Faktorsystem

Inom matematiken är ett faktorsystem (ibland kallat faktormängd ) ett grundläggande verktyg i Otto Schreiers klassiska teori för gruppförlängningsproblem . Den består av en uppsättning automorfismer och en binär funktion på en grupp som uppfyller vissa villkor (så kallade samcykelvillkor ). Faktum är att ett faktorsystem utgör en realisering av samcyklerna i den andra kohomologigruppen i gruppkohomologi .

Introduktion

Antag att G är en grupp och A är en abelsk grupp . För en gruppförlängning

$1\to A\to X\to G\to 1,$

det finns ett faktorsystem som består av en funktion f : G × G → A och homomorfism σ : G → Aut( A ) så att det gör den kartesiska produkten G × A till en grupp X som

$(g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).$

Så f måste vara en "grupp 2-samcykel" (symboliskt, Ext( G , A ) ≅ H ² ( G , A ) ). I själva verket A inte vara abelsk, men situationen är mer komplicerad för icke-abelska grupper

Om f är trivial och σ ger inre automorfismer , då delas den gruppförlängningen, så X blir halvdirekt produkt av G med A .

Om en gruppalgebra ges, så modifierar ett faktorsystem f den algebra till en skev gruppalgebra genom att modifiera gruppoperationen xy till f ( x , y ) xy .

Användning: för Abelian fältförlängningar

Låt G vara en grupp och L ett fält där G fungerar som automorfismer. Ett samcykel- eller (Noether) faktorsystem är en karta c : G × G → L ^* tillfredsställande

$c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).$

Samcykler är ekvivalenta om det finns något system av element a : G → L ^* med

$c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).$

Formens samcykler

$c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}$

kallas split . Samcykler under multiplikation modulo delade samcykler bildar en grupp, den andra kohomologigruppen H2 ⁽ G , L * ⁾ .

Korsade produktalgebror

Låt oss ta fallet att G är Galois-gruppen av en fältförlängning L / K . Ett faktorsystem c i H ² ( G , L ^* ) ger upphov till en korsad produktalgebra A , som är en K - algebra som innehåller L som ett delfält, genererad av elementen λ i L och u _g med multiplikation

$\lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},$

$u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).$

Ekvivalenta faktorsystem motsvarar en förändring av basen i A över K . Vi kanske skriver

$A=(L,G,c).$

Den korsade produktalgebra A är en central enkel algebra (CSA) av grad lika med [ L : K ]. Det omvända gäller: varje central enkel algebra över K som delar sig över L och så att deg A = [ L : K ] uppstår på detta sätt. Tensorprodukten av algebran motsvarar multiplikation av motsvarande element i H ² . Vi får alltså en identifikation av Brauer-gruppen , där elementen är klasser av CSA över K , med H ² .

Cyklisk algebra

Låt oss ytterligare begränsa till fallet att L / K är cyklisk med Galois-grupp G av ordningen n genererad av t . Låt A vara en korsad produkt ( L , G , c ) med faktormängd c . Låt u = u _t vara generatorn i A som motsvarar t . Vi kan definiera de andra generatorerna

$u_{t^{i}}=u^{i}\,$

och då har vi u ⁿ = a i K . Detta element a specificerar en samcykel c by

$c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{if }}i+j<n,\\a&{\text{if }}i+ j\geq n.\end{cases}}$

Det är därför meningsfullt att beteckna A helt enkelt med ( L , t , a ). Men a är inte unikt specificerad av A eftersom vi kan multiplicera u med vilket element λ som helst av L ^* och sedan multipliceras a med produkten av konjugaten av λ. Därför A ett element av normrestgruppen K ^* /N _{L / K} L ^* . Vi får isomorfismerna

$\operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).$

•    Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volym II: Fält med struktur, algebror och avancerade ämnen . Universitext. Översatt från tyska av Silvio Levy. I samarbete med översättaren. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4 . Zbl 1130.12001 .
•    Jacobson, Nathan (1996). Finit-dimensionell division algebror över fält . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2 . Zbl 0874.16002 .
•    Reiner, I. (2003). Maximala beställningar . London Mathematical Society Monografier. Ny serie. Vol. 28. Oxford University Press . ISBN 0-19-852673-3 . Zbl 1024.16008 .
•    Saltman, David J. (1999). Föreläsningar om divisionsalgebror . Regional konferensserie i matematik. Vol. 94. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0979-2 . Zbl 0934.16013 .