Fekete problem

I matematik är Fekete -problemet , givet ett naturligt tal N och ett reellt s ≥ 0, att hitta punkterna x ₁ ,..., x _N på 2-sfären för vilken s -energin, definierad av

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\|x_{i}-x_{j}\|^{- s}$

för s > 0 och by

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \|x_{i}-x_{j}\ |^{-1}$

för s = 0, är ​​minimal. För s > 0 kallas sådana punkter s - Fekete points , och för s = 0 logaritmiska Fekete-punkter (se Saff & Kuijlaars (1997) ) . Mer generellt kan man överväga samma problem på den d -dimensionella sfären, eller på ett Riemann-grenrör (i vilket fall || x _i − x _j || ersätts med det Riemannska avståndet mellan x _i och x _j ).

Problemet har sitt ursprung i en uppsats av Michael Fekete ( 1923 ) som ansåg det endimensionella fallet s = 0, som svarade på en fråga från Issai Schur .

En algoritmisk version av Fekete-problemet är nummer 7 på listan över problem som diskuteras av Smale (1998) .

•    Bendito, E.; Carmona, A.; Encinas, AM; Gesto, JM; Gómez, A.; Mouriño, C.; Sánchez, MT (2009), "Computational cost of the Fekete problem. I. The forces method on the 2-sphere", Journal of Computational Physics , 228 (9): 3288–3306, doi : 10.1016/j.jcp.2009.01 .021 , ISSN 0021-9991 , MR 2513833
•     Fekete, M. (1923), "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" , Mathematische Zeitschrift , 17 (1): 228–249, doi : 10.1007/BF01504345 , ISSN 545 045 , 6-45 045 , ISSN 45 70 , 6-6 , S2CID 186223729
•    Saff, EB ; Kuijlaars, ABJ (1997). "Dela ut många poäng på en sfär". Matematik. Intelligensare . 19 (1): 5–11. doi : 10.1007/BF03024331 . MR 1439152 . S2CID 122562170 .
•    Smale, Stephen (1998), " Matematiska problem för nästa århundrade", The Mathematical Intelligencer , 20 (2): 7–15, doi : 10.1007/BF03025291 , ISSN 0343-6993 , MR 1631413 4 , S31CID