvrängd insignal och $D[\cdot ]$ representerar distorsionsoperatorn som verkar på insignalen. $D[\cdot ]$ kan användas för att modellera ett brett spektrum av transformationer såsom oskärpa, additivt brus, tidsbegränsning, bandbegränsning etc. av flerdimensionella signaler.

En enkel okomplicerad lösning på ovanstående ekvation är av formen,

_ {2},....,n_{m})=D^{-1}[y(n_{1},n_{2},.....,n_{m})]}

där $D^{-1}[\cdot ]$ är den omvända distorsionsoperatorn.

Men i de flesta fall av praktisk användning kan det vara extremt svårt att implementera operatorn för omvänd distorsion $D^{-1}[\cdot ]$ eller så kanske en sådan invers distorsionsoperator inte existerar och även i situationer där distorsionsoperatorn $D[\cdot ]$ är känd och dess invers ungefär kan implementeras, den resulterande rekonstruerade signalen ${\tilde {x}}(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ kan ha mycket stora rekonstruktionsfel på grund av de felaktigheter som finns i uppskattningen av invers operator $D^{-1}[\cdot ]$ . En allmän klass av iterativa metoder baserad på idén om successiv approximation används för att uppskatta den okända insignalen $x(n_{1},n_{2 },....,n_{m})$ .

Generaliserad begränsad iIterativ signalåterställning

Eftersom ett enkelt tillvägagångssätt för att återställa insignalen ${\displaystyle x(n_{1},n_{2},....,n_{m}) } genom att implementera den$ $) {\displaystyle y(n_{1},n_{2},....,n_{m})}$ distorsionsoperatorn $D^{-1}[\cdot ]$ på den observerade signalen är inte praktiskt, specifika iterativa återställningsalgoritmer utvecklades för vissa typer av distorsioner som oskärpa, stöd för finita signaldomäner, stöd för finita frekvensdomäner av signaler etc. som gör vissa antaganden om egenskaperna hos insignalen såsom ändlig tid/spatial-domänstöd, icke-negativitet etc. En generaliserad iterativ metod som kan modellera de ovan nämnda distorsionerna och signaldomänspecifika begränsningarna utvecklades senare.

Den allmänna iterativa lösningen baserad på successiv approximation kan ha följande form,

_ x}}_{k+1}(n_{1},n_{2},....,n_{m})=F[{\tilde {x}}_{k}(n_{1}, n_{2},.....,n_{m})]}

där ${\tilde {x}}_{k+1}(n_{1},n_{2},.. ..,n_{m})$ är uppskattningen av insignalen vid iteration $k+1$ , ${\tilde {x}}_{k}(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ är uppskattningen vid iteration $k$ och $F[\cdot ]$ representerar iterationsoperatorn som relaterar signaluppskattning vid iteration $k+1$ till signaluppskattningen vid iteration $k$ .

I många fall är vissa signaldomänegenskaper hos insignalen som ska rekonstrueras kända och kan vanligtvis modelleras som en begränsning. Restriktionen kan definieras av begränsningsoperatorn $C$ , så att

x(n_{1},n_{2},. ...,n_{m})=Cx(n_{1},n_{2},....,n_{m})

endast om $x(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ uppfyller kravet ${\ displaystil C}$ . Det har visat sig att en sådan restriktionsoperatörsformulering kan användas för att modellera signaldomänegenskaper som icke-negativitet, finita frekvensdomänstöd, finita spatial domänstöd. Den observerade signalen $y(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ kan alltså representeras i termer för distorsionsoperatorn $D$ och signaldomänrestriktionen $C$ som

_ ....,n_{m})=DCx(n_{1},n_{2},....,n_{m})}

där sammanlänkningen $DC$ representerar sekvensen för att framtvinga en signaldomänrestriktion följt av en distorsionsoperation på insignalen $x(n_ {1},n_{2},....,n_{m})$ . Under antagandet att villkoren för unikhet och konvergens av den iterativa lösningen är uppfyllda, ges den generaliserade, begränsade iterativa återställningslösningen som

{\tilde {x}}_{k+1}(n_{1},n_{2},....,n_{m})= {\tilde {x}}_{0}(n_{1},n_{2},...,n_{m})+(I-\lambda D)Cx_{k}(n_{1},n_ {2},....,n_{m})

{\tilde {x}}_{0}( n_{1},n_{2},....,n_{m})=\lambda y

där $\lambda$ är en konstant för att styra konvergenshastigheten, $I$ är identitetsmatrisen och ${2},...,n_{m})}$ ${\displaystyle {\tilde { x}}_{0}(n_{1},$ $x(n_{1},n_{2},....,n_{m})$ är den initiala uppskattningen av .

Begränsad iterativ dekonvolution

I fall där distorsionsoperatorn är både linjär och skiftinvariant kan distorsionen av insignalen enkelt modelleras som en faltning

y(n_{1},n_{2},....,n_{m})=x(n_{1},n_{2},.....,n_{m})\ ast \ast h(n_{1},n_{2},..,n_{m})

där $h(n_{1},n_{2},..,n_{m})$ representerar impulssvaret för den linjära skiftinvarianta distorsionen filtrera. Under antagandet av linjär skiftinvarians kan det allmänna signalåterställningsproblemet omvandlas till ett dekonvolutionsproblem med följande lätt implementerbara iterativa lösning,

{\tilde {x}}_{k+1}(n_{1},n_ {2},...,n_{m})=\lambda y(n_{1},n_{2},....,n_{m})+g(n_{1},n_{2} ,....,n_{m})\ast \ast C[{\tilde {x}}_{k}(n_{1},n_{2},....,n_{m})]

g(n_{1},n_{2},....,n_{m})=\delta (n_{1},n_{2},....,n_{m} )-\lambda h(n_{1},n_{2},....,n_{m})

där $\delta (n_{1},n_{2},...,n_{m})$ är en m-dimensionell impuls och $\lambda$ är en konstant för att kontrollera konvergenshastigheten. Även om denna lösning lätt kan implementeras genom faltning , konvergerar iterationerna till en lösning endast när $H(\omega _{1},\omega _ {2},....,\omega _{m})\neq 0$ , där $H(\omega _{1}, \omega _{2},....,\omega _{m})$ representerar frekvenssvaret för distorsionsfiltret $h(n_{ 1},n_{2},...,n_{m})$ .

Genom att införa en signaldomänrestriktion av ändlig utsträckning stöd och positivitet över den ändliga regionen av stöd, kan den begränsade iterativa dekonvolutionslösningen garanteras konvergera. En sådan signaldomänbegränsning kan realistiskt införas för många fall av praktisk användning. Till exempel, i fallet med oskärpa av bilder , kan oskärpa kärnan antas ha ett positivt impulssvar över ett ändligt stödområde.

Signalåterställning från fas

Bildåterställning från fasinformation och enhetsstorlek

I vissa flerdimensionella signalbehandlingstillämpningar kan fasen för frekvensdomänsvaret för insignalen bevaras även efter att ha genomgått distorsion . För fasbevarande distorsioner är det möjligt att unikt återställa en multidimensionell signal helt och hållet från fasen av dess Fouriertransform så länge som villkoren för unikhet och konvergens uppfylls.

Idén att återställa en signal från fasen av frekvensdomänsvaret för insignalen är ett särskilt användbart resultat för bilder (2-D-signaler). Om man antar en fasbevarande distorsion och att det finns en unik lösning för att återställa en signal från dess fas, tar den fasbaserade signalåterställningsalgoritmen formen av en iterativ transformation mellan frekvensdomän och signaldomän, där en frekvensdomänbegränsning (fasbevarande) påtvingas först på Fourier-transformen av den aktuella uppskattningen av signalen, följt av en spatial domänbegränsning (finit region av stöd) som framtvingas i signaldomänen på den aktuella uppskattningen av signalen.

Signalåterställning från magnitud

Bildåterställning från magnitudinformation och slumpmässig inledande fas

Bildåterställning från magnitudinformation och 1 bit kvantiserad initial fas

I likhet med den fasbaserade återställningen av en okänd insignal, är det också möjligt att återställa en signal från storleken på frekvensdomänsvaret för den observerade signalen. I vissa optiska system är det mycket lättare att mäta storleken på signalen eller storleken på dess Fourier-transform , men det är mycket svårt att exakt mäta fasen för antingen signalen eller dess Fourier-transform . Sådana fall representerar en storhetsbevarande distorsion som verkar på insignalen.

Om man antar en storhetsbevarande distorsion och att det finns en unik lösning för att återställa en signal från dess storlek, tar den magnitudbaserade signalåterställningsalgoritmen formen av en iterativ transformation mellan frekvensdomän och signaldomän, där en frekvensdomänbegränsning (magnitudebevarande) påtvingas först på Fourier-transformen av den aktuella uppskattningen av signalen, följt av en rumslig domänrestriktion (ändlig region av stöd) som framtvingas i signaldomänen på den aktuella uppskattningen av signalen.

Även om den magnitudbaserade signalåterställningsmetoden är mycket lik den fasbaserade återhämtningsmetoden, är konvergensen av den magnitudbaserade återställningsmetoden till ett acceptabelt resultat mycket svårare att uppnå. I allmänhet kan det hända att att börja med en nollfasuppskattning eller en slumpmässig fasuppskattning för den magnitudbaserade signalåtervinningsmetoden inte resulterar i konvergens, där som i fallet med den fasbaserade signalåtervinningsmetoden, till och med börjar med en konstant enhetsstorlek för Fouriertransformen av den uppskattade signalen resulterar i konvergens. Slumpmässig eller nollfasinitiering för magnitudbaserad signalåtervinning av bilder, resulterar vanligtvis inte i acceptabla rekonstruktionsresultat även efter ett stort antal iterationer. Å andra sidan, att börja med en initial fasinformation som är en brusig eller kraftigt kvantiserad version (men inte slumpmässig eller enhetlig fas) av den ursprungliga fasinformationen, resulterar i en mycket snabb konvergens av den magnitudbaserade signalåtervinningsstrategin. Det har visat sig att en bild perfekt kan återställas från storleken på dess Fouriertransform och 1-bitars kvantisering av den ursprungliga signalfasinformationen (dvs. den initiala uppskattningen för fasen av Fouriertransformen kan bara ha två värden, antingen $0$ eller $\pi$ ).

Se även