I matematik definieras fibonomialkoefficienterna eller fibonacci - binomialkoefficienterna som
(
n k
)
F
=
F
n
F
n − 1
⋯
F
n − k + 1
F
k
F
k − 1
⋯
F
1
=
n
!
F
k
!
F
( n - k )
!
F
{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}\cdots F_{n-k+1}}{F_{k}F_ {k-1}\cdots F_{1}}}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(nk)!_{F}}}}
där n och k är icke-negativa heltal, 0 ≤ k ≤ n , F j är det j :te Fibonacci-talet och n ! F är den n :e Fibonorialen , dvs
n !
F
:=
∏
i = 1
n
F
i
,
{\displaystyle {n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},}
där 0! F , som är den tomma produkten , utvärderas till 1.
Särskilda värden
De fibonomiska koefficienterna är alla heltal. Några speciella värden är:
(
n
0
)
F
=
(
n n
)
F
= 1
{\displaystyle {\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1}
(
n 1
)
F
=
(
n
n − 1
)
F
=
F
n
{\displaystyle {\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{ n}}
(
n 2
)
F
=
(
n
n − 2
)
F
=
F
n
F
n − 1
F
2
F
1
=
F
n
F
n − 1
,
{\displaystyle {\binom {n}{2}}_{ F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n }F_{n-1},}
(
n 3
)
F
=
(
n
n − 3
)
F
=
F
n
F
n − 1
F
n − 2
F
3
F
2
F
1
=
F
n
F
n − 1
F
n − 2
/
2 ,
{\displaystyle {\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n- 1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2,}
(
n k
)
F
=
(
n
n − k
)
F
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{nk}}_{F}.}
Fibonomial triangel
Fibonomkoefficienterna (sekvens A010048 OEIS ) liknar binomialkoefficienter och kan visas i en triangel som liknar Pascals triangel . De första åtta raderna visas nedan.
n =
0
{\displaystyle n=0}
1
n = 1
{\displaystyle n=1}
1
1
n = 2
{\displaystyle n=2}
1
1
1
n = 3
{\displaystyle n=3}
1
2
2
1
n = 4
{\displaystyle n=4}
1
3
6
3
1
n = 5
{\displaystyle n=5}
1
5
15
15
5
1
n = 6
{\displaystyle n=6}
1
8
40
60
40
8
1
n = 7
{\displaystyle n=7}
1
13
104
260
260
104
13
1
Återfallsrelationen
(
n k
)
F
=
F
n − k + 1
(
n − 1
k − 1
)
F
+
F
k − 1
(
n − 1
k
)
F
{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F} =F_{n-k+1}{\binom {n-1}{k-1}}_{F}+F_{k-1}{\binom {n-1}{k}}_{F} }
antyder att de fibonomiska koefficienterna alltid är heltal.
De fibonomiska koefficienterna kan uttryckas i termer av de Gaussiska binomialkoefficienterna och det gyllene snittet
φ =
1 +
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
(
n k
)
F
=
φ
k ( n − k )
(
n k
)
− 1
/
φ
2
{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}=\varphi ^{k\,(nk) }{\binom {n}{k}}_{-1/\varphi ^{2}}}
Ansökningar
Dov Jarden bevisade att Fibonomialerna framträder som koefficienter för en ekvation som involverar potenser av på varandra följande Fibonacci -tal, nämligen Jarden bevisade att givet en generaliserad Fibonacci-sekvens
G
n
{\displaystyle G_{n}}
G
n
=
G
n − 1
+
G
n − 2
{\displaystyle G_{n}=G_{n-1}+G_{n-2}}
n ,
{\displaystyle n,}
0
∑
j =
0
k + 1
( − 1
)
j ( j + 1 )
/
2
(
k + 1
j
)
F
G
n − j
k
= ,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{k+1}( -1)^{j(j+1)/2}{\binom {k+1}{j}}_{F}G_{nj}^{k}=0,}
för varje heltal
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
Benjamin, Arthur T.; Plott, Sean S. , A combinatorial approach to Fibonomial coefficients (PDF) , Dept. of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711, arkiverad från originalet (PDF) 2013-02-15 , hämtad 2009-04-04 {{ citation }} : CS1 underhåll: plats ( länk )
Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus
Weisstein, Eric W. "Fibonomial Coefficient" . MathWorld Dov Jarden, Recurring Sequences (andra upplagan 1966), sidorna 30–33.
