Fays trisekanta identitet

I algebraisk geometri är Fays trisekantidentitet en identitet mellan thetafunktioner hos Riemann-ytor som introducerats av Fay ( 1973 , kapitel 3, sidan 34, formel 45). Fays identitet gäller för thetafunktioner hos jakobiska kurvor, men inte för thetafunktioner hos allmänna abelska varianter .

Namnet "trisecant identitet" hänvisar till den geometriska tolkningen som gavs av Mumford (1984 , s.3.219), som använde det för att visa att Kummer-varianten av ett släkte g Riemann-yta, givet av bilden av kartan från jakobisk till projektiv utrymme med dimension 2 ^g – 1 inducerat av theta-funktioner av ordning 2, har ett 4-dimensionellt utrymme av trisekanter.

Påstående

Anta att

C är en kompakt Riemann-yta
g är släktet av C
θ är Riemann theta-funktionen för C , en funktion från C ^g till C
E är en primform på C × C
u , v , x , y är punkter i C
z är ett element av C ^g
ω är en 1-form på C med värden i C ^g

Fays identitet säger det

${\begin{aligned} &E(x,v)E(u,y)\theta \left(z+\int _{u}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{v}^{y}\ omega \right)\\-&E(x,u)E(v,y)\theta \left(z+\int _{v}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{ u}^{y}\omega \right)\\=&E(x,y)E(u,v)\theta (z)\theta \left(z+\int _{u+v}^{x+y }\omega \right)\end{aligned}}$

med

${\begin{aligned}&\int _{u+v}^{x+ y}\omega =\int _{u}^{x}\omega +\int _{v}^{y}\omega =\int _{u}^{y}\omega +\int _{v} ^{x}\omega \end{aligned}}$

Fay, John D. (1973), Theta-funktioner på Riemann-ytor , Lecture Notes in Mathematics, vol. 352, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0060090 , ISBN 978-3-540-06517-3 , MR 0335789
Mumford, David (1974), "Prym varianter. I", i Ahlfors, Lars V.; Kra, Irwin; Nirenberg, Louis; et al. (red.), Contributions to analysis (en samling artiklar tillägnad Lipman Bers) , Boston, MA: Academic Press , s. 325–350, ISBN 978-0-12-044850-0 , MR 0379510
Mumford, David (1984), Tata föreläsningar om theta. II , Progress in Mathematics, vol. 43, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3110-9 , MR 0742776