Fem-term exakt sekvens

I matematik är femterm exakt sekvens eller exakt sekvens av låggradstermer en sekvens av termer relaterade till det första steget i en spektralsekvens .

Mer exakt, låt

E_{2}^{p,q}\Rightarrow H^{n}(A)

vara en första kvadrantspektralsekvens, vilket betyder att $E_{2}^{p,q}$ försvinner förutom när p och q båda är icke-negativa. Sedan finns det en exakt sekvens

O → E2 ^1,0 → H1 ( A ⁾ → E2 ^0,1 → E2 _2,0^→_H2 ( A ) _.^_ _

Här är kartan $E_{2}^{0,1}\to E_{2}^{2,0}$ differentialen för $E_ {2}$ -term av spektralsekvensen.

Exempel

Uppblåsningsbegränsningens exakta sekvens

0 → H ¹ ( G / N , A ^N ) → H ¹ ( G , A ) → H ¹ ( N , A ) ^{G / N} → H ² ( G / N , A ^N ) → H ² ( G , A )

i gruppkohomologi uppstår som den femtermiga exakta sekvensen associerad med Lyndon-Hochschild-Serre-spektralsekvensen

H ^p ( G / N , H ^q ( N , A )) ⇒ H ^p+q ( G, A )

där G är en profinit grupp , N är en sluten normal undergrupp och A är en diskret G -modul .

Konstruktion

Sekvensen är en följd av definitionen av konvergens av en spektralsekvens. Den andra siddifferentialen med kodomän E ₂^1,0 härstammar från E ₂^−1,1 , som är noll genom antagande. Differentialen med domän E ₂^1,0 har kodomän E ₂^3,−1 , som också är noll genom antagande. På liknande sätt är inkommande och utgående differentialer för E _r^1,0 noll för alla $r \geq 2$ . Därför har termen (1,0) för den spektrala sekvensen konvergerat, vilket betyder att den är isomorf till en grad av ett graderat stycke av distansen H ¹ ( A ). Eftersom spektralsekvensen ligger i den första kvadranten, är graden ett graderat stycke lika med den första undergruppen i filtreringen som definierar de graderade bitarna. Inkluderingen av denna undergrupp ger injektionen E ₂^1,0 → H ¹ ( A ) som börjar den fem-termiga exakta sekvensen. Denna injektion kallas en kantkarta .

E ₂^0,1- termen för spektralsekvensen har inte konvergerat. Den har en potentiellt icke-trivial differential som leder till E ₂^2,0 . Emellertid börjar differentiallandningen vid E ₂^{0,1 vid} E ₂^−2,2 , vilket är noll, och därför är E ₃^0,1 kärnan i differentialen E ₂^0,1 → E ₂^2,0 . På den tredje sidan har (0, 1) termen för spektralsekvensen konvergerat, eftersom alla differentialer in i och ut ur E _r^0,1 antingen börjar eller slutar utanför den första kvadranten när $r \geq 3$ . Följaktligen E ₃^0,1 den grad nollgraderade delen av H ¹ ( A ). Denna graderade bit är kvoten av H ¹ ( A ) av den första undergruppen i filtreringen, och därför är det kokkärnan i kantkartan från E ₂^1,0 . Detta ger en kort exakt sekvens

0 → E₂^1,0 → H¹(A) → E₃^0,1 → 0.

Eftersom E ₃^0,1 är kärnan i differentialen E ₂^0,1 → E ₂^2,0 , kan den sista termen i den korta exakta sekvensen ersättas med differentialen. Detta ger en exakt sekvens med fyra termer. Kartan H ¹ ( A ) → E ₂^0,1 kallas även kantkarta.

Den utgående differentialen för E ₂^2,0 är noll, så E ₃^2,0 är kokkärnan för differentialen E ₂^0,1 → E ₂^2,0 . De inkommande och utgående differentialerna för E _r^2,0 är noll om $r \geq 3$ , återigen eftersom spektralsekvensen ligger i den första kvadranten, och därför har spektralsekvensen konvergerat. Följaktligen E ₃^2,0 isomorf till graden två graderad bit av H ² ( A ). I synnerhet är det en undergrupp av H ² ( A ). Den sammansatta E ₂^2,0 → E ₃^2,0 → H ² ( A ), som är en annan kantkarta, har därför en kärna lika med differentiallandningen vid E ₂^2,0 . Detta slutför konstruktionen av sekvensen.

Variationer

Den exakta femtermssekvensen kan utökas till priset av att en av termerna blir mindre explicit. Den exakta sjutermssekvensen är

0 → E ₂^1,0 → H ¹ ( A ) → E ₂^0,1 → E ₂^2,0 → Ker( H ² ( A ) → E ₂^0,2 ) → E ₂^1,1 → E ₂^{3 ,0} .

Denna sekvens sträcker sig inte omedelbart med en karta till H ³ ( A ). Även om det finns en kantkarta E ₂^3,0 → H ³ ( A ), är dess kärna inte den föregående termen i den exakta sjutermssekvensen.

För spektralsekvenser vars första intressanta sida är E ₁ , finns det en tretermsexakt sekvens analog med femtermexaktsekvensen:

0\to H^{0}(A)\to E_{1}^{0,0}\to E_{1}^{0,1}.

På liknande sätt för en homologisk spektralsekvens $E_{p,q}^{2}\Rightarrow H_{n}(A)$ får vi en exakt sekvens:

H_{2}(A)\to E_{2,0}^{2 }\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\to H_{1}(A)\to E_{1,0}^{2}\to 0

I både homologiska och kohomologiska fall finns det också låggradiga exakta sekvenser för spektrala sekvenser i den tredje kvadranten. När ytterligare termer av spektralsekvensen är kända för att försvinna, kan de exakta sekvenserna ibland utökas ytterligare. Till exempel kan den långa exakta sekvensen associerad med en kort exakt sekvens av komplex härledas på detta sätt.

Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001
Weibel, Charles A. (1994). En introduktion till homologisk algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .