Fibonorial

I matematik är Fibonorial n ! _F , även kallad Fibonaccifaktorial , där n är ett icke-negativt heltal , definieras som produkten av de första n positiva Fibonaccitalen , dvs.

${n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},\quad n\geq 0 ,$

där F _i är det i : ^te Fibonacci-talet och 0! _F ger den tomma produkten (definierad som den multiplikativa identiteten , dvs 1).

The Fibonorial n ! _F definieras analogt med faktorial n ! . Fibonorialtalen används i definitionen av fibonomialkoefficienter (eller Fibonacci-binomialkoefficienter) på samma sätt som faktortalen används i definitionen av binomialkoefficienter .

Asymptotiskt beteende

Serien av fibonorial är asymptotisk till en funktion av det gyllene snittet $\displaystyle \varphi }$ { : $n!_{F}\sim C{\frac {\varphi ^{n(n+1)/2}}{5^{ n/2}}}$ .

Här definieras fibonorialkonstanten (även kallad fibonaccifaktorialkonstanten ) ${\displaystyle C} av$$C=\prod _{k=1}^{\ infty }(1-a^{k})$ , där $a=-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}$ och $\varphi$ är det gyllene snittet .

Ett ungefärligt trunkerat värde på $C$ är 1,226742010720 (se (sekvens A062073 i OEIS ) för fler siffror).

Nästan fibonoriala tal

Nästan fibonoriala tal: n ! _F − 1 .

Nästan-fibonoriala primtal: primtal bland de nästan-fibonoriala talen.

Kvasi-fibonoriala tal

Kvasi-fibonoriella tal: n ! _F + 1 .

Kvasi-fibonoriala primtal: primtal bland de kvasi-fibonoriala talen.

Anslutning till q-Factorial

Fibonorialen kan uttryckas i termer av q-faktor och det gyllene snittet $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ :

$n!_{F}=\varphi ^{\binom {n}{2}}\,[n]_{-\varphi ^{-2}}!.$

Sekvenser

OEIS : A003266 Produkt av de första n fibonaccitalen som inte är noll F (1), ..., F ( n ) .

OEIS : A059709 och OEIS : A053408 för n så att n ! _F − 1 och n ! _F + 1 är primtal.

• Weisstein, Eric W. "Fibonorial" . MathWorld .