Minsta fas

I styrteori och signalbehandling sägs ett linjärt, tidsinvariant system vara minsta fas om systemet och dess invers är kausala och stabila .

Den mest allmänna kausala LTI- överföringsfunktionen kan på ett unikt sätt inkluderas i en serie av ett all-pass och ett minimum fassystem. Systemfunktionen är då produkten av de två delarna, och i tidsdomänen är systemets svar faltningen av de två delarnas svar. Skillnaden mellan en minimifas och en generell överföringsfunktion är att ett minimumfassystem har alla poler och nollor i sin överföringsfunktion i den vänstra halvan av s-plansrepresentationen (i diskret tid, inuti enhetscirkeln av respektive z-planet). Eftersom invertering av en systemfunktion leder till att poler vänds till nollor och vice versa, och poler på höger sida ( s-plan imaginär linje ) eller utanför ( z-plan enhetscirkel ) av det komplexa planet leder till instabila system , är det bara klassen av minimumfassystem stängs under inversion. Intuitivt implementerar den minimala fasdelen av ett generellt kausalsystem sitt amplitudsvar med minimal gruppfördröjning , medan dess allpasseringsdel korrigerar sin fasrespons enbart för att motsvara den ursprungliga systemfunktionen.

Analysen i termer av poler och nollor är exakt endast i fallet med överföringsfunktioner som kan uttryckas som förhållanden mellan polynom. I fallet med kontinuerlig tid översätts sådana system till nätverk av konventionella, idealiserade LCR-nätverk . På diskret tid översätts de bekvämt till approximationer därav, med hjälp av addition, multiplikation och enhetsfördröjning. Det kan visas att i båda fallen kan systemfunktioner av rationell form med ökande ordning användas för att effektivt approximera vilken annan systemfunktion som helst; sålunda kan även systemfunktioner som saknar en rationell form, och som har en oändlighet av poler och/eller nollor, i praktiken implementeras lika effektivt som alla andra.

I samband med kausala, stabila system skulle vi i teorin vara fria att välja om systemfunktionens nollor ligger utanför det stabila intervallet (till höger eller utanför) om stängningsvillkoret inte var ett problem. Inversion är dock av stor praktisk betydelse, precis som teoretiskt perfekta faktoriseringar är i sig själva. (Jfr den spektrala symmetriska/antisymmetriska nedbrytningen som ett annat viktigt exempel, vilket leder t.ex. till Hilbert-transformationstekniker .) Många fysikaliska system tenderar också naturligt mot minimal fasrespons och måste ibland inverteras med andra fysiska system som lyder samma begränsning.

Nedan ges insikter om varför detta system kallas minimifas, och varför grundidén gäller även när systemfunktionen inte kan gjutas till en rationell form som skulle kunna implementeras.

Omvänt system

Ett system $\mathbb {H}$ är inverterbart om vi unikt kan bestämma dess input från dess utdata. Dvs vi kan hitta ett system $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ så att om vi tillämpar $\mathbb {H}$ följt av $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ får vi identitetssystemet $\mathbb {I}$ . (Se Invers matris för en änddimensionell analog). Det är,

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,\mathbb {H} =\mathbb {I}$$

Antag att ${\tilde {x}}$ matas in till system $\mathbb {H}$ och ger utdata ${\tilde {y}}$ .

$$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}$$

Att tillämpa det inversa systemet $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ på ${\tilde {y}}$ ger följande

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{ \text{inv}}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}$$

Så vi ser att det inversa systemet $\mathbb {H} _{inv}$ tillåter oss att unikt bestämma ingången ${\tilde {x}}$ från utgången ${ \displaystyle {\tilde {y}}}$ .

Tidsdiskret exempel

Antag att systemet $\mathbb {H}$ är ett tidsdiskret, linjärt, tidsinvariant (LTI) system som beskrivs av impulssvaret $h(n)$ för n i Z . Anta dessutom att $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ har impulssvar $h_{\text{inv}}(n)$ . Kaskaden av två LTI-system är en faltning . I det här fallet är förhållandet ovan följande:

$$(h_{\text {inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\summa _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{ \text{inv}}(nk)=\delta (n)$$

där $\delta (n)$ är Kronecker-deltatet eller identitetssystemet i det tidsdiskreta fallet. (Att ändra ordningen på $h_{\text{inv}}$ och $h$ är tillåtet på grund av kommutativitet för faltningsoperationen.) Observera att detta inversa system $\mathbb { H} _{\text{inv}}$ behöver inte vara unik.

Minsta fassystem

När vi inför begränsningarna av kausalitet och stabilitet , är det omvända systemet unikt; och systemet $\mathbb {H}$ och dess inversa $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ kallas minimum-fas . Kausalitets- och stabilitetsbegränsningarna i det diskreta tidsfallet är följande (för tidsinvarianta system där h är systemets impulssvar):

Kausalitet

$$h(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

och

$$h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

Stabilitet

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty$$

och

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{\text{inv}}(n)\right|}=\|h_{ \text{inv}}\|_{1}<\infty$$

Se artikeln om stabilitet för de analoga förhållandena för det kontinuerliga tidsfallet.

Frekvensanalys

Tidsdiskret frekvensanalys

Att utföra frekvensanalys för det diskreta fallet kommer att ge viss insikt. Tidsdomänekvationen är följande:

$$(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n)$$

Att tillämpa Z-transformen ger följande relation i z-domänen

$$H(z)\,H_{\text{inv}}(z)=1$$

Från denna relation inser vi det

$$H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}$$

För enkelhetens skull betraktar vi endast fallet med en rationell överföringsfunktion H ( z ) . Kausalitet och stabilitet innebär att alla poler av H ( z ) måste vara strikt innanför enhetscirkeln (Se stabilitet ). Anta

$$H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}$$

där A ( z ) och D ( z ) är polynom i z . Kausalitet och stabilitet innebär att polerna – rötterna till D ( z ) – måste vara strikt innanför enhetscirkeln . Det vet vi också

$$H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}$$

Så kausalitet och stabilitet för $H_{\text{inv}}(z)$ innebär att dess poler – rötterna till A ( z ) – måste vara inuti enhetscirkeln . Dessa två begränsningar innebär att både nollorna och polerna i ett minimumfassystem måste vara strikt innanför enhetscirkeln.

Kontinuerlig frekvensanalys

Analysen för det kontinuerliga tidsfallet fortsätter på liknande sätt förutom att vi använder Laplace-transformen för frekvensanalys. Tidsdomänekvationen är följande.

$$(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t)$$

där $\delta (t)$ är Dirac deltafunktionen . Dirac delta-funktionen är identitetsoperatorn i fallet med kontinuerlig tid på grund av siktningsegenskapen med valfri signal x ( t ) .

$$(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)$$

Att tillämpa Laplace-transformen ger följande relation i s-planet .

$$H(s)\,H_{\text{inv}}(s)=1$$

Från denna relation inser vi det

$$H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}$$

Återigen, för enkelhetens skull, betraktar vi endast fallet med en rationell överföringsfunktion H ( s ) . Kausalitet och stabilitet innebär att alla poler av H ( s ) måste vara strikt innanför det vänstra halva s-planet (Se stabilitet ). Anta

$$H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}$$

där A ( s ) och D ( s ) är polynom i s . Kausalitet och stabilitet innebär att polerna – rötterna till D ( s ) – måste vara innanför det vänstra halva s-planet . Det vet vi också

$$H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}.$$

Så kausalitet och stabilitet för $H_{\text{inv}}(s)$ innebär att dess poler – rötterna till A ( s ) – måste vara strikt innanför det vänstra halva s-planet . Dessa två begränsningar innebär att både nollorna och polerna för ett minimifassystem måste vara strikt innanför det vänstra halva s-planet .

Förhållande mellan storlekssvar och fassvar

Se även: Kramers–Kronig relationer § Magnitude (vinst)–fas relation

Ett minimum-fassystem, oavsett om det är diskret tid eller kontinuerlig tid, har en ytterligare användbar egenskap att den naturliga logaritmen av storleken på frekvenssvaret ("förstärkningen" mätt i nepers som är proportionell mot dB ) är relaterad till fasen vinkeln för frekvenssvaret (mätt i radianer ) av Hilbert-transformen . Det vill säga i fallet med kontinuerlig tid, låt

$$H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$$

vara det komplexa frekvenssvaret för system H ( s ) . Då, endast för ett minimum-fassystem, är fassvaret för H ( s ) relaterat till förstärkningen med

$$\arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H} }\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\höger)\rbrace$$

där ${\mathcal {H}}$ betecknar Hilbert-transformen, och omvänt,

$$\log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left [H(j\omega )\right]\rbrace \ .$$

Mer kompakt, låt

$$H(j\omega )=|H (j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega ) }e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}$$

där $\alpha (\omega )$ och $\phi (\omega )$ är reella funktioner av en reell variabel. Sedan

$$\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace$$

och

$$\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \ .$$

Hilbert-transformoperatorn definieras som

$${\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1 }{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \ .$$

Ett ekvivalent motsvarande förhållande är också sant för tidsdiskreta minsta-fassystem.

Minsta fas i tidsdomänen

För alla kausala och stabila system som har samma magnitudsvar , har minimifassystemet sin energi koncentrerad nära början av impulssvaret . dvs det minimerar följande funktion som vi kan tänka oss som fördröjningen av energi i impulssvaret .

$$\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\quad \forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}$$

Minsta fas som minsta gruppfördröjning

För alla kausala och stabila system som har samma magnitudsvar har minimifassystemet den minsta gruppfördröjningen . Följande bevis illustrerar denna idé om minsta gruppfördröjning .

Antag att vi betraktar en nolla $a$ av överföringsfunktionen $H(z)$ . Låt oss placera denna nolla $a$ inuti enhetscirkeln ( $\left|a\right|<1$ ) och se hur gruppfördröjningen påverkas.

$$a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ där }}\,\theta _ {a}=\operatörsnamn {Arg} (a)$$

Eftersom nollan $a$ bidrar med faktorn $1-az^{-1}$ till överföringsfunktionen , är fasen som denna term bidrar med följande.

$${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatörsnamn { Arg} \left(1-ae^{-i\omega}\right)\\&=\operatörsnamn {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}} e^{-i\omega }\right)\\&=\operatörsnamn {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\ höger)\\&=\operatörsnamn {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{ \left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatörsnamn {Arg} \left(\left\{\left|a\right| ^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\ end{aligned}}$$

$\phi _{a}(\omega )$ bidrar med följande till gruppfördröjningen .

$${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac { \sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos (\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\ left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left |a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\ theta _{a})}}\end{aligned}}$$

Nämnaren och $\theta _{a}$ är invarianta för att återspegla nollan $a$ utanför enhetscirkeln , dvs att ersätta $a$ med ${ \displaystyle (a^{-1})^{*}}$ . Men genom att reflektera $a$ utanför enhetscirkeln ökar vi storleken på $\left|a\right|$ i täljaren. Att ha $a$ inuti enhetscirkeln minimerar alltså gruppfördröjningen som bidrar med faktorn $1-az^{-1}$ . Vi kan utöka detta resultat till det allmänna fallet med mer än en nolla eftersom fasen för multiplikationsfaktorerna av formen $1-a_{i}z^{-1}$ är additiv. Dvs för en överföringsfunktion med $N$ nollor ,

$$displaystyle \operatorname {Arg} \left(\prod _$$

Så ett minimumfassystem med alla nollor inuti enhetscirkeln minimerar gruppfördröjningen eftersom gruppfördröjningen för varje enskild noll minimeras.

Illustration av kalkylen ovan. Topp och botten är filter med samma förstärkningssvar (till vänster: Nyquist-diagrammen , till höger: fassvar), men filtret på toppen med $a=0,8<1$ har det minsta amplitud i fassvar.

Icke-minimum fas

System som är kausala och stabila vars inverser är kausala och instabila är kända som icke-minimumfassystem . Ett givet icke-minimum fassystem kommer att ha ett större fasbidrag än minimifassystemet med motsvarande storlekssvar.

Maximal fas

Ett system med maximal fas är motsatsen till ett system med minsta fas. Ett kausalt och stabilt LTI-system är ett med maximal fas om dess invers är kausal och instabil. Det vill säga,

• Nollorna i det diskreta tidssystemet är utanför enhetscirkeln .
• Nollorna i det kontinuerliga tidssystemet är till höger om det komplexa planet .

Ett sådant system kallas ett maximifassystem eftersom det har den maximala gruppfördröjningen av den uppsättning system som har samma storlekssvar. I denna uppsättning av svarssystem med lika storlek kommer det maximala fassystemet att ha maximal energifördröjning.

Till exempel de två kontinuerliga LTI-systemen som beskrivs av överföringsfunktionerna

$${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{ s+5}}$$

har motsvarande storlekssvar; emellertid har det andra systemet ett mycket större bidrag till fasförskjutningen. Följaktligen, i denna uppsättning, är det andra systemet maxfassystemet och det första systemet är minimumfassystemet. Dessa system är också kända som icke-minimumfassystem som väcker många stabilitetsproblem vid kontroll. En ny lösning på dessa system är att flytta RHP-nollorna till LHP med PFCD-metoden.

Blandad fas

Ett blandat fassystem har några av sina nollor inom enhetscirkeln och har andra utanför enhetscirkeln . Sålunda är dess gruppfördröjning varken minimum eller maximum utan någonstans mellan gruppfördröjningen för det minsta och maximala fasekvivalenta systemet.

Till exempel det kontinuerliga LTI-systemet som beskrivs av överföringsfunktionen

$${\frac {(s+1)(s-5)(s+ 10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$$

är stabil och kausal; dock har den nollor på både vänster och höger sida av det komplexa planet . Därför är det ett blandat fassystem . För att styra överföringsfunktionerna som inkluderar dessa system föreslås några metoder såsom intern modellstyrenhet (IMC), generaliserad Smiths prediktor (GSP) och parallell framkopplingsstyrning med derivata (PFCD).

Linjär fas

Ett linjärt fassystem har konstant gruppfördröjning . Icke-triviala linjärfas eller nästan linjärfassystem är också blandade faser.

Se även

• All-pass filter – Ett speciellt icke-minimumfashus.
• Kramers–Kronig relation – Minimum fassystem i fysik

Vidare läsning

•   Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing , s. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
•   Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing , s. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6