Fenchels teorem

Fenchels teorem
Typ	Sats
Fält	Differentialgeometri
Påstående	En jämn kurva med stängt utrymme har total absolut krökning med likhet om och endast om det är en konvex plankurva
Först angavs av	Werner Fenchel
Första beviset in	1929

I differentialgeometri är Fenchels teorem en olikhet på den totala absoluta krökningen av en sluten slät rymdkurva , som säger att den alltid är minst ${\displaystyle 2\pi$ } . På motsvarande sätt är medelkurvaturen minst ${\displaystyle 2\pi /L} ,$ där L $\displaystyle L}$ är längden på kurvan. De enda kurvorna av denna typ vars totala absoluta krökning är lika med $2\pi$ och vars medelkurvatur är lika med $2\pi /L$ är de plana konvexa kurvorna . Teoremet är uppkallat efter Werner Fenchel , som publicerade den 1929.

Fenchel-satsen förstärks av Fáry-Milnor-satsen , som säger att om en sluten slät enkel rymdkurva är nontrivially knuten , då är den totala absoluta krökningen större än $4π$ .

Bevis

Givet en sluten jämn kurva $\alpha :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}$ med enhetshastighet, hastigheten ${\displaystyle \gamma ={\dot {\alpha }}:[0,L]\to \mathbb {S} ^{2}} är$ också en sluten jämn kurva. Den totala absoluta krökningen är dess längd $l(\gamma )$ .

Kurvan $\gamma$ ligger inte i en öppen halvklot. Om så är fallet, så finns det $v\in \mathbb {S} ^{2}$ så att $\gamma \cdot v>0$ , så ${\displaystyle \textstyle 0=(\alpha (1)-\alpha (0))\cdot v=\int _{0} ^{L}\gamma (t)\cdot v\,\mathrm {d} t>0} ,$ en motsägelse. Detta visar också att om $\gamma$ ligger i en sluten halvklot, så är ${\displaystyle \gamma \cdot v\equiv 0} ,$ så $\alpha$ är en plan kurva.

Betrakta en punkt $\gamma (T)$ så att kurvorna $\gamma ([0,T])$ och ${\ displaystyle \gamma ([T,L])}$ har samma längd. Genom att rotera sfären kan vi anta att $\gamma (0)$ och $\gamma (T)$ är symmetriska kring axeln genom polerna. I föregående stycke, minst en av de två kurvorna $\gamma ([0,T])$ och $\gamma ([T, L])$ skär ekvatorn någon gång $p$ . Vi betecknar denna kurva med $\gamma _{0}$ . Då $l(\gamma )=2l(\gamma _{0})$ .

Vi reflekterar $\gamma _{0}$ över planet genom $\gamma (0)$ , $\gamma (T)$ och nordpolen, som bildar en sluten kurva $\gamma _{1}$ innehållande antipodalpunkter $\pm p$ , med längden $l(\gamma _{ 1})=2l(\gamma _{0})$ . En kurva som förbinder $\pm p$ har längden minst ${\displaystyle \pi } ,$ vilket är längden på den stora halvcirkeln mellan $\pm p$ . Så ${\displaystyle l(\gamma _{1})\geq 2\pi } ,$ och om likheten gäller så korsar inte $\gamma _{0}$ ekvatorn.

Därför är $l(\gamma )=2l(\gamma _{0})=l(\gamma _{1})\ geq 2\pi$ , och om likheten gäller så ligger $\gamma$ i en sluten halvklot, och således är $\alpha$ en plan kurva.

do Carmo, Manfredo P. (2016). Differentialgeometri för kurvor och ytor (Reviderad och uppdaterad andra upplagan av 1976 års originalutgåva). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . MR 3837152 . Zbl 1352.53002 .
Fenchel, Werner (1929). "Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven" . Mathematische Annalen (på tyska). 101 (1): 238–252. doi : 10.1007/bf01454836 . JFM 55.0394.06 . MR 1512528 . S2CID 119908321 .
Fenchel, Werner (1951). "Om differentialgeometrin för kurvor för slutna rymd" . Bulletin från American Mathematical Society . 57 (1): 44–54. doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09440-9 . MR 0040040 . Zbl 0042.40006 . ; se särskilt ekvation 13, sidan 49
O'Neill, Barrett (2006). Elementär differentialgeometri (Reviderad andra upplagan av 1966 års originalupplaga). Amsterdam: Academic Press . doi : 10.1016/C2009-0-05241-6 . ISBN 978-0-12-088735-4 . MR 2351345 . Zbl 1208.53003 .
Spivak, Michael (1999). En omfattande introduktion till differentialgeometri. Vol. III (Tredje upplagan av 1975 års originalupplaga). Wilmington, DE: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-72-1 . MR 0532832 . Zbl 1213.53001 .