Fagnanos problem
Inom geometri är Fagnanos problem ett optimeringsproblem som först uttalades av Giovanni Fagnano 1775:
För en given spetsig triangel bestäm den inskrivna triangeln med minimal omkrets .
Lösningen är den ortiska triangeln , med hörn vid baspunkterna för höjderna av den givna triangeln.
Lösning
Den ortiska triangeln , med hörn vid baspunkterna för höjderna av den givna triangeln, har den minsta omkretsen av alla trianglar inskrivna i en spetsig triangel, därav är det lösningen på Fagnanos problem. Fagnanos ursprungliga bevis använde kalkylmetoder och ett mellanresultat som gavs av hans far Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano . Senare upptäcktes dock flera geometriska bevis också, bland annat av Hermann Schwarz och Lipót Fejér . Dessa bevis använder de geometriska egenskaperna hos reflektioner för att bestämma någon minimal bana som representerar omkretsen.
Fysiska principer
En lösning från fysiken hittas genom att föreställa dig att sätta ett gummiband som följer Hookes lag runt de tre sidorna av en triangulär ram , så att det kan glida runt smidigt. Då skulle gummibandet hamna i en position som minimerar dess elastiska energi, och därför minimerar dess totala längd. Denna position ger den minimala omkretstriangeln. inuti gummibandet är densamma överallt i gummibandet, så i dess viloläge har vi enligt Lamis sats
Därför är denna minimala triangel den ortiska triangeln.
Se även
- Ange TSP-problem , en mer allmän uppgift att besöka var och en av en familj av set med den kortaste turen
- Heinrich Dörrie: 100 stora problem med elementär matematik: deras historia och lösning . Dover Publications 1965, sid. 359-360. ISBN 0-486-61348-8 , problem 90 ( begränsad onlineversion (Google Books) )
- Paul J. Nahin : När minst är bäst: hur matematiker upptäckte många smarta sätt att göra saker så små (eller så stora) som möjligt . Princeton University Press 2004, ISBN 0-691-07078-4 , sid. 67
- Coxeter, HSM ; Greitzer, SL: Geometry Revisited . Washington, DC: Matte. Assoc. Amer. 1967, s. 88–89.
- HA Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 2 . Berlin 1890, s. 344-345. ( online på Internet Archive , tyska)
externa länkar
- Fagnanos problem med att klippa knuten
- Fagnanos problem i Encyclopaedia of Mathematics
- Fagnanos problem på en webbplats för triangelgeometri
- Weisstein, Eric W. "Fagnanos problem" . MathWorld .