Falkner–Skans gränsskikt

Inom vätskedynamik beskriver gränsskiktet Falkner–Skan (uppkallat efter VM Falkner och Sylvia W. Skan ) det stadiga tvådimensionella laminära gränsskiktet som bildas på en kil, det vill säga flöden där plattan inte är parallell med flödet. Det är också representativt för flöde på en platt platta med en pålagd tryckgradient längs plattans längd, en situation som ofta uppstår i vindtunnelflöde. Det är en generalisering av det platta Blasius-gränsskiktet där tryckgradienten längs plattan är noll.

Kilflöde.

Prandtls gränsskiktsekvationer

Grunden för Falkner-Skan-metoden är Prandtls gränsskiktsekvationer . Ludwig Prandtl förenklade ekvationerna för vätska som strömmar längs en vägg (kil) genom att dela upp flödet i två områden: en nära väggen som domineras av viskositet och en utanför denna nära väggens gränsskiktsregion där viskositeten kan försummas utan betydande effekter på lösningen. Detta betyder att ungefär hälften av termerna i Navier-Stokes ekvationer är försumbara i flöden av gränsskikt nära väggen (förutom i ett litet område nära plattans framkant). Denna reducerade uppsättning ekvationer är känd som Prandtl gränsskiktsekvationer . För ett stadigt inkompressibelt flöde med konstant viskositet och densitet, läser dessa:

Masskontinuitet: ${\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0$

$x$ -Momentum: $u{\dfrac {\partial u}{\ partiell x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\ nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

$y$ -Momentum: $u{\dfrac {\partial v}{\ partiell x}}+v{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial y}}+{\ nu }{\dfrac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}$

Här väljs koordinatsystemet med $x$ som pekar parallellt med plattan i flödesriktningen och $y$ -koordinaten pekar mot den fria strömmen, $u$ och $v$ är $x$ och $y$ hastighetskomponenterna, $p$ är trycket , $\rho$ är densiteten och $\nu$ är kinematisk viskositet .

Ett antal likhetslösningar till dessa ekvationer har hittats för olika typer av flöde. Falkner och Skan utvecklade likhetslösningen för fallet med laminärt flöde längs en kil 1930. Termen likhet syftar på egenskapen att hastighetsprofilerna vid olika positioner i flödet ser lika ut förutom skalfaktorer i gränsskiktets tjocklek och en egenskap gränsskiktets hastighet. Dessa skalningsfaktorer reducerar de partiella differentialekvationerna till en uppsättning relativt lättlösta uppsättningar vanliga differentialekvationer .

Falkner–Skan ekvation - Första ordningens gränsskikt

Falkner och Skan generaliserade Blasius gränsskikt genom att betrakta en kil med en vinkel på $\pi \beta /2$ från något enhetligt hastighetsfält $U_{0}$ . Falkner och Skans första nyckelantagande var att tryckgradienttermen i Prandtl x -momentum-ekvationen kunde ersättas med differentialformen av Bernoulli-ekvationen i den höga Reynolds talgränsen . Således:

$-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}=u_{e}{\dfrac {du_{e}}{dx}}\quad .$

Här är $u_{e}(x)$ hastigheten för vid gränsskiktets kant och är lösningen för Eulers ekvationer (vätskedynamik) i det yttre området.

Efter att ha gjort Bernoulli-ekvationssubstitutionen påpekade Falkner och Skan att likhetslösningar erhålls när gränsskiktets tjocklek och hastighetsskalningsfaktorer antas vara enkla potensfunktioner av x . Det vill säga, de antog att skalfaktorn för hastighetslikhet ges av:

$u_{e}(x)=U_{0}\left({\frac {x}{L}}\right)^{m}\quad ,$

där $L$ är killängden och m är en dimensionslös konstant. Falkner och Skan antog också att skalfaktorn för gränsskiktets tjocklek är proportionell mot:

$\delta (x)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu L}{U_{0}(m+1)}}}\left({\frac {x}{L} }\right)^{(1-m)/2}\quad .$

Falkner-Skan gränsskiktsprofiler för valda värden på $m$ .

Masskonservering säkerställs automatiskt när Prandtl momentumgränsskiktsekvationerna löses med en strömfunktionsmetod. Strömfunktionen, i termer av skalningsfaktorer, ges av:

$\psi (x,y)\;=\;u_{e}(x)\delta (x)f( \eta )\quad ,$

där $\eta ={y}/{\delta (x)}$ och hastigheterna ges av:

$u(x,y)\;=\;{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial y}},\quad {\rm {och}}\quad v(x, y)\;=\;-{\frac {\partial \psi (x,y)}{\partial x}}\quad .$

Detta betyder

$\psi (x,y)\;=\;{\sqrt {\frac {2\nu U_{0}L}{m+1}}}\left({\frac {x}{L} }\right)^{(m+1)/2}f(\eta )\quad .$

Den icke-dimensionaliserade Prandtl x -momentekvationen som använder likhetslängd och hastighetsskalningsfaktorer tillsammans med de strömfunktionsbaserade hastigheterna resulterar i en ekvation som kallas Falkner–Skan-ekvationen och ges av:

$f'''+ff''+\beta \left[1-(f')^{2}\right]= 0\quad ,$

där varje bindestreck representerar differentiering med avseende på $\eta$ (Observera att en annan ekvivalent ekvation med en annan $\beta$ som involverar en $\alpha$ ibland används. Detta ändrar f och dess derivator . men resulterar i slutändan i samma backade $u(x,y)$ och ${\displaystyle v(x,y)}-$ lösningar). Denna ekvation kan lösas för vissa $\beta$ som en ODE med randvillkor:

$f(0)=f'(0)=0,\quad f'(\infty )=1.$

Kilvinkeln, efter viss manipulation, ges av:

$\beta ={\frac {2m}{m+1}}\quad .$

Fallet $m=\beta =0$ motsvarar Blasius gränsskiktslösning . När $\beta =1$ reduceras problemet till Hiemenz-flödet . Här m < 0 en ogynnsam tryckgradient (vilket ofta resulterar i gränsskiktsseparation ) medan m > 0 representerar en gynnsam tryckgradient. 1937 Douglas Hartree att fysiska lösningar $\displaystyle -0,090429 \leq \beta \leq 4/3)}$ endast existerar i intervallet − . För mer negativa värden på m , det vill säga för starkare ogynnsamma tryckgradienter, har alla lösningar som uppfyller randvillkoren vid η = 0 egenskapen att f ( η ) > 1 för ett värdeintervall på η . Detta är fysiskt oacceptabelt eftersom det innebär att hastigheten i gränsskiktet är större än i huvudflödet. Ytterligare detaljer kan hittas i Wilcox (2007).

Med lösningen för f och dess derivator i handen blir Falkner- och Skanhastigheterna:

$u(x,y)=u_{e}(x)f'\quad ,$

och

$v(x,y)=-{\sqrt {{\frac {(m+1)\nu U_{0}}{2L}}\left({\frac {x}{L}}\right )^{m-1}}}\left(f+{\frac {m-1}{m+1}}\eta f'\right)\quad .$

Prandtl $y$ -momentekvationen kan omarrangeras för att erhålla $y$ -tryckgradienten, ${\partial p}$ / ${\partial y}$ , (detta är formeln som är lämplig för fallet $\alpha$ =1 och $\beta$ =2m/(m+1)) som

${\frac {x^{2 }}{u_{e}^{2}\delta _{1}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\;=\;- {\frac {1}{4}}(m+1)(3m-1)f''+{\frac {1}{4}}(m+1)(1-m)\eta f''' -{\frac {1}{4}}(m+1)^{2}ff'+{\frac {1}{4}}(m-1)^{2}\eta f'^{2} -{\frac {1}{4}}(m+1)(m-1)\eta ff''\quad \quad ,$

där förskjutningstjockleken, $\delta _{1}$ , för Falkner-Skan-profilen ges av:

$\delta _{1}(x)=\left({ \frac {2}{m+1}}\right)^{1/2}\left({\frac {\nu x}{U}}\right)^{1/2}\int _{0} ^{\infty }(1-f')d\eta$

och skjuvspänningen som verkar vid kilen ges av

$\tau _{w}(x)=\mu \left({\frac {m+1}{2}}\right)^{1/2}\left({\frac {U^{3}}{\nu x}}\right)^{1/2}f''( 0)$

Kompressibelt Falkner–Skan gränsskikt

Här studeras Falkner–Skans gränsskikt med en specificerad specifik entalpi $h$ vid väggen. Densiteten $\rho$ , viskositeten $\mu$ och värmeledningsförmågan $kappa }$ \ är inte längre konstanta här. I den låga Mach-talsapproximationen blir ekvationen för bevarande av massa, rörelsemängd och energi

${\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)} {\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+ v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}+{\frac {1}{ \rho }}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\ frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({ \frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)\end{aligned}}$

där ${\displaystyle Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }} är$ Prandtl -talet med suffix ${\ displaystyle \infty }$ som representerar egenskaper utvärderade vid oändlighet. Gränsvillkoren blir

$u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{för}}\ y=0$ ,

$uU=h-h_{\infty }=0\ {\text{för}}\ y=\infty \ {\text{eller}}\ x =0$ .

Till skillnad från det inkompressibla gränsskiktet kan likhetslösning existera endast om transformationen

$x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy ,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu$

håller och detta är endast möjligt om $h_{w}={\text{konstant}}$ .

Howarth-förvandling

Introduktion av självliknande variabler med Howarth–Dorodnitsyn-transformation

$\eta ={\sqrt {\frac {U_{o} (m+1)}{2\nu _{\infty }L^{m}}}}x^{\frac {m-1}{2}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad \psi ={\sqrt {\frac {2U_{o}\nu _{\infty }}{(m+1)L^{m }}}}x^{\frac {m+1}{2}}f(\eta ),\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty } }},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac { \rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}$

ekvationerna reduceras till

${\ start{aligned}({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''+\beta [{\tilde {h}}-(f')^{2} ]=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'=0\end{aligned} }$

Ekvationen kan lösas en gång ${\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde { h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})$ anges. Gränsvillkoren är

$f(0)=f'(0)=\ theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.$

De vanligaste uttrycken för luft är $\gamma =1,4,\ Pr=0,7,\ {\tilde { \rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}$ . Om $c_{p}$ är konstant, då ${\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\ infty }$ .

Se även

• Blasius gränsskikt