Fenchels dualitetssats

Inom matematiken är Fenchels dualitetssats ett resultat i teorin om konvexa funktioner uppkallad efter Werner Fenchel .

Låt ƒ vara en riktig konvex funktion på R ⁿ och låt g vara en riktig konkav funktion på R ⁿ . Sedan, om villkoren för regelbundenhet är uppfyllda,

\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).

där ƒ ^* är det konvexa konjugatet av ƒ (även kallat Fenchel–Legendre-transformen) och g _* är det konkava konjugatet av g . Det är,

f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle - g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

Matematisk sats

Låt X och Y vara Banachmellanslag , $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ och $g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ vara konvexa funktioner och $A:X\to Y$ vara en avgränsad linjär karta . Sedan Fenchel-problemen:

p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y ^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}

uppfylla svag dualitet , dvs $p^{*}\geq d^{*}$ . Observera att $f^{*}, g^{*}$ är de konvexa konjugaten av f , g respektive och $A^{*}$ är adjointoperatorn . Störningsfunktionen för detta dubbla problem ges av $}$ ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y$ ) .

Antag att f , g och A uppfyller antingen

f och g är lägre halvkontinuerliga och $0\in \operatörsnamn {core} (\operatörsnamn {dom} gA\operatörsnamn {dom} f)$ där $\operatorname {core}$ är den algebraiska interiören och ${\displaystyle \operatorname {dom} h} ,$ där h är någon funktion, är mängden ${\ displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$ , eller
$A\operatörsnamn {dom} f\cap \operatorname {forts} g\neq \emptyset$ där $\operatörsnamn {forts}$ är punkterna där funktionen är kontinuerlig .

Då gäller stark dualitet , dvs $p^{*}=d^{*}$ . Om $d^{*}\in \mathbb {R}$ så uppnås det högsta värdet .

Endimensionell illustration

I följande figur illustreras minimeringsproblemet på vänster sida av ekvationen. Man försöker variera x så att det vertikala avståndet mellan de konvexa och konkava kurvorna vid x är så litet som möjligt. Placeringen av den vertikala linjen i figuren är det (ungefärliga) optimum.

Nästa figur illustrerar maximeringsproblemet på höger sida av ekvationen ovan. Tangenter dras till var och en av de två kurvorna så att båda tangenterna har samma lutning p . Problemet är att justera p på ett sådant sätt att de två tangenterna är så långt ifrån varandra som möjligt (närmare bestämt så att punkterna där de skär y-axeln är så långt från varandra som möjligt). Föreställ dig de två tangenterna som metallstänger med vertikala fjädrar mellan dem som trycker isär dem och mot de två parabolerna som är fixerade på plats.

Fenchels teorem säger att de två problemen har samma lösning. Punkterna som har den minsta vertikala separationen är också tangenspunkterna för de maximalt separerade parallella tangenterna.

Se även

Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). "Fenchel–Rockafellar Duality". Konvex analys och monoton operatörsteori i Hilbert Spaces . Springer. s. 247–262. doi : 10.1007/978-3-319-48311-5_15 . ISBN 978-3-319-48310-8 .
Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Konvex analys . Princeton University Press. sid. 327 . ISBN 0-691-01586-4 .